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1、1江苏十年高考数学试题回眸之三：数列袁保金名袁保金名师师工作室工作室一、十年高考试题信息统计 年份题号题型分值难度考查知识点10填空题5中等题等差数列及其求和200819解答题1621难题等差数列、等比数列的有关知识14填空题5难题等比数列200917解答题1419中等题等差数列的通项、求和的有关知识8填空题5容易题等比数列的概念与通项201019解答题1621难题等差数列的通项、求和以及基本不等 式等有关知识13填空题5难题等差数列与等比数列的通项201120解答题1621难题等差数列的定义、通项与求和填空题5容易题等比数列的通项，古典概型201220解答题1621难题等差数列的定义、通项，
2、等比数列的 通项，基本不等式、反证法14填空题5难题等比数列的通项与求和201319解答题1621难题等差数列的定义、通项与求和，等比 中项7填空题5容易题等比数列的通项201420解答题1621难题数列的概念、等差数列等基础知识， 新定义题11填空题5容易题数列的概念与求和，简单的递推数列201520解答题1621难题等差数列、等比数列的定义与性质， 函数与方程，反证法8填空题5容易题等差数列的通项与求和201620解答题1621难题等比数列的通项公式与求和等知识， 新定义题9填空题5容易题等比数列的通项与求和201719解答题1621难题等差数列的定义与性质，新定义题二、考情分析 1、由于
3、数列内容较少，教学时只安排 8 课时，因此题量得到有效控制，十年来，数列试题 较为稳定，呈一大一小形式出现，分值为 21 分。等差数列和等比数列作为考试说明中 两个 C 级考点，每年都有涉及。一道填空题多以容易题或中等题形式出现，主要考查 等差数列或等比数列概念、通项和求和，基本量法是解决问题的基本方法；一道解答题 除 2009 年以中档题出现外都是以压轴性的难题出现，主要考查等差数列和等比数列的 定义、性质、通项、求和以及探究能力及推理论证能力。以数列为载体考查推理论证能 力是高考命题的方向。 2、数列应用题是教学中的重要内容，课本上涉及等差数列和等比数列的实际应用题也较多， 考虑到数列在教
4、学中课时量以及数列在高考试卷中分值所占比例，加之数列压轴题是必 考内容，因此数列应用题十年中从来未出现过。23、数列压轴题是试题命题者控制试卷难度的很重要的一张王牌，因此难度偏大。尽管如此， 试题常以多问形式出现，第一问很容易，难度逐渐递进。等差数列是命题主体，单独命 题较多，十年出现五次。四次是等差数列与等比数列的融合，但等差数列处于主要地位， 等比数列单独命题只有 2016 年。个中缘由应该体会到。 4、数列压轴题值研究数列本身内部的综合，考查数列的本质，不与函数等有关知识综合， 这一点是江苏省数学命题有别于全国卷和其他各省试卷的地方，具有江苏试卷的个性特 色。新定义数列近几年出现三次，具
5、有创新性，丰富了数列试题的题型，使试卷充满活 性，同时增加试卷的新鲜感，也有利于考查学生分析问题和解决问题的能力。 5、由于课本上回避了递推数列，只有 2015 年一道填空题是递推数列。但以数列前 n 和形 式出现的试题是高考常见形式，运用递推思想“克隆作差”是解决这类问题的有效手段。 递推的过程一次不行，就两次，但三次递推就很少出现了。在递推过程要注意验证 n=1 或 2 时，看问题是否成立，这是容易因疏忽导致错误的地方，切时做到“懂而会、会而 对、对而全” 。 6、数列试题中涉及的数学思想方法比较丰富，函数与方程、分类讨论、转化与化归、特殊 与一般、有限与无限、递推思想等经常涉及。 三、试
6、题再现 （一）填空题 1、 （2008.10）将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 按照以上排列的规律，数阵中第 n 行（n 3）从左向右的第 3 个数为 【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式前 n1 行共有正整数12（n1）个，即个，因此第 n 行第 3 个数是全体正整数中第22nn3 个，即为22nn26 2nn2、 （2009.14）设是公比为的等比数列，令，若数 naq| 1q 1(1,2,)nnban列有连续四项在集合中，则= . nb53, 23,19,37,826q【解析】 考查等价转化能力和分析问题的能力。
7、等比数列的通项。 有连续四项在集合，四项成等比数列，公比为 na54, 24,18,36,8124,36, 54,81，= -9-93 2q 6q3、 （2010.8）函数 y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,k 为正整数，a1=16，则 a1+a3+a5=_3解析考查函数的切线方程、数列的通项。在点(ak,ak2)处的切线方程为：22(),kkkyaaxa当0y 时，解得2kax ，所以1135,164 1212k kaaaaa 。4、 （2011.13）设7211aaa，其中7531,aaaa成公比为 q 的等比数列，642,aaa成公差为
