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1、第 1 页（共 22 页） 初二二次根式所有知识点总结和常考题初二二次根式所有知识点总结和常考题 知识点：知识点： 1 1、二次根式：、二次根式： 形如形如的式子。的式子。二次根式必须满足：含有二次根式必须满足：含有)0( aa 二次根号二次根号“” ；被开方数；被开方数 a a 必须是非负数。必须是非负数。非负性非负性 2 2、最简二次根式：满足：、最简二次根式：满足：被开方数不含分母；被开方数不含分母；被开方数中不含被开方数中不含 能开得尽方的因数或因式的二次根式。能开得尽方的因数或因式的二次根式。 3 3、化最简二次根式的方法和步骤：、化最简二次根式的方法和步骤： （1 1）如果被开方数
2、含分母，先利用商的算数平方根的性质把它写成）如果被开方数含分母，先利用商的算数平方根的性质把它写成 分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。 （2 2）如果被开方数含能开得尽方的因数或因式，先将他们分解因数）如果被开方数含能开得尽方的因数或因式，先将他们分解因数 或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。 3 3、二次根式有关公式、二次根式有关公式 （1 1） （2 2）)0()( 2 aaaaa 2 （3 3）乘法公式）乘法公式)0, 0(babaab （4 4）除法公式）除法公式 )0, 0(fba b
3、a b a 4 4、二次根式的加减法则：先将二次根式化为最简二次根式，再将被、二次根式的加减法则：先将二次根式化为最简二次根式，再将被 开方数相同的二次根式进行合并。开方数相同的二次根式进行合并。 5 5、二次根式混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的、二次根式混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的 先算括号里的。先算括号里的。 常考题：常考题： 一选择题（共一选择题（共 14 小题）小题） 1下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） ABCD 2式子有意义的 x 的取值范围是（ ） Ax且 x1Bx1CD 3下列计算错误的是（ ） ABCD 4估计的运算结果应在（ ） A
4、6 到 7 之间 B7 到 8 之间 C8 到 9 之间 D9 到 10 之间 第 2 页（共 22 页） 5如果=12a，则（ ） AaBaCaDa 6若=（x+y）2，则 xy 的值为（ ） A1B1C2D3 7是整数，则正整数 n 的最小值是（ ） A4B5C6D7 8化简的结果是（ ） ABCD 9k、m、n 为三整数，若=k，=15，=6，则下列有关 于 k、m、n 的大小关系，何者正确？（ ） Akm=n Bm=nk CmnkDmkn 10实数 a 在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ） A7B7C2a15D无法确定 11把根号外的因式移入根号内得（ ） ABCD 12已知是正整
5、数，则实数 n 的最大值为（ ） A12B11C8D3 13若式子有意义，则点 P（a，b）在（ ） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 14已知 m=1+，n=1，则代数式的值为（ ） A9B3 C3D5 二填空题（共二填空题（共 13 小题）小题） 15实数 a 在数轴上的位置如图所示，则|a1|+= 16计算：的结果是 17化简：（）|3|= 18如果最简二次根式与是同类二次根式，则 a= 第 3 页（共 22 页） 19定义运算“”的运算法则为：xy=，则（26）8= 20化简4（1）0的结果是 21计算：= 22三角形的三边长分别为，则这个三角形的周长为 cm 23如果最简二次
6、根式与能合并，那么 a= 24如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是 2 和 6，那么矩形内阴影部分的 面积是 （结果保留根号） 25实数 p 在数轴上的位置如图所示，化简= 26计算：= 27已知 a、b 为有理数，m、n 分别表示的整数部分和小数部分，且 amn+bn2=1，则 2a+b= 三解答题（共三解答题（共 13 小题）小题） 28阅读下列材料，然后回答问题 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，一样的式 子，其实我们还可以将其进一步化简： （一） =（二） =1（三） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化 还可以用以下方法化简： =1（四） （1）请用不同的方法化简 第 4
7、页（共 22 页） （2）参照（三）式得= ； 参照（四）式得= （3）化简：+ 29计算：（1） （+1）（）2+|1|（2）0+ 30先化简，再求值：，其中 31先化简，再求值：，其中 x=1+，y=1 32先化简，再求值：，其中 33已知 a=，求的值 34对于题目“化简并求值：+，其中 a=”，甲、乙两人的解答不 同 甲的解答：+=+=+a=a=； 乙的解答：+=+=+a=a= 请你判断谁的答案是错误的，为什么？ 35一个三角形的三边长分别为、 （1）求它的周长（要求结果化简） ； （2）请你给一个适当的 x 值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的 值 36我国古代数学家秦九韶在
8、数书九章中记述了“三斜求积术”，即已知三 角形的三边长，求它的面积用现代式子表示即为： （其中 a、b、c 为三角形的三边长，s 为 面积） 而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式： s=（其中 p= ） （1）若已知三角形的三边长分别为 5，7，8，试分别运用公式和公式，计 第 5 页（共 22 页） 算该三角形的面积 s； （2）你能否由公式推导出公式？请试试 37已知：，求代数式 x2xy+y2值 38计算或化简： （1）； （2）（a0，b0） 39先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数 a、b，使 a+b=m，ab=n，使得 +=m，=，那么便有
