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1、分式函数的值域222 2112 1 cxbxacxbxay函数值域是函数三要素之一，求函数值域无定法，且方法灵活，是中学数学的一个难点。今天我们主要讨论分式函数的值域求法。222 2112 1 cxbxacxbxay一、若同时为零，则函数就变为形如（21aa，222 2112 1 cxbxacxbxay2211 cxbcxby不同时为零）的函数，可以用分离常数法或求反函数法来求函数的值域。22bb ，例 求函数的值域 312 xxy解法：（分离常数法）利用恒等变形可化为：37237)3(2 xxxy所以，该函数的值域为：)2()2(， y解法：（求反函数法）函数 的反函数为 所以 原函数值域为
2、（即反函数312 xxy1 3 2xyx2yyy定义域为原函数值域） 。二、若不同时为零，但分子与分母有公因式子，可先约分再求值域。如果不约21aa，分，直接采用下面三的方法，将加大运算量（如例 6） 。例 求函数的值域2312xxxy解：可先将函数变为。)2)(1(1)(xxxxfy约分后函数变为。21)(xxg所以 0)(xg约分后函数的定义域扩大了（严格来说与原函数不是同一个函数，但)(xg( )g x)(xf在不引起混淆的情况下也可直接约分） ，在处所对应的函数值，也是不能)(xg1)(xf取到的值，所以函数的值域是。2312xxxy）（，）（），（,-例求函数的值域2652xxxy解
3、：函数可变形为，所以该函数的值域是。32)3)(2(xxxxy1yyy三、若不同时为零，分子与分母没有公因式子，可以通过判别式法、分离常数21aa，法、基本不等式法求函数的值域。例 函数的值域 221xxyxx解法 1：(判别式法)将转化为关于的一元二次方程（看作参数）：221xxyxxxy2(1)(1)0yxyxy(这是一个必有解的方程。讨论使上方程有解的参数的范围，恰为函数y的值域）221xxyxx若，则矛盾1y10由，这时由解得 ； 时， 。1y01113yy且1 3y 1 2x 综上所述知原函数的值域为1,1)3解法 2：(分离常数法)221xxyxx2111xx21113()24x
4、设，则的值域是213( )()24g xx( )g x3 ,)4所以，原函数值域为。1,1)3例 5：函数的值域 2221xxyx解：（基本不等式法）因为2221xxyx111xx 当时，当且仅当时等号成立；1x 10x 101x2y 0x 当时，当且仅当时等号成立。1x 10x 101x2y 2x 所以函数的值域为。(, 22,) 例 6：求函数的值域21 2xyxx 解：因为分子与分母有公因子，约分后可用上面二介绍的方法来求值域，如果不约分，也可直接用判别式法来求。将转化为关于的一元二次方程；21 2xyxxx2(1)1 20yxyxy 当时，不在函数定义域内；0y 1x 当时，0y 2(1)4 (1 2 )0yyy 即 ，当时，此时不在函数定义域内。2(31)0y2(31)0y1 3y 1x 所以函数值域内11(,0)(0, )( ,)33y 对于形如（）的二次分式函数的求值域问题，只要函22axbxcydxexf220ad数（）的定义域没有额外限制条件，就能够用判别式法求22axbxcydxexf220ad解，但不能用其在指定的区间上求二次函数的值域。同时要注意：1、把分式函数转化为关于的一元二次方程后，要对二次项系数进行讨论。2、要对时的值代回方程检验。x0 y
