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1、1 计算机数学基础（上）辅导 (8) 其它代数系统 本章重点本章重点：格与布尔代数概念，布尔代数运算、化简和恒等式证明. 一、重点内容 1. 环与域环与域 环，设 G 是非空集合，在 G 上定义加法和乘法两种运算，如果满足： (1) (G,+)是交换群(阿贝尔群)； (2)(G,)是半群； (3)乘法对加法适合左、右分配律，即对a,b,cG,有 a(b+c)=ab+ac (a+b)c=ac+bc 则代数系统(G,+,)为环环. 环就是定义了代数运算，其中“”满足交换律，“”满足结合律，对满足左右分 配律的代数系统. 交换环，环(G,+,)的乘法满足交换律：ab=ba. 则(G,+,)是交换环交
2、换环. 交换环就是两个代数运算都满足交换律的环. 除环，环(G,+,)的乘法存在单位元；非 0 元对有逆元的环. 域 设(S,+,)是代数系统，如果满足： (1) (S，)是交换群； (2) (S0，)是交换群； (3) 运算对运算是可分配的. 则(S,+,)为域域 交换除环是域域. 环与域关系图 域 除环 或 代数系统 可分配对）是交换群，（）是，（：，运算 元有逆元存在单位元，非 ；），；（，（， )3(;0)2(;)1( 0 ),( ), SS G GG SG 交交交 交交交 交交交交交交交交交交交 交交交 交 环的同态、同构 注意：群是定义了一个代数运算的代数系统；环、域是是定义了两个
3、代数运算的代数系 统. 2. 格格 格 偏序格偏序格，设(L，)是一个偏序集，如果对于a,bL，L 的子集a,b在 L 中都有一个 最大下界(记为 infa,b)和一个最小上界(记为 supa,b),则(L，)是一个偏序格偏序格. 子集在 L 中有上确界和下确界的偏序集，就是格. 2 代数格代数格，在 L 定义二元运算*，满足：对a,b,cL,有 (1) 交换律 a*b=b*a，ab=ba (2) 结合律 (a*b)*c=a*(b*c) , (ab) c=a (bc) (3) 吸收律 a*(ab)=a， a (a*b)=a 则(L,*, )是代数格代数格. 用代数的语言，格就是在非空集合上定义
4、了两个满足结合律、交换律和吸收律的代数系 统. 偏序格代数格. 对偶式，由 1，0 和可以代表格中的任意元素的变量通过，运算连结起来的式子， 就是格中的表达式，记作 f. 将 f 中的 0 换成 1，1 换成 0，换成，换成所得的表达 式，就是表达式 f 的对偶式记作 f*. 对偶原理，若 f 为真，则 f*为真. 3. 特殊格特殊格 有界格有界格，设(L，)是格，如果 L 有最大元素(记为 1)和最小元素(记为 0)，则(L，)称 为有界格有界格，记作(L,1,0)或(L,*, ,0,1). 存在最大和最小元素的格，就是有界格. 有余格，有余格，设(L，*，0，1)是有界格，如果 L 中的每
5、一个元素都至少有一个余元素， 则(L，*，0，1)为有余格有余格(或称为有补格). 有最大和最小元素，且存在余元的格.亦即有余元的有界格就是有余格. 它们的关系：格有界格有余格. 有最大元、最小元有余元 分配格，分配格， (L，*，)是格，如果对a,b,cL，有 a*(boc)=(a*b) (a*c) a (b*c)=(ab)*(ac) 则（L，*,)为分配格分配格. 满足左、右分配律的格就是分配格. 格的运算性质格的运算性质 1. (L，)是一个格，a, bL，有 aba*b=aab=b 2. (L，)是一个格，a, bL，如果 bc，有 a*ba*c， abac 3. (L，)是一个格，a
6、,b,cL，有分配不等式： a (b*c)(ab)*(ac) a*(bc)(a*b) (a*c) 4. (L，)是一个格，a,b,cL，有 aba (b*c)b*(ac) 在格中德摩根律成立：babababaoo 4. 布尔代数布尔代数 布尔代数布尔代数，一个有余分配格就是一个布尔代数布尔代数 布尔代数的公理定义布尔代数的公理定义，设 B 是一个至少含有两个元素的集合，是定义在 B 上 的两种运算，如果对a,b,cB，满足下列公理： H1：ab=ba a+b=b+a (交换律) H2：a(b+c)=ab+ac a+(bc)=(a+b)(a+c) (分配律) H3：B 中有元素 0 和 1，对a
7、B,有 a1=a a+0=a (有最大元、最小元) 3 H4：对aB,有aB，满足 aa=0 a+a=1 (有余元) 则(B， ，0，1)是一个布尔代数 记住布尔代数运算的 10 条算律. 二、实例 例例 8.1 证明是环，其中 Z 是整数集，运算定义如下：),(Z, abbabababa, 1 证明证明 (1)证(Z,)是交换群. ，Zcba, )()( 21) 1()( 2) 1()( cbacba cbacbacba cbacbacba 显然有abba 又，即 1 是运算的单位元. 11aaa 对，即 2a 是运算)( 11)2()2(,2 ,单位元有aaaaZaZa 的逆元. 从而得到
8、(Z,)是交换群. (2)证 (Z，)是半群. ，Zcba, )()( )()( )()()()( )()()( cbacba bccbabccba bccbabccbabccbacba abcbcaccba cabbacabbacabbacba 所以运算是可结合的. 那么(Z，)是半群. (3) 证运算对适合分配律. ，Zcba, )( 12 )()( 12 ) 1(1) 1()( cbcacba bcacbca bccbaccacbca bcaccba cbacbacbacba 4 )( 12 )()( 1 ) 1() 1() 1()( bcacbac bcaccba cbbccaacbc
9、ac acbcba bacbacbacbac 故，运算对适合分配律. 总之，()能构成环. ,Z 例例 8.2 试判别()和()是不是域. 其中 333 ,Z 444 ,Z )3)(3(mod),3)(3)(mod(,2 , 1 , 0 333 乘法模加法模abbababaZ 解解 根据环的定义，不难验证(Z3,3，3)和(Z4,4，4)是环(即验证(Z3,3)是交换 群；(Z3,3)是半群；运算3对3有分配律). 对于(Z3,3，3)和(Z4,4，4)，我们只需验证它们满足以下条件： (1) 运算3和4是否可交换； (2) 运算3和4是否具有单位元； (3)Z3和 Z4中的每一个非 0 元素
10、分别对于3和4是否具有逆元. （注：满足(1)表示(Z3,3，3)和(Z4,4，4)是交换环，满足(2)和(3)，表示 (Z3,3，3)和(Z4,4，4)是除环，） 为此我们先列出3和4的运算表. 表表 81 3的运算表的运算表 表表 82 4的运算表的运算表 3012 40123 0000 00000 1012 10123 2021 20202 30321 由表 81 可知，运算3是可交换的，1 是3的单位元(因为 kZ3，k=0,1,2，,k31=k=13k). 非 0 元素关于3存在有逆元，111，212(从表看出 13111311(单位元)，23212321(单位元). 因此，(Z3,3，3)是域. 从表 82 可知，运算4是可交换的，1 是4的单位元(因为 kZ4，k=0,1,2，3，,k31=k=13k). 非 0 元素 1，3，有 111，313(从表看出 14111411(单位元)，34313431(单位元)，但是非 0 元素 2 没有逆元. 因此， (Z4,4，3)不是域.
