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1、题型题型 1 基本不等式正用基本不等式正用 ab2ab例 1：(1)函数 f(x)x (x0)值域为_；1x函数 f(x)x (xR)值域为_；1x(2)函数 f(x)x2的值域为_1x21解析：(1)x 0，x 22，1xx1xf(x)(x 0)值域为2，)；当 xR 时，f(x)值域为(，22，)；(2)x2(x21)11x211x21211，x211x21当且仅当 x0 时等号成立 答案：(1)2，) (，22，) (2)1，)4(2013镇江期中)若 x1，则 x的最小值为_4x1解析：xx11415.4x14x1当且仅当 x1，即 x3 时等号成立4x1答案：5例 1 (1)已知 x
2、0，则 f(x)2 x 的最大值为_4x(1)x0，x0，f(x)2 x2.4x4xx (x)24，当且仅当x，即 x2 时等号成立4x44xf(x)2242，4xxf(x)的最大值为2.例：当 x0 时，则 f(x)的最大值为_2xx21解析：(1)x0，f(x) 1，2xx212x1x22当且仅当 x ，即 x1 时取等号1x3函数 y(x1)的最小值是_x22x1解析：x1，x10.yx22x1x22x2x2x1x22x12x13x1x122x13x1x123x12 222.x13x13当且仅当 x1，即 x1时，取等号3x13答案：22310已知 x0，a 为大于 2x 的常数，求 y
3、x 的最小值1a2x解：y 2 .1a2xa2x2a212a22a2当且仅当 x时取等号a 22故 yx 的最小值为 .1a2x2a2题型题型 2 基本不等式反用基本不等式反用abab2例：(1)函数 f(x)x(1x)(00, x(1x)2 ，x1x214f(x) 值域为.(0，14)(2)00. 12x(12x) 2x(12x) 2 ，12122x12x218f(x) 值域为.(0，18)答案：(1) (2)(0，14)(0，18)3(教材习题改编)已知 00.x(33x)3x(1x)32 .(x1x2)34当 x1x，即 x 时取等号12 10已知 x0，a 为大于 2x 的常数，求函数
4、 yx(a2x)的最大值；解：x0，a2x，yx(a2x) 2x(a2x)12 2，当且仅当 x 时取等号，故函数的最大值为.122xa2x2a28a4a28题型三：利用基本不等式求最值题型三：利用基本不等式求最值2已知 t0，则函数 y的最小值为_t24t1t答案 2解析 t0，yt 4242，且在 t1 时取等号t24t1t1t例：当 x0 时，则 f(x)的最大值为_2xx21解析：x0，f(x) 1，2xx212x1x22当且仅当 x ，即 x1 时取等号1x例 1：(1)求函数 f(x)x(x3)的最小值；1x3(2)求函数 f(x)(x3)的最小值；x23x1x3思维突破：(1)“
5、添项” ，可通过减 3 再加 3，利用基本不等式后可出现定值(2)“拆项” ，把函数式变为 yM的形式aM：(1)x3，x30.f(x)(x3)3235.1x31x3x3当且仅当x3，即 x4 时取等号，1x3f(x)的最小值是 5.(2)令 x3t，则 xt3，且 t0.f(x)t 3235.t323t31t1tt1t当且仅当 t ，即 t1 时取等号，此时 x4，1t当 x4 时，f(x)有最小值为 5.技巧总结：当式子不具备“定值”条件时，常通过“添项”达到目的；形如y(a0，c0)的函数，一般可通过配凑或变量替换等价变形化为 yt (p 为cx2dxfaxbpt常数)型函数，要注意 t
6、 的取值范围；例：设 x1，求函数 yx6 的最小值；4x1解：x1，x10.yx6x15259，4x14x1x14x1当且仅当 x1，即 x1 时，取等号4x1当 x1 时，函数 y 的最小值是 9.1若 x0，y0，且 xy18，则 xy 的最大值是_答案 81 解析 由于 x0，y0，则 xy2，xy所以 xy281，(xy2)当且仅当 xy9 时，xy 取到最大值 81.5已知 x，yR，且满足 1，则 xy 的最大值为_x3y4答案 3解析 x0，y0 且 1 2，xy3.当且仅当 时取等号x3y4xy12x3y46(2013大连期中)已知 x，y 为正实数，且满足 4x3y12，则
