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1、函数的奇偶性知识点及例题解析函数的奇偶性知识点及例题解析 一、知识要点：一、知识要点： 1、函数奇偶性的概念 一般地，对于函数，如果对于函数定义域内任意一个，都有，)(xfx)()(xfxf 那么函数就叫做偶函数。)(xf 一般地，对于函数，如果对于函数定义域内任意一个，都有,)(xfx)()(xfxf 那么函数就叫做奇函数。)(xf 理解： (1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概 念的区别之一就是，奇偶性是一个念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体整体”性质，单调性是一个性质
2、，单调性是一个“局部局部”性质；性质； (2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。 2、按奇偶性分类，函数可分为四类： 奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数. 3、奇偶函数的图象： 奇函数奇函数图象关于图象关于原点原点成中心对称的函数，偶函数成中心对称的函数，偶函数图象关于图象关于y轴轴对称的函数。对称的函数。 4、函数奇偶性的性质： 具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的 必要条件是其定义域关于原点对称） 。 常用的结论：若 f(x)是奇函数，且 x 在 0 处有定义，则 f(0)
3、0。 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇 函数 f(x)在区间a,b(0ab)上单调递增（减） ，则 f(x)在区间b,a上也是单调递增（减） ； 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。偶函 数 f(x)在区间a,b（0ab）上单调递增（减） ，则 f(x)在区间b,a上单调递减（增） 任意定义在 R 上的函数 f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。 若函数 g(x)，f
4、(x)，fg(x)的定义域都是关于原点对称的，则 u=g(x)，y=f(u)都是奇函 数时，y=fg(x)是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= fg(x)是偶函数。 复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外内偶则偶，内奇同外”. 5、判断函数奇偶性的方法： 、定义法：对于函数的定义域内任意一个 x，都有或( )f x xfxf 或函数 f（x）是偶函数； 1 xf xf 0xfxf 对于函数的定义域内任意一个 x，都有或或( )f x xfxf 1 xf xf 函数 f（x）是奇函数； 0xfxf 判断函数奇偶性的步骤：判断函数奇偶性的步骤： 、判断定义域是
5、否关于原点对称；、判断定义域是否关于原点对称； 、比较、比较与与的关系。的关系。)( xf )(xf 、扣定义，下结论。、扣定义，下结论。 、图象法：、图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于y轴轴对称的函对称的函 数是数是偶偶函数。函数。 ， 、运算法：几个与函数奇偶性相关的结论：、运算法：几个与函数奇偶性相关的结论： 奇函数奇函数+奇函数奇函数=奇函数；偶函数奇函数；偶函数+偶函数偶函数=偶函数；偶函数； 奇函数奇函数奇函数奇函数=偶函数；奇函数偶函数；奇函数偶函数偶函数=奇函数。奇函数。 若若为偶函数，则为偶函数，则。( )f
6、x()( )(|)fxf xfx 二、典例分析二、典例分析 1 1、给出、给出函数解析式判断其奇偶性：函数解析式判断其奇偶性： 分析：判断函数的奇偶性，先要求定义域，定义域不关于原点对称的是非奇非偶函数， 若定义域关于原点对称，再看 f(x)与 f(x)的关系. 【例 1】 判断下列函数的奇偶性： (1). (2) . 2 ( )21;f xxx 2 23 ( ),0 ; 3 xx f xxx xx 解：函数的定义域是，( )f x() ， ， ， 2 ( )21f xxx 2 ()()21fxxx 2 21( )xxf x 为偶函数。 2 ( )21f xxx （法 2图象法）：画出函数的图
