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1、1椭圆椭圆的标准方程知识点复习的标准方程知识点复习知识点一：知识点一：椭圆的定义定义1.平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数P1F2F,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦)2(2121FFaPFPFP点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：注意：若，则动点的轨迹为线段；)(2121FFPFPFP21FF若，则动点的轨迹无图形.)(2121FFPFPFP2.椭圆标准方程 的推导（1）取过焦点、的直线方程为轴，线段的垂直平分线为轴，1F2Fx1F2Fy建立直角坐标系设 M（，）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为 2c，则、的坐标分xy1F2F别是（-c，0）、（c，0）。椭圆就是集合 P
2、=aMFMFM221因为=，=,1MF22)(ycx2MF22)(ycx所以+=222)(ycx22)(ycxa移项，得=2-，22)(ycxa22)(ycx两边平方，得，2222222)()(44ycxycxaaycx整理，得，=-cxa22)(ycx2a两边再平方，得，=2a22)(ycx22242xccxaa整理，得，)()(22222222caayaxca由椭圆定义可知，22c,即c,所以0aa22ca 设=（b0）,得（b0）22ca 2b2b22222bayaxa两边同时除以，得，此方程为椭圆的标准方程22ba12222 by ax)0( ba2其焦点在轴上，焦点坐标（-c,0）、
3、(c,0), 、b、c 满足关系式x1F2Fa222cba（2）以同样的方法推导焦点在轴上，标准方程：y，其焦点（0，-c）、(0，c,)12222 bx ay)0( ba1F2F知识点二：知识点二：椭圆的标准方程标准方程1当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中x12222 by ax)0( ba222bac2当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中y12222 bx ay)0( ba；222bac注意：注意：1只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；3.注意的问题（1）方程均不为零，且 A0,B0),只要求出 A,B 的值即BAByAx,( 122可
4、。（2）椭圆的焦点总在长轴上，因此可以通过标准方程判断焦点的位置，其方法是：看，的分母大小，哪个大就在哪个坐标轴上。2x2y知识点三：知识点三：求椭圆标准方程的常用方法1. 待定系数法 由题目的条件能确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参 数，这种方法叫做待定系数法，其主要步骤可归纳为“先定型，再定量”。 例题： 已知椭圆的两个焦点坐标分别为（-3,0），（3,0），椭圆上一点 P 与两焦 点的距离的和等于 8，求它的标准方程解：设椭圆的标准方程为。由已知得，2=8，=4，12222 by ax)0( baaa3又 c=3，故7222cab因此，所求的椭圆的标准方程为171622
5、 yx2. 定义法 先分析题设条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程， 这种方法叫做定义法。 例题： 已知 B、C 是两个定点，BC=6，且ABC 的周长等于 16，求顶点 A 的轨 迹方程。 解：如图所示，建立坐标系，使轴经过点 B,C，原点 O 与 BC 的中点重合。x 由已知AB+AC+BC=16，BC=6，有AB+AC=10，即点 A 的轨迹是椭圆，且 2c=6,2=16-6=10.ac=3，=5，a1635222bxOCBA但当点 A 在直线 BC 上，即 y=0 时，A、B、C 三点共线不能构成一个三角形，点 A 的轨迹方程式)0( 1162522 yyx知识点四：
6、例题解析1. 应用椭圆的定义解题例 1：椭圆的焦点为和，点 P 在椭圆上，如果线段 P的中点131222 yx1F2F1F在 y 轴上，那么P是P的（ ）1F2FA7 倍 B.5 倍 C.4 倍 D.3 倍解析：不妨设（-3,0）、（3,0），由条件知 P（3，），即1F2F23y4P=，由椭圆的定义知2F23P+P=2=4，P=，P=，即P=7P1F2Fa31F2372F231F.故选 A。2F例 2 ABC 中，BC=24，AC、BC 边上的中线长之和等于 39，求ABC 的重心的 轨迹方程。 分析：由一定长线段 BC，两边上的中线长也均与定点 B、C 和ABC 的重心有关 系，因此考虑以
7、 BC 的中点为原点建立坐标系。 解：如图所示，以线段 BC 所在直线为 x 轴，线段 BC 的中垂线为 y 轴建立直角 坐标系。 设 M 是ABC 的重心，BD 是 AC 边上的中线，CE 是 AB 边上的中线，由重心的性质知BM=BD，CM=CE。32 32于是BM+CM=（BD+CE）=39=26. 32 32x Xy XAB XC XO XD XE XM X根据椭圆的定义知，点 M 的轨迹方程是以 B、C 为焦点的椭圆2=BM+CM=26 =13aa又 2c=BC=24, c=12 25121322222cab由于 M 是ABC 的重心，所有 M 不能跟 B、C 三点共线，故 y0故所