9、： =（ab） 例如：化简 解：首先把化为，这里 m=7，n=12，由于 4+3=7，43=12 即+=7，= =2+ 由上述例题的方法化简： 40阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方， 如 3+=（1+）2善于思考的小明进行了以下探索： 设 a+b=（m+n）2（其中 a、b、m、n 均为整数） ，则有 a+b=m2+2n2+2mn a=m2+2n2，b=2mn这样小明就找到了一种把类似 a+b的式子化为平方式 的方法 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当 a、b、m、n 均为正整数时，若 a+b=，用含 m、n 的式子 分别表示 a、b
10、，得：a= ，b= ； （2）利用所探索的结论，找一组正整数 a、b、m、n 填空： + =（ + ）2； （3）若 a+4=，且 a、m、n 均为正整数，求 a 的值？ 第 6 页（共 22 页） 初二二次根式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题初二二次根式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题 练习练习(含答案解析含答案解析) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 14 小题）小题） 1 （2005岳阳）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） ABCD 【分析】B、D 选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式；C 选项的被开方 数中含有分母；因此这三个选项都不是最
11、简二次根式 【解答】解：因为：B、=4； C、=； D、=2； 所以这三项都不是最简二次根式故选 A 【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意： （1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式； （2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数） ，如果幂的指数等于或 大于 2，也不是最简二次根式 2 （2013娄底）式子有意义的 x 的取值范围是（ ） Ax且 x1Bx1CD 【分析】根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列式进行计算即可得解 【解答】解：根据题意得，2x+10 且 x10， 解得 x且 x1 故选 A 【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不
12、为 0；二次根式的被开方 数是非负数 3 （2007荆州）下列计算错误的是（ ） ABCD 【分析】根据二次根式的运算法则分别计算，再作判断 【解答】解：A、=7，正确； B、=2，正确； C、+=3+5=8，正确； D、，故错误故选 D 【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相 第 7 页（共 22 页） 同的二次根式 二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进 行合并 合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不 变 4 （2008芜湖）估计的运算结果应在（ ） A6 到 7 之间 B7 到 8 之间 C8 到 9
13、 之间 D9 到 10 之间 【分析】先进行二次根式的运算，然后再进行估算 【解答】解：=4+，而 45， 原式运算的结果在 8 到 9 之间； 故选 C 【点评】本题考查了无理数的近似值问题，现实生活中经常需要估算， “夹逼法” 是估算的一般方法，也是常用方法 5 （2011烟台）如果=12a，则（ ） AaBaCaDa 【分析】由已知得 12a0，从而得出 a 的取值范围即可 【解答】解：， 12a0， 解得 a 故选：B 【点评】本题考查了二次根式的化简与求值，是基础知识要熟练掌握 6 （2009荆门）若=（x+y）2，则 xy 的值为（ ） A1B1C2D3 【分析】先根据二次根式的性
14、质，被开方数大于或等于 0，可求出 x、y 的值， 再代入代数式即可 【解答】解：=（x+y）2有意义， x10 且 1x0， x=1，y=1， xy=1（1）=2 第 8 页（共 22 页） 故选：C 【点评】本题主要考查了二次根式的意义和性质： 概念：式子（a0）叫二次根式； 性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义 7 （2012 秋麻城市校级期末）是整数，则正整数 n 的最小值是（ ） A4B5C6D7 【分析】本题可将 24 拆成 46，先把化简为 2，所以只要乘以 6 得出 62即可得出整数，由此可得出 n 的值 【解答】解：=2， 当 n=6 时，=6， 原式=
15、2=12， n 的最小值为 6 故选：C 【点评】本题考查的是二次根式的性质本题还可将选项代入根式中看是否能 开得尽方，若能则为答案 8 （2013佛山）化简的结果是（ ） ABCD 【分析】分子、分母同时乘以（+1）即可 【解答】解：原式=2+ 故选：D 【点评】本题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平 方差公式是解答问题的关键 9 （2013台湾）k、m、n 为三整数，若 =k，=15，=6，则下列有关于 k、m、n 的大小关系， 何者正确？（ ） Akm=n Bm=nk CmnkDmkn 【分析】根据二次根式的化简公式得到 k，m 及 n 的值，即可作出判断 【解答】解：=3，=15，=6， 可得：