7、象如下： 2 ( )21f xxx 由函数的图象可知， 2 ( )21f xxx 为偶函数。 2 ( )21f xxx 说明说明：解答题要用定义法判断函数的奇偶性，选择题、 填空题可用图象法判断函数的奇偶性。 (2)(2) . 解：由 ，得x(，3(3，+). 3 0 3 x x 定义域不关于原点对称，故是非奇非偶函数. 【例 2】 判断下列函数的奇偶性： (1). (2). 。 2 4 ( ); 33 x f x x 0 2 1 ( ) 1 x f x x 解： (1).由，解得 2 40 330 x x 22 06 x xx 且 且 定义域为2x0 或 0x2，则. 22 44 ( );
8、33 xx f x xx . 22 4()4 ()( ); xx fxf x xx 为奇函数. 2 4 ( ) 33 x f x x 说明说明：对于给出函数解析式较复杂时，要在函数的定义域不变情况下，先将函数 解析式变形化简，然后再进行判断。 (2). 由，解得 ， 函数定义域为， 2 0 10 x x 0 1 x x 0,1xR xx 又， 0 22 111 ( )0 11 x f x xx ()0fx 且， ()( )fxf x ()( )fxf x 所以 既是奇函数又是偶函数。 0 22 111 ( )0 11 x f x xx 【例 3】 判断下列函数的奇偶性： (1) . (1),(
9、0) ( )0 ,(0) (1),(0) xxx f xx xxx 解析解析 (1)(1) .函数的定义域为 R， 当时，0x 0 ,()()(1)(1)( );xfxxxxxf x 当时，0x 0 ,()0( );xfxf x 当时，0x 0 ,()() 1()(1)( ).xfxxxxxf x 综上可知，对于任意的实数x，都有，所以函数为奇函数。()( )fxf x ( )f x 说明说明：分段函数判断奇偶性，必分段来判断，只有各段为同一结果时函数才有奇偶 性。分段函数判断奇偶性，也可用图象法。 2 2、抽象抽象函数判断其奇偶性：函数判断其奇偶性： 【例 4】 已知函数对任意的非零实数恒有
10、( )(0),f xxRx 且 且 1,2 ,x x 判断函数的奇偶性。 1212 ()()(),f xxf xf x ( )(0)f xxRx 且 且 解：函数的定义域为，(, 0)(0 ,) U U 令，得， 12 1xx (1)0f 令，则 12 1xx 2 ( 1)(1),( 1)0 ,fff 取，得 12 1,xxx ()( 1)( ),fxff x ()( ) ,fxf x 故函数为偶函数。( )(0)f xxRx 且 且 3 3、函数奇偶性的应用：函数奇偶性的应用： (1)(1) . 求字母的值：求字母的值： 【例 5】已知函数是奇函数，又，求 2 1 ( )( , ,) ax
11、f xa b cZ bxc (1)2f (2)3f 的值.,a b c 解：由得，。()( )fxf x ()bxcbxc 0c 又得，而得，(1)2f 12ab (2)3f 41 3 2 a b 41 3 1 a a 解得。又，或.12a aZ 0a 1a 若，则，应舍去；若，则b=1Z Z.0a 1 2 bZ 1a 1bZ 。1,1,0abc 说明说明：本题从函数的奇偶性入手，利用函数的思想(建立方程或 不等式，组成混合组)，使问题得解.有时也可用特殊值，如 f(1)=f(1)，得 c =0。 (2)(2) . 解不等式：解不等式： 【例 6】若 f(x)是偶函数，当 x0，+)时，f(x
12、)=x1，求 f(x1)0 的解集。 分析：偶函数的图象关于 y 轴对称，可先作出 f(x)的图象，利用数形结合的方法. 解：画图可知 f(x)0 的解集为 x1x1， f(x1)0，即1x-11， 解集为x0x2. （3 3）函数奇偶性的应用）函数奇偶性的应用( (求值，求解析式，与单调性结合求值，求解析式，与单调性结合) ) 7.已知 f(x)=x5+ax3bx8，且 f(2)=10，求 f(2). 解：解：法一：f(2)=(2)5+(2)3a(2)b8=328a+2b8=408a+2b=10 8a2b=50 f(2)=25+23a2b8=8a2b+24=50+24=26 法二：令 g(x
13、)=f(x)+8 易证 g(x)为奇函数 g(2)=g(2) f(2)+8=f(2)8 f(2)=f(2)16=1016=26. 8. f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f(x)=x2x，求当 x0 时，f(x)的解 析式，并画出函数图象. 解：解：奇函数图象关于原点对称， x0 时，,xxxxxfxf 22 )()()()( 又 f(0)=0 ，如图 9. 设定义在3，3上的偶函数 f(x)在0，3上是单调递增，当 f(a1)f(a)时，求 a 的取值范围. 解：解：f(a1)f(a) ,偶函数 f(x)在0，3上是单调递增 f(|a1|)f(|a|) 必有|a1|，|a|0，3
