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1、2010 年暑假.六年级.第 2 讲.比和比例 教师版 page 1 of 14教学目标教学目标1、比例的基本性质 2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题 3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化； 4、单位“1”变化的比例问题 5、方程解比例应用题知识点拨知识点拨比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一部分内容也是小升 初考试的重要内容.通过本讲需要学生掌握的内容有：一、比和比例的性质一、比和比例的性质 性质 1：若 a: b=c：d，则(a + c)：(b + d)= a：b=c：d； 性质 2：若 a: b=c：d，则(a - c)：(b - d)
2、= a：b=c：d； 性质 3：若 a: b=c：d，则(a +x c)：(b +x d)=a：b=c：d；(x 为常数) 性质 4：若 a: b=c：d，则 ad = bc；(即外项积等于内项积) 正比例：如果 ab=k(k 为常数)，则称 a、b 成正比； 反比例：如果 ab=k(k 为常数)，则称 a、b 成反比二、主要比例转化实例二、主要比例转化实例 ； ； ；xa ybyb xaxy abab xy ； (其中)；xa ybmxa mybxma ymb0m ； ； ；xa ybxa xyabxyab xaxyab xyabL ， ；xa ybyc zdxac zbd:x y zac
3、bc bd 的等于的，则是的，是的xc ayd bxyad bcyxbc ad三、按比例分配与和差关系三、按比例分配与和差关系 按比例分配 例如：将个物体按照的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与x:a b第二讲：比和比例第二讲：比和比例2010 年暑假.六年级.第 2 讲.比和比例 教师版 page 2 of 14的比分别为和，所以甲分配到个，乙分配到个.x:aab:babax abbx ab已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题例如：两个类别、，元素的数量比为(这里)，数量差为，那么的元素数量为，的AB:a babxAax abB元素数量为，所以
4、解题的关键是求出与或的比值bx ababab四、比例题目常用解题方式和思路四、比例题目常用解题方式和思路 解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l” 。题中如果有几个不同的单位“1” ，必须根据具体情况， 将不同的单位“1” ，转化成统一的单位“1” ，使数量关系简单化，达到解决问题的效果。在解答分数应用题 时，要注意以下几点： 1.题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量为单位“1” 。 2.若题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“1” 。 3.应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成正比例，还是成 反比例。找出这些具体
5、数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找到更好、 更巧的解法。 4.题中有明显的等量关系，也可以用方程的方法去解。 5.赋值解比例问题例题精讲例题精讲模块一、比例转化【例例 1】已知甲、乙、丙三个数，甲等于乙、丙两数和的已知甲、乙、丙三个数，甲等于乙、丙两数和的，乙等于甲、丙两数和的，乙等于甲、丙两数和的，丙等于甲、乙两，丙等于甲、乙两1 31 2数和的数和的，求，求. .5 7:甲乙丙由甲等于乙、丙两数和的，得到甲等于三个数和的，同样的乙等于甲、丙两数和的，1 311 3+1411 2+13同样的丙等于甲、乙两个数和的 ，所以55 75121 15:3:4:54 3 12甲
6、乙丙【例例 2】已知甲、乙、丙三个数，甲的一半等于乙的已知甲、乙、丙三个数，甲的一半等于乙的倍也等于丙的倍也等于丙的，那么甲的，那么甲的、乙的、乙的倍、丙的一倍、丙的一22 32 32半这三个数的比为多少？半这三个数的比为多少？甲的一半、乙的倍、丙的这三个数的比为，所以甲、乙、丙这三个数的比为22 31:1:1即，化简为，那么甲的、乙的倍、丙的一半这三个数的比为121: 12 : 1231 32:2 24:1:32 32即，化简为.214: 1 2 : 33283:2:3216:12:9【例例 3】如下图所示，圆如下图所示，圆与圆与圆的面积之和等于圆的面积之和等于圆面积的面积的，且圆，且圆中的
7、阴影部分面积占圆中的阴影部分面积占圆面积的面积的BCA4 5AA，圆，圆的阴影部分面积占圆的阴影部分面积占圆面积的面积的，圆，圆的阴影部分面积占圆的阴影部分面积占圆面积的面积的求圆求圆、圆、圆、1 6BB1 5CC1 3AB圆圆的面积之比的面积之比C2010 年暑假.六年级.第 2 讲.比和比例 教师版 page 3 of 14CBA设与的共同部分的面积为，与的共同部分的面积为，则根据题意有ABxACy，于是得到，这条式子可化简为564ABCxy5Bx 3Cy 56453BCBC，所以.最后得到.15BC5204ABCC:20:15:1A B C 【例例 4】某俱乐部男、女会员的人数之比是某俱
