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1、3.1.4 概率的加法公式,第三章 3.1 事件与概率,学习目标 1.理解互斥事件与对立事件的区别与联系. 2.会用互斥事件的概率加法公式求概率. 3.会用对立事件的概率公式求概率.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 事件的运算,思考 一粒骰子掷一次，记事件C出现的点数为偶数，事件D出现的点数小于3，当事件C，D都发生时，掷出的点数是多少？事件C，D至少有一个发生时呢？,答案 事件C，D都发生，即掷出的点数为偶数且小于3，故此时掷出的点数为2.事件C，D至少有一个发生，掷出的点数可以是1,2,4,6.,梳理 事件的并 一般地，由事件A和B至少有一个发生(即A发生，或B
2、发生，或A，B都发生)所构成的事件C，称为事件A与B的 (或和).记作C .事件AB是由事件A或B所包含的基本事件所组成的集合.如图中阴影部分所表示的就是AB.,并,AB,知识点二 互斥与对立的概念,思考 一粒骰子掷一次，事件E出现的点数为3，事件F出现的点数大于3，事件G出现的点数小于4，则E与F是什么事件？G与F是什么事件？,答案 E，F不能同时发生， E与F是互斥事件. G，F不能同时发生，且G，F必有一个发生， G与F既是互斥事件又是对立事件.,梳理 1.互斥事件：不可能 的两个事件叫做互斥事件(或称互不相容事件). 2.对立事件：不能同时发生且 的两个事件叫做互为对立事件.事件A的对
3、立事件记作 .由于A与 是互斥事件，所以P()P(A )P(A)P( )，又由是必然事件，得到P()1.所以P(A)P( )1，即P( ) .,同时发生,必有一个发生,1P(A),知识点三 概率的基本性质,思考 概率的取值范围是什么？为什么？,答案 概率的取值范围是01之间，即0P(A)1； 由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在01之间， 因而概率的取值范围也在01之间.,梳理 概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围为 . (2) 的概率为1， 的概率为0. (3)互斥事件的概率加法公式 假定A，B是互斥事件，则P(AB) . 一般地，如果事件A1，A2，An两两互斥(彼此互斥
4、)，那么事件“A1A2An”发生(是指事件A1，A2，An中至少有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率和，即P(A1A2An).,0,1,不可能事件,必然事件,P(A)P(B),P(A1)P(A2)P(An),思考辨析 判断正误 1.若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件.( ) 2.若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件.( ) 3.若两个事件是对立事件，则这两个事件概率之和为1.( ),题型探究,例1 从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从110各10张)中，任取一张. (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”； (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”； (3)“抽出
5、的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”. 判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.,类型一 事件关系的判断,解答,解 (1)是互斥事件，不是对立事件. 理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件.同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件. (2)既是互斥事件，又是对立事件. 理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件. (3)不是互斥事件，当然不可
6、能是对立事件. 理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出的牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件.,反思与感悟 (1)不可能事件记作，任何事件都包含不可能事件. (2)事件的包含关系与集合的包含关系相似，不可能事件与空集相似，学习时要注意类比记忆. (3)事件A也包含于事件A，即AA. (4)两个事件相等的实质就是两个事件为相同事件，相等的事件A，B总是同时发生或同时不发生.,跟踪训练1 从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是 A.至少有一个红球与都是红球
7、 B.至少有一个红球与都是白球 C.至少有一个红球与至少有一个白球 D.恰有一个红球与恰有两个红球,解析,答案,解析 根据互斥事件与对立事件的定义判断. A中两事件不是互斥事件，事件“3个球都是红球”是两事件的交事件； B中两事件是对立事件； C中两事件能同时发生，如“恰有一个红球和两个白球”，故不是互斥事件； D中两事件是互斥而不对立事件.,类型二 互斥事件的概率加法公式,例2 在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在8089分的概率是0.51，在7079分的概率是0.15，在6069分的概率是0.09，计算小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率和小明考试及格的概率.,解答