8、 1 的等差数列，则 q 的最小值是_解析：由题意：23 1212121112aaa qaa qaa q ，2 22221,12aqaaqa 3 223qa，而212221,1,1,2aaa aa 的最小值分别为 1，2，3；3 min3q。5、 （2012.6）现有 10 个数，它们能构成一个以 1 为首项，3为公比的等比数列，若从这10 个数中随机抽取一个数，则它小于8 的概率是 【答案答案】53【解析解析】组成满足条件的数列为：.19683,6561,2187,729,243,81,27. 9 , 3, 1从中随机取出一个数共有取法10种，其中小于8的取法共有6种，因此取出的这个数小于8
9、的概率为53.【点评点评】本题主要考查古典概型.在利用古典概型解决问题时，关键弄清基本事件数和基本事件总数，本题要注意审题， “一次随机取两个数” ，意味着这两个数不能重复，这一点要特别注意.6、 （2013.14）在正项等比数列中，则满足na21 5a376 aa的最大正整数的值为 。nnaaaaaa2121n答案：127、 （2014.7）在各项均为正数的等比数列中，若，则的值是 na21a 8642aaa6a【答案】448、 （2015.11）数列满足，且（） ，则数列的前 10na11a11naann*Nn1na项和为 【解析】试题分析：由题意得：112211(1)()()()1212
10、nnnnnn naaaaaaaann 所以1011112202(),2(1),11111n nnSSannnn考点：数列通项，裂项求和9、 （2016.8）已知an是等差数列，Sn是其前 n 项和.若 a1+a22=3，S5=10，则 a9的值是 .答案：2010、 （2017.9）等比数列的各项均为实数,其前项的和为,已知,则nannS36763 44SS,= .8a【解析】当时，显然不符合题意；1q 当时，解得，则.1q 3 16 1(1)7 14(1)63 14aq qaq q11 4 2aq 7 812324a （二）解答题1、 （2008.19） （）设是各项均不为零的等差数列（）
11、，且公差12,na aa4n ，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：0d 当 n =4 时，求的数值； 求的所有可能值；1a dn（）求证：对于一个给定的正整数 n(n4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列12,nb bb【解析】本小题主要考查等差数列、等比数列的有关知识，考查运用分类讨论的思想方法进行探索分析及论证的能力，满分 16 分。解：解：首先证明一个“基本事实”：一个等差数列中，若有连续三项成等比数列，则这个数列的公差 d0=0。事实上，设这个数列中的连续三项 a-d0,a,d+d0成等比数列，则a2=(d-d0
12、)(a+d0)。由此得 d0=05（1）(i) 当n=4 时, 由于数列的公差 d0,故由“基本事实”推知，删去的项只可能为 a2或 a3若删去，则由 a1,a3,a4 成等比数列，得(a1+2d)2=a1(a1+3d)2a因 d0，故由上式得 a1=4d，即=4，此时数列为4d, 3d, 2d, d，da1满足题设。若删去 a3，则由 a1,a2,a4 成等比数列，得(a1+d)2=a1(a1+3d)因 d0，故由上式得 a1=d，即=1，此时数列为 d, 2d, 3d, 4d，满足题设。da1综上可知，的值为4 或 1。da1(ii)若n6，则从满足题设的数列 a1,a2,an中删去一项后
13、得到的数列，必有原数列中的连续三项，从而这三项既成等差数列又成等比数列，故由“基本事实”知，数列a1,a2,an的公差必为 0，这与题设矛盾，所以满足题设的数列的项数 n5，又因题设n4，故 n=4 或 5.当 n=4 时，由（i）中的讨论知存在满足题设的数列。当 n=5 时，若存在满足题设的数列 a1,a2,a3,a4,a5，则由“基本事实”知，删去的项只能是 a3，从而 a1,a2,a4,a5成等比数列，故(a1+d)2=a1(a1+3d)及(a1+3d)2=(a1+d)(a1+4d)分别化简上述两个等式，得 a1d=d2及 a1d=5d,故 d=0，矛盾。因此，不存在满足题设的项数为 5
14、 的等差数列。综上可知，n 只能为 4.（2）假设对于某个正整数 n，存在一个公差为 d的 n 项等差数列 b1,b1+ d,，b1+(n-1) d(b1 d0)，其中三项 b1+m1 d,b1+m2 d,b1+m3 d成等比数列，这里 0m1k 时，)(2knknknSSSS都成立。（1）设 M=1 ，22a，求5a的值；（2）设 M=3，4 ，求数列na的通项公式。解析：（1）1112111,1,2(),2()nnnnnnknSSSSSSSS 即：212nnnaaa所以，n1 时， na成等差，而22a，23211353,2()7,4,8;SSSSSaa（2）由题意：3334443,2()
15、,(1);4,2(),(2)nnnnnnnSSSSnSSSS ，421353144,2(),(3);5,2(),(4);nnnnnnnSSSSnSSSS 当5n 时，由（1） （2）得：4342,(5)nnaaa由（3） （4）得： 5242,(6)nnaaa由（1） （3）得：4212,(7);nnnaaa由（2） （4）得：5312,(8);nnnaaa由（7） （8）知：412,nnnaaa成等差，513,nnnaaa成等差；设公差分别为：12,d d由（5） （6）得：9532442421541222,(9);222,(10);nnnnnnaadaadaadaad由（9） （10）得：542141223
