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1、第第 2 2 章章 作业题解作业题解: : 2.12.1 掷一颗匀称的骰子两次掷一颗匀称的骰子两次, , 以以 X X 表示前后两次出现的点数之和表示前后两次出现的点数之和, , 求求 X X 的概率分布的概率分布, , 并验并验 证其满足证其满足(2.2.2)(2.2.2) 式式. . 解：解： 1 12 23 34 45 56 6 1 12 23 34 45 56 67 7 2 23 34 45 56 67 78 8 3 34 45 56 67 78 89 9 4 45 56 67 78 89 91010 5 56 67 78 89 910101111 6 67 78 89 9101011
2、111212 由表格知由表格知X X的可能取值为的可能取值为 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,122,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。 并且，并且，； 36 1 )12()2(XPXP 36 2 )11()3(XPXP ； 36 3 )10()4(XPXP 36 4 )9()5(XPXP ；。 36 5 )8()6(XPXP 36 6 )7(XP 即即 ( (k k=2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)=2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12) 36 |7|6 )( k kXP 2.22.2 设离散型随机变量的概率分布为设离散型随机变量的概率分
3、布为试确定常数试确定常数. .,2 , 1,L kaekXP k a 解：根据解：根据，得，得，即，即。1)( 0 k kXP1 0 k k ae1 1 1 1 e ae 故故 1 ea 2.32.3 甲、乙两人投篮时甲、乙两人投篮时, , 命中率分别为命中率分别为0.70.7 和和0.40.4 , , 今甲、乙各投篮两次今甲、乙各投篮两次, , 求下列事件的求下列事件的 概率：概率： (1)(1) 两人投中的次数相同两人投中的次数相同; ; (2)(2) 甲比乙投中的次数多甲比乙投中的次数多. . 解：分别用解：分别用表示甲乙第一、二次投中，则表示甲乙第一、二次投中，则)2 , 1(,iBA
4、 ii 12121212 ()()0.7, ()()0.3, ()()0.4, ()()0.6,P AP AP AP AP BP BP BP B 两人两次都未投中的概率为：两人两次都未投中的概率为：，0324 . 0 6 . 06 . 03 . 03 . 0)( 2121 BBAAP 两人各投中一次的概率为：两人各投中一次的概率为： 2016 . 0 6 . 04 . 03 . 07 . 04)()()()( 1221211212212121 BBAAPBBAAPBBAAPBBAAP 两人各投中两次的概率为：两人各投中两次的概率为：。所以：。所以：0784. 0)( 2121 BBAAP （1
5、 1）两人投中次数相同的概率为）两人投中次数相同的概率为3124 . 0 0784 . 0 2016 . 0 0324 . 0 (2)(2) 甲比乙投中的次数多的概率为：甲比乙投中的次数多的概率为： 12121221121212121212 ()()()()() 2 0.49 0.4 0.60.49 0.362 0.21 0.360.5628 P A A B BP A A B BP A A B BP A A B BP A A B B 2.42.4 设离散型随机变量设离散型随机变量的概率分布为的概率分布为，求，求X5 , 4 , 3 , 2 , 1, 15 k k kXP )31 () 1 (
6、XP)5 . 25 . 0()2( XP 解：解：(1)(1) 5 2 15 3 15 2 15 1 )31 ( XP (2)(2) )2() 1()5 . 25 . 0(XPXPXP 5 1 15 2 15 1 2.52.5 设离散型随机变量设离散型随机变量的概率分布为的概率分布为，求，求X, 3 , 2 , 1, 2 1 LkkXP k ;6 , 4 , 2) 1 (LXP3)2(XP 解：解： 3 1 ) 2 1 2 1 1 ( 2 1 2 1 2 1 2 1 6 , 4 , 2) 1 ( 422642 LLLXP 4 1 2113)2(XPXPXP 2.62.6 设事件设事件A A 在
7、每次试验中发生的概率均为在每次试验中发生的概率均为0.40.4 , , 当当A A 发生发生3 3 次或次或3 3 次以上时次以上时, , 指示灯发指示灯发 出出 信号信号, , 求下列事件的概率：求下列事件的概率： (1)(1) 进行进行4 4 次独立试验次独立试验, , 指示灯发出信号指示灯发出信号; ; (2)(2) 进行进行5 5 次独立试验次独立试验, , 指示灯发出信号指示灯发出信号. . 解：解：(1)(1)4()3()3(XPXPXP 1792 . 0 4 . 06 . 04 . 0 433 4 C (2)(2) )5()4()3()3(XPXPXPXP . .31744 .
8、0 4 . 06 . 04 . 06 . 04 . 0 544 5 233 5 CC 2.72.7 某城市在长度为某城市在长度为t t ( (单位：小时单位：小时) ) 的时间间隔内发生火灾的次数的时间间隔内发生火灾的次数X X 服从参数为服从参数为0.50.5t t 的的 泊泊 松分布松分布, , 且与时间间隔的起点无关且与时间间隔的起点无关, , 求下列事件的概率：求下列事件的概率： (1)(1) 某天中午某天中午1212 时至下午时至下午1515 时未发生火灾时未发生火灾; ; (2)(2) 某天中午某天中午1212 时至下午时至下午1616 时至少发生两次火灾时至少发生两次火灾. .