7、 xy 的最大值为_解析：124x3y2，xy3.当且仅当Error!Error!即Error!Error!时 xy 取得最大值4x 3y3.答案：32已知 m0，n0，且 mn81，则 mn 的最小值为_解析：m0，n0，mn218.当且仅当 mn9 时，等号成立mn答案：185已知 x0，y0，lg xlg y1，则 z 的最小值为_2x5y解析：由已知条件 lg xlg y1，可得 xy10.则 2 2，故min2，当且仅当 2y5x 时取等号又 xy10，即2x5y10xy(2x5y)x2，y5 时等号成立答案：2(2012天津高考)已知 log2alog2b1，则 3a9b的最小值为
8、_解析：由 log2alog2b1 得 log2(ab)1，即 ab2，3a9b3a32b23(当且仅当 3a32b，即 a2b 时取等号)a2b2又a2b24(当且仅当 a2b 时取等号)，2ab3a9b23218.即当 a2b 时，3a9b有最小值 18.3设 x，yR，a1，b1，若 axby3，ab2，则 的最大值为( )31x1yA2 B. C1 D.3212答案 C 解析 由 axby3，得：xloga3，ylogb3，由 a1，b1 知x0，y0， log3alog3blog3ablog321，当且仅当 ab时“”1x1y(ab2)3成立，则 的最大值 为 1.1x1y6(201
9、1湖南)设 x，yR，且 xy0，则的最小值为_(x21y2) (1x24y2)答案 9解析 54x2y2(x21y2)(1x24y2)1x2y2529，1x2y24x2y2当且仅当 x2y2 时“”成立12 例：若正数 x，y 满足 x3y5xy，求 xy 的最小值解：x0，y0，则 5xyx3y2，x3yxy，当且仅当 x3y 时取等号1225xy 的最小值为. 12254若正实数 x，y 满足 2xy6xy，则 xy 的最小值是_答案 18 解析 由 x0，y0,2xy6xy，得xy26(当且仅当 2xy 时，取“”)，2xy即()2260，xy2 xy(3)()0.xy2xy2又0，3
10、，即 xy18.xyxy2xy 的最小值为 18.例：已知 x0，y0，x2y2xy8，则 x2y 的最小值是( )A3 B4 C. D.92112解析 依题意，得(x1)(2y1)9，(x1)(2y1)26，x12y1即 x2y4.当且仅当Error!Error!即Error!Error!时等号成立x2y 的最小值是 4.3若 x，y(0，)，x2yxy30.(1)求 xy 的取值范围；(2)求 xy 的取值范围解：由 x2yxy30，(2x)y30x，则 2x0，y0,0x30.30x2x(1)xyx230xx2x22x32x6464x2x3264x23418，当且仅当 x6 时取等号，x
11、264x2因此 xy 的取值范围是(0,18(2)xyxx130x2x32x2x2383，当且仅当Error!Error!时，等号成立，又32x22xyx2330，因此 xy 的取值范围是83,30)32x22例：已知 ab0，则 a2的最小值是_16bab解析：ab0，b(ab)2，(bab2)a24当且仅当 a2b 时等号成立a2a2a216bab16a2464a2216，当且仅当 a2时等号成立a264a22当 a2，b时，a2取得最小值 16.2216bab8设 x，y，z 为正实数，满足 x2y3z0，则的最小值是_y2xz解析：由已知条件可得 y，x3z2所以y2xzx29z26x
12、z4xz14(xz9zx6)3，14(2 xz9zx6)当且仅当 xy3z 时，取得最小值 3.y2xz答案：3例：已知 x0，y0，xyx2y，若 xym2 恒成立，则实数 m 的最大值是_解析：由 x0，y0，xyx2y2，得 xy8，于是由 m2xy 恒成立，得2xym28，即 m10.故 m 的最大值为 10.1已知正数 x，y 满足 x2(xy)恒成立，则实数 的最小值为_2xy解析：依题意得 x2x(x2y)2(xy)，即2(当且仅当 x2y 时取2xyx2 2xyxy等号)，即的最大值是 2；又 ，因此有 2，即 的最小值是 2.x2 2xyxyx2 2xyxy答案：21已知关于 x 的不等式 2x7 在 x(a，)上恒成立，则实数 a 的最小值为2xa_解析：因为 xa，所以 2x2(xa)2a22a2a4，2xa2xa2xa2xa即 2a47，所以 a ，即 a 的最小值为 .3232答案：325圆 x2y22x4y10 关于直线 2axby20 (a，bR)对称，则 ab 的取值范围是( )A. B.C. D.(，14(0，14(14，0)(，14)答案 A 解析 由题可知直线 2axby20 过圆心(1,2)，故可得 ab1，又因ab2 (ab 时取等号)(ab2)14故 ab 的取值范围是.(，14典例：(12 分)已知 a、
