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1、 几几何何证证明明练练习习题题及及答答案案【知知识识要要点点】1.进一步掌握直角三角形的性质，并能够熟练应用；2.通过本节课的学习能够熟练地写出较难证明的求证；3.证明要合乎逻辑，能够应用综合法熟练地证明几何命题。【概念回顾概念回顾】1.全等三角形的性质：对应边（ ） ，对应角（ ）对应高线（ ） ，对应中线（ ） ，对应角的角平分线（ ） 。 2.在 RtABC中，C=90，A=30，则 BC：AC：AB=（ ） 。 【例例题题解解析析】【题题1 1】已知在 ABC 中，108Ao，ABAC，BD 平分ABC求证：BCABCD 【题题2 2】如图，点为正方形的边上一点，点为的延长线上的一点，
2、且求证：.BDACFE【题题3 3】如图，AD 为 ABC 的角平分线且 BDCD求证：ABAC.【题题4 4】已知：如图，点 B、F、C、E 在同一直线上，BF=CE，ABED，ACFD，证明 AB=DE，AC=DF.【题题 5 5】已知：如图，ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA3，PB4，PC5求：APB 的度数【题题 6 6】如图：ABC 中，ACB=90，AC=BC，AE 是 BC 边上的中ECDGABAPCB线，过 C 作 CFAE，垂足是 F，过 B 作 BDBC 交 CF 的延长线于D。（1）求证：AE=CD;（2）若 AC=12，求 BD 的长.【题题 7 7】等边三
3、角形 CEF 于菱形 ABCD 边长相等.求证：（1）AEF=AFE(2)角 B 的度数【题题 8 8】如图，在ABC 中，C=2B，AD 是ABC 的角平分线，1=B，求证：AB=AC+CD.【题题 9 9】如图，在三角形 ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD的中点，BE 的延长线交 AC 于点 F.求证：AF=FC21【题10】如图，将边长为1的正方形 ABCD 绕点 C 旋转到 ABCD的位置，若BCB=30度，求 AE 的长.【题11】AD,BE 分别是等边ABC 中 BC,AC 上的高。M,N 分别在AD,BE 的延长线上，CBM=ACN.求证 AM=BN.【题 12
4、】已知：如图，AD、BC相交于点O，OA=OD，OB=OC，点 E、F在AD上，且AE=DF，ABEDCF.求证：BECF.【巩固练习巩固练习】【练练 1】 如图，已知 BE 垂直于 AD，CF 垂直于 AD，且 BE=CF.（1）请你判断 AD 是三角形 ABC 的中线还是角平分线？请证明你的结论。（2）链接 BF,CE，若四边形 BFCE 是菱形，则三角形 ABC 中应添加一个什么条件？OFEDCBA【练 2】在等腰直角三角形 ABC 中，O 是斜边 AC 的中点，P 是斜边上的一个动点，且 PB=PD，DE 垂直 AC，垂足为 E。（1）求证：PE=BO（2）设 AC=3a，AP=x，四
5、边形 PBDE 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式。【练练3】已知：如图，在四边形 ABCD 中， ADBC，M、N 分别是AB、CD的中点，AD，BC 的延长线叫 MN 与 E、F求证DEN=F.【练练4】4】如图，若 C 在直线 OB 上，试判断CDM 形状。 【练练5】5】已知ABC，AD 是 BC 边上的中线，分别以 AB 边、AC 边为直角边向形外作等腰直角三角形。求证：EF=2AD1、【练练 6】如图，等边三角形 ABC 的边长为 2，点 P 和点 Q 分别是从 A 和 C 两点同时出发，做匀速运动，且他们的速度相同，点 P沿射线 AB 运动，Q 点沿点 C 在 BC
6、延长线上运动。设 PQ 与直线AC 相交于点 D，作 PEAC 于点 E，当 P 和 Q 运动时，线段 DE 的长度是否改变？证明你的结论。【提示提示】【题 1】分析：在上截取，连接可得 BADBED由已知可得：18ABDDBE o，108ABED o，36CABC o72DECEDC o，CDCE，BCABCD【题 2】分析：将 ABF 视为 ADE 绕顺时针旋转90o即可90FABBAEEADBAE oFBAEDA 又90FBAEDA o，ABFADE （） 【题 3】分析：延长到使得易证 ABDECD BADCAD ECAD 【题 4】本题比较简单，难点在 BF+CF=CE+CF 这，一
7、般刚接触三角形证明的人会在这失手。证明：BF=CE又BF+CF=BCCE+CF=EFBC=EFABDE，ACFDB=E，DFE=BCA又BF=CEDEFABC（ASA）AB=DE，AC=DF 【题 5】顺时针旋转ABP 600 ，连接 PQ ，则PBQ 是正三角形。可得PQC 是直角三角形。所以APB=1500 。【题 6】解析：如果遇到这类题，有时在图形中隐藏着一些不明显的条件，你就先试试一个角加公共角等于 90，再试其它角加这个公共角是否能等于 90，能说明它俩相等。证明：（1）BDBC，CFAEDBC=ACB=EFC=90D+BCD=90FEC+BCD=90D=FEC又DBC=ACE=9
8、0，AC=BCDBCACE（HL）AE=CD（2）由（1）可知 BDCACEBC=AC=12，BD=CEAE 是 BC 边上的中线BE=EC= BC=61 2BD=CEBD=6【题 7】解：CB=CE,CD=CFB=CEB，D=CFDB=D(菱形的对角相等）CEB=CFDCEF=CFE=60CEB+CEF+AEF=180CED+CFE+AFE=180AEF=AFE(2)设B=X,则A=180X，CEB=XAEF=AFE,A=AEF+AFE=180 (180X ) +2AEF=180AEF=X/2CEB+CEF+AEF=180X+60+X/2=180X=80B=80【题 8】解析：这种类型的题，
9、一般是一条长的线段被分为两段，只能证 AC、CD 这两条线段与 AB 这条线段平分的两条线段AE、BE 相等，从而证明出来。证明：AED 是EDB 的一个外角又1=BAED=2BAED=C=2BAD 是ABC 的角平分线CAD=DAE又AED=C，AD=DAACDAED（AAS）AC=AE，CD=DE1=BDE=BECD=BEAB=AE+BE又AC=AE，CD=BEAB=AC+CD【题 9】解析：作 CF 的中点 G，连接 DG，则 FG=GC又BD=DCDGBFAEED=AFFGAE=EDAF=FG=FCAF 21即 AF=FC21【题 10】提示：证明三角形 ABD 和三角形 CAF 全等。AEBD 四点共圆。四边形 EDCF 是平行四边形。 （一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）【题11】证明：因为ABC 为等边三角形，AD 垂直于 BC、BE 垂直于 AC，所以 BAM=CBN ，又因为CBM=ACN 所以ABM=BCN在ABM 和BCN 中，有 AB=BCBAM=CBNABM=BCN由三角形全等的判定 ASA 得ABM 和BCN 全等所以 AM=BN【题 12】分析： 要证明BECF，只要证明EF；已知 ABEDCF，又由三角形的外角性质可知 EBAOABE，FCDODCF，因此只要证明 BAOCDO.