9、解：解：(1)(1) ，由题意，由题意，所求，所求事件的概率为事件的概率为. .() ! k P Xke k 0.5 31.5,0k 1.5 e (2)(2) , , 由题意，由题意，所求，所求 0 (2)11 0!1! P Xeeee 0.5 41.5 事件的概率为事件的概率为. . 2 1 3e 2.82.8 为保证设备的正常运行为保证设备的正常运行, , 必须配备一定数量的设备维修人员必须配备一定数量的设备维修人员. . 现有同类设备现有同类设备180180 台台, , 且各台设备工作相互独立且各台设备工作相互独立, , 任一时刻发生故障的概率都是任一时刻发生故障的概率都是0.010.0
10、1，假设一台设备的故障由一，假设一台设备的故障由一 人进行修理人进行修理, ,问至少应配备多少名修理人员问至少应配备多少名修理人员, , 才能保证设备发生故障后能得到及时修理的概才能保证设备发生故障后能得到及时修理的概 率不小于率不小于0.990.99？ 解：设应配备解：设应配备m m名设备维修人员。又设发生故障的设备数为名设备维修人员。又设发生故障的设备数为X X，则，则。)01. 0 ,180( BX 依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于 0.990.99，即，即，也即，也即99 . 0 )( mXP 01 . 0 ) 1( mXP 因为
11、因为n n=180=180 较大，较大，p p=0.01=0.01 较小，所以较小，所以X X近似服从参数为近似服从参数为的泊松分布。的泊松分布。8 . 101. 0180 查泊松分布表，得，当查泊松分布表，得，当m m+1=7+1=7 时上式成立，得时上式成立，得m m=6=6。 故应至少配备故应至少配备 6 6 名设备维修人员。名设备维修人员。 2.92.9 某种元件的寿命某种元件的寿命X X( (单位：小时单位：小时) ) 的概率密度函数为：的概率密度函数为： 2 1000 ,1000 ( ) 0,1000 x f xx x p 求求 5 5 个元件在使用个元件在使用 15001500
12、小时后小时后, , 恰有恰有 2 2 个元件失效的概率。个元件失效的概率。 解：一个元件使用解：一个元件使用 15001500 小时失效的概率为小时失效的概率为 3 110001000 )15001000( 1500 1000 1500 1000 2 x dx x XP 设设 5 5 个元件使用个元件使用 15001500 小时失效的元件数为小时失效的元件数为Y Y，则，则。所求的概率为。所求的概率为) 3 1 , 5( BY 。 223 5 1280 (2)( )( ) 33243 P YC 2.102.10 设某地区每天的用电量设某地区每天的用电量X X( (单位：百万千瓦单位：百万千瓦时
13、时) ) 是一连续型随机变量是一连续型随机变量, , 概率密度函数概率密度函数 为：为： 2 12 (1) , 01, ( ) 0, xxx f x pp 其他 假设该地区每天的供电量仅有假设该地区每天的供电量仅有8080万千瓦万千瓦时时, , 求该地区每天供电量不足的概率求该地区每天供电量不足的概率. . 若每天的若每天的 供电量上升到供电量上升到9090万千瓦万千瓦时时, , 每天供电量不足的概率是多少每天供电量不足的概率是多少? ? 解：求每天的供电量仅有解：求每天的供电量仅有8080万千瓦万千瓦时时, , 该地区每天供电量不足的概率，只需要求出该地该地区每天供电量不足的概率，只需要求出
14、该地 区用电量区用电量X X超过超过8080万千瓦万千瓦时（亦即时（亦即X X0.80.8百万千瓦百万千瓦时）的概率：时）的概率： 0.80.8 2 0 2340.8 0 (0.8 =1-P(X0.8 =1-( )112 (1) 1 (683)0.0272 P Xf x dxxxdx xxx f） 若每天的供电量上升到若每天的供电量上升到 9090 万千瓦万千瓦时时, , 每天供电量不足的概率为：每天供电量不足的概率为： 0.90.9 2 0 2340.9 0 (0.9 =1-P(X0.9 =1-( )112 (1) 1 (683)0.0037 P Xf x dxxxdx xxx f） 2.1
15、12.11 设随机变量设随机变量求方程求方程有实根的概率有实根的概率. .( 2,4),KU 2 2230xKxK 解：方程解：方程有实根，亦即有实根，亦即, , 2 2230xKxK 2 48124(3)(1)0KKKK 显然，当显然，当时，方程时，方程有实根；又由于有实根；又由于31KK 2 2230xKxK 所求概率为：所求概率为：。( 2,4),KU 1 ( 2)431 4( 2)3 2.122.12 某型号的飞机雷达发射管的寿命某型号的飞机雷达发射管的寿命X X( (单位：小时单位：小时) ) 服从参数为服从参数为0.0050.005 的指数分布的指数分布, , 求下求下 列列 事件的概率：事件的概率： (1)(1) 发射管寿命不超过发射管寿命不超过100100 小时小时; ; (2)(2) 发射管的寿命超过发射管的寿命超过300300 小时小时; ; (3)(3) 一