8、,解 分别记小明的考试成绩在90分以上，在8089分，在7079分，在6069分为事件B，C，D，E，这四个事件是彼此互斥的.根据概率的加法公式，小明的考试成绩在80分以上的概率是 P(BC)P(B)P(C)0.180.510.69. 小明考试及格的概率为P(BCDE)P(B)P(C)P(D)P(E)0.180.510.150.090.93.,反思与感悟 在求某些较为复杂事件的概率时，先将它分解为一些较为简单的、并且概率已知(或较容易求出)的彼此互斥的事件，然后利用概率的加法公式求出概率.因此互斥事件的概率加法公式具有“化整为零、化难为易”的功效，但需要注意的是使用该公式时必须检验是否满足它的
9、前提条件“彼此互斥”.,跟踪训练2 假设向三个相邻的军火库投掷一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，其余两个各为0.1，只要炸中一个，另两个也要发生爆炸，求投掷一枚炸弹，军火库发生爆炸的概率.,解答,解 因为只投掷了一枚炸弹，故炸中第一、第二、第三个军火库的事件是彼此互斥的. 令A，B，C分别表示炸中第一、第二、第三个军火库， 则P(A)0.025，P(B)P(C)0.1. 令D表示军火库爆炸这个事件，则有DABC， 又因为A，B，C是两两互斥事件， 故所求概率为P(D)P(A)P(B)P(C)0.0250.10.10.225.,类型三 用互斥、对立事件求概率,解答,解 “甲获胜”可看
10、成是“和棋或乙获胜”的对立事件，,(2)甲不输的概率.,解答,解 方法一 “甲不输”可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，,方法二 “甲不输”可看成是“乙获胜”的对立事件，,反思与感悟 (1)只有当A，B互斥时，公式P(AB)P(A)P(B)才成立；只有当A，B互为对立事件时，公式P(A)1P(B)才成立. (2)复杂的互斥事件概率的求法有两种：一是直接求解，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算；二是间接求解，先找出所求事件的对立事件，再用公式P(A)1P( )求解.,跟踪训练3 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A“抽到一等品”，事件
11、B“抽到二等品”，事件C“抽到三等品”.已知P(A)0.65，P(B)0.2，P(C)0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为 A.0.20 B.0.39 C.0.35 D.0.90,答案,解析,解析 抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，而P(A)0.65， 抽到的不是一等品的概率是10.650.35.,达标检测,1.从1,2，9中任取两数，其中： 恰有一个偶数和恰有一个奇数；至少有一个奇数和两个数都是奇数；至少有一个奇数和两个数都是偶数；至少有一个奇数和至少有一个偶数. 在上述各对事件中，是对立事件的是 A. B. C. D.,答案,解析,1,2,3,4,5,解析 从1,2，9中任取两
12、数，包括一奇一偶、两奇、两偶，共三种互斥事件， 所以只有中的两个事件才是对立事件.,答案,解析,2.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是 A.0.42 B.0.28 C.0.3 D.0.7,1,2,3,4,5,解析 摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件， 摸出黑球的概率是10.420.280.3，故选C.,解析 由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生， 即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，,1,2,3,4,5,答案,
13、解析,解析 设“射手命中圆面”为事件A，“命中圆环”为事件B，“命中圆环”为事件C，“不中靶”为事件D， 则A，B，C彼此互斥，故射手中靶的概率为P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.350.300.250.90. 因为中靶和不中靶是对立事件， 故不命中靶的概率为P(D)1P(ABC)10.900.10.,答案,解析,1,2,3,4,5,4.如图所示，靶子由一个中心圆面和两个同心圆环、构成，射手命中，的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不命中靶的概率是_.,0.10,1,2,3,4,5,5.某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3,0.2,0.1,0.4. 求：
14、(1)他乘火车或飞机去的概率；(2)他不乘轮船去的概率.,解答,解 设乘火车去开会为事件A，乘轮船去开会为事件B，乘汽车去开会为事件C，乘飞机去开会为事件D，它们彼此互斥. P(AD)P(A)P(D)0.30.40.7.解 P1P(B)10.20.8.,1.互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系.在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生.所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥. 2.互斥事件概率的加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式P(AB)P(A)P(B). 3.求复杂事件的概率通常有两种方法： (1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件； (2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率.,规律与方法,