8、乐部男、女会员的人数之比是，分为甲、乙、丙三组已知甲、乙、丙三组的人数比是，分为甲、乙、丙三组已知甲、乙、丙三组的人数比是3:2 ，甲组中男、女会员的人数之比是，甲组中男、女会员的人数之比是，乙组中男、女会员的人数之比是，乙组中男、女会员的人数之比是求丙组中求丙组中10:8:73:15:3 男、女会员人数之比男、女会员人数之比以总人数为 1，则甲组男会员人数为，女会员为，乙组男会员为1033 10873110311 10310，女会员为；丙组男会员为，女会员为851 1087535133 55253311 3+210510；所以，丙组中男、女会员人数之比为2139 3+210255019:5:
9、910 50【巩固巩固】 一项公路的修建工程被平均分成两份承包给甲、乙个工程队建设，两个工程队建设了相同多的一一项公路的修建工程被平均分成两份承包给甲、乙个工程队建设，两个工程队建设了相同多的一 段时间后，分别剩下段时间后，分别剩下、的任务没有完成，已知两个工程队的工作效率的任务没有完成，已知两个工程队的工作效率( (建设速度建设速度) )之比之比60%40% ，求这两个工程队原先承包的修建公路长度之比，求这两个工程队原先承包的修建公路长度之比. .3:1(法一)甲工程队以 倍乙工程队建设速度，仅完成了的承包任务，而乙工程队完成了，所以340%60% 甲工程队承包任务的等于乙工程队承包任务的，
10、所以甲工程队的承包的任务是40%60%3180% 乙工程队承包任务的，所以两个工程队承包的修建公路长度之比为180%40%450% 450%:19:2 (法二)两个工程队完成的工程任务(修建公路长度)之比等于工作效率之比，等于，而他们分别完3:1 成了各自任务的和，所以两个工程队承包的修建公路长度之比为40%60% 340% : 160%9:2【例例 5】某团体有某团体有名会员，男女会员人数之比是名会员，男女会员人数之比是，会员分成三组，甲组人数与乙、丙两组人数之，会员分成三组，甲组人数与乙、丙两组人数之10014:11 和一样多，各组男女会员人数之比依次为和一样多，各组男女会员人数之比依次为
11、、，那么丙组有多少名男会员？，那么丙组有多少名男会员？12:135:32:1会员总人数人，男女比例为，则可知男、女会员人数分别为人、人；又已知甲组人数与10014:115644 乙、丙两组人数之和一样多，则可知甲组人数为人，乙、丙人数之和为人，可设丙组人数为人，5050x则乙组人数为人，又已知甲组男、女会员比为，则甲组男、女会员人数分别为人、50x12:1324人，又已知乙、丙两组男、女会员比例，则可得：，解得即丙组会员265224(50)5683xx18x 人数为人，又已知男、女比例，可得丙组男会员人数为人18218123【例例 6】( (2007 年华杯赛总决赛年华杯赛总决赛) )、三项工
12、程的工作量之比为三项工程的工作量之比为，由甲、乙、丙三队分别承，由甲、乙、丙三队分别承ABC1:2:3 担三个工程队同时开工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成担三个工程队同时开工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成 的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，则甲、乙、的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，则甲、乙、 丙队的工作效率的比是多少？丙队的工作效率的比是多少？根据题意，如果把工程的工作量看作 ，则工程的工作量就是，工程的工作量就是 A1B2C3设甲、乙、丙三个工程队
13、的工作效率分别为、.经过天，则：xyzk2010 年暑假.六年级.第 2 讲.比和比例 教师版 page 4 of 14 221 332 13kxky kykz kzkx L L L L L L将代入，得， 243kxkyL L将代入，得，2223kxkx4 7xk将代入，得代入，得4 7xk6 7yk3 7zk甲、乙、丙三队的工作效率的连比是463:4:6:3777kkk【巩固巩固】 某次数学竞赛设一、二、三等奖已知：某次数学竞赛设一、二、三等奖已知：甲、乙两校获一等奖的人数相等；甲、乙两校获一等奖的人数相等；甲校获一等奖的甲校获一等奖的 人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为
14、人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为；甲、乙两校获二等奖的人数总甲、乙两校获二等奖的人数总5:6 和占两校获奖人数总和的和占两校获奖人数总和的；甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的；甲校获二等奖甲校获二等奖20%50% 的人数是乙校获二等奖人数的的人数是乙校获二等奖人数的倍那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于倍那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于4.5 多少？多少？由、可知甲、乙两校获奖总人数的比为，不妨设甲校有 60 人获奖，则乙校有 50 人获奖由6:5知两校获二等奖的共有人；由知甲校获二等奖的有人；(6050)20%2222(4.51)4.518 由知甲校获一等奖的有人，那么乙校获一等奖的也有 12 人，从而所求百分606050%1812 数为1250 100%24%【例例 7】某校毕业生共有某校毕业生共有 9 个班，每班人数相等个班，每班人数相等已知一班的男生人数比二、三班两个班的女生总数已知一班的男生人数比二、三班两个班的女生总数 多多 1；四、五、六班三个班的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数多四、五、六班三个班的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数多 1那么该校毕业生那么该校毕业生 中男、女生人数比是多少？中男、女生人数比是多