8、求的椭圆的标准方程为)0( 12516922 yyx2.用待定系数法求椭圆的标准方程 例 3 求合适下列条件的椭圆的标准方程 （1） 两个焦点的坐标分别是（-4,0）、（4,0），椭圆上任意一点 P 到两焦点 距离的和等于 10；（2） 两个焦点的坐标分别是（0，-2）、（0,2），并且椭圆经过点（，235）。25分析：根据椭圆的焦点位置，再设出椭圆的标准方程，从而确定 a，b 的值。 解：（1）椭圆的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为12222 by ax)0( bac=4， 2=10 =9a222cab所求的椭圆的方程为192522 yx（2）椭圆的焦点在 y 轴上设它的标准方程为1222
9、2 bx ay)0( ba2= 即=a102)225()23()225()23(2222a10又 c=2，=6222cab所求椭圆的方程为161022 xy例 4求经过点（2，-3）且与椭圆由共同焦点的椭圆方程。364922yx分析：椭圆的焦点为（0，），因此可设所求椭圆的方364922yx5程为，由题意确定即可。)0( 1522 yx解：椭圆的焦点为（0，），则364922yx5可设所求椭圆的方程为)0( 1522 yx把 x=2，y=-3 代入，得，解得=10 或=-2（舍去）1594所求椭圆的方程为1151022 yx6总结：一般地，与椭圆共同焦点的椭圆可设其方程为12222 by ax
10、)0( ba)( 12 2222 bkkby kax3. 求轨迹方程 例 5在ABC 中，A，B, C 所对的边分别为，b，c，且 B（-a 1,0）、C(1,0),求满足 bc，且 b，c 成等差数列是顶点 Aaa 的轨迹。 解：b，c 成等差数列 b+c=2=2=4aa2 即AB+AC=4BC=2 由椭圆的定义知，动点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点，以 4 为长轴长的椭圆。又椭圆中 2=4,2c=2， =2，b=aa3A 点的轨迹方程是1342 2yx又ACAB A 点的轨迹是椭圆的左半部分，还必须除去（0，）、（-2,0）两点3例 6 在 RtABC 中，CAB=90，AB=2，AC=
11、，曲线 E 过 C 点，动点 P22在 E 上运动，且保持PA+PB的值不变，求曲线 E 的方程。xyBACO分析：要求曲线 E 的方程，需建立适当的坐标系，注意到条件PA+PB是 定值，由椭圆的定义知，曲线 E 的方程为椭圆。解：建立如图的坐标系，在 RtABC 中，BC=22ABAC 223PA+PB=CA+CB=22223 22且PA+PBAB7由椭圆定义知，动点 P 的轨迹 E 为椭圆，=，c=1，b=1a2所求曲线 E 的方程是1222 yx例 7 已知点 M 在椭圆上，MP垂直于椭圆焦点所在的直线，垂直为193622 yxP，并且 M 为线段 PP的中点，求 P 点的轨迹方程。 分
12、析：因点 P 与点 M 的坐标间存在一定关系，故可用相关点法求轨迹方程。解：设 P 点坐标为（x，y），M 点的坐标为（，），由题意可知 P点的0x0y坐标为（x，0）点 M 在椭圆上，193622 yx19362 02 0yxM 是线段 P P的中点 =x 0x=0y2y把=x，=代入得0x0y2y19362 02 0yx3622 yxP 点的轨迹方程为3622 yx例 8 如图所示，线段 AB 的两个端点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上滑动， AB=5，点 M 是 AB 上一点，且AM=2，点 M 随线段 AB 的运动而变化，求 点 M 的轨迹方程。解：设 A（，0），B（0，），M（x
13、，y），0x0y依题意得AB=5 即252 02 0 yx又AM=2，AM：MB=2:3点 M 内分有向线段 AB，且233210xxxx3508 321320y yyy250将，代入并整理，得xx350yy25014922 yx点 M 的轨迹方程为14922 yx4. 焦点三角形问题例 9如图所示，点 P 是椭圆上的一点，和是焦点，且14522 yx1F2FP=30，求P的面积1F2F1F2F解：在椭圆中，=，b=2 c=1 14522 yxa522ba XO1F2F又点 P 在椭圆上，P+P=2=2 1F2Fa5由余弦定理知P +P -2PPcos30= =（2c） =4 1F2 2F2
14、1F2F1F2F22式两边平方得，P +P +2PP=20 1F2 2F2 1F2F-得，（2+）PP=16， PP=16（2-）31F2F1F2F3S=PPsin30=8-4 21PFF211F2F35. 数形结合 例 10 已知动圆 M 过定点 A（-3,0），并且在定圆 B：（x-3） +y =64 的内部22与其相内切，求动圆圆心 M 的轨迹方程。 解：如图所示，设动圆 M 和定圆 B 内切与 C，动圆圆心 M 到两定点 A（-3,0）、Y9B（3,0） 的距离之和恰好又等于定圆的半径， 即MA+MB=MC+MD= BC=8xyBAOCM动圆圆心 M 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆，并且 2=8，2c=6，b=a7椭圆的方程是171622 yx6. 求定值问题例 11 如图，点 M 为椭圆上一点，椭圆两焦点为、，且 2=10,2c=6，点1F2FaI 为M的内心，延长 MI 交于，求的值。1F2F1FINMIxyO2F1FNM解：I 为M的内心， I 平分角 M1F2F1F1F2F同理,11 NFMFINMINFMFINMI22=NFNFMFMFINMI2121 35 22ca7. 最值问题例 12 已知 A（4,0），B（2,2）是椭圆内
