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1、3.1.4 概率的加法公式,第三章 3.1 事件与概率,学习目标 1.理解互斥事件与对立事件的区别与联系. 2.会用互斥事件的概率加法公式求概率. 3.会用对立事件的概率公式求概率.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 事件的运算,思考 一粒骰子掷一次,记事件C出现的点数为偶数,事件D出现的点数小于3,当事件C,D都发生时,掷出的点数是多少?事件C,D至少有一个发生时呢?,答案 事件C,D都发生,即掷出的点数为偶数且小于3,故此时掷出的点数为2.事件C,D至少有一个发生,掷出的点数可以是1,2,4,6.,梳理 事件的并 一般地,由事件A和B至少有一个发生(即A发生,或B
2、发生,或A,B都发生)所构成的事件C,称为事件A与B的 (或和).记作C .事件AB是由事件A或B所包含的基本事件所组成的集合.如图中阴影部分所表示的就是AB.,并,AB,知识点二 互斥与对立的概念,思考 一粒骰子掷一次,事件E出现的点数为3,事件F出现的点数大于3,事件G出现的点数小于4,则E与F是什么事件?G与F是什么事件?,答案 E,F不能同时发生, E与F是互斥事件. G,F不能同时发生,且G,F必有一个发生, G与F既是互斥事件又是对立事件.,梳理 1.互斥事件:不可能 的两个事件叫做互斥事件(或称互不相容事件). 2.对立事件:不能同时发生且 的两个事件叫做互为对立事件.事件A的对
3、立事件记作 .由于A与 是互斥事件,所以P()P(A )P(A)P( ),又由是必然事件,得到P()1.所以P(A)P( )1,即P( ) .,同时发生,必有一个发生,1P(A),知识点三 概率的基本性质,思考 概率的取值范围是什么?为什么?,答案 概率的取值范围是01之间,即0P(A)1; 由于事件的频数总是小于或等于试验的次数,所以频率在01之间, 因而概率的取值范围也在01之间.,梳理 概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围为 . (2) 的概率为1, 的概率为0. (3)互斥事件的概率加法公式 假定A,B是互斥事件,则P(AB) . 一般地,如果事件A1,A2,An两两互斥(彼此互斥
4、),那么事件“A1A2An”发生(是指事件A1,A2,An中至少有一个发生)的概率,等于这n个事件分别发生的概率和,即P(A1A2An).,0,1,不可能事件,必然事件,P(A)P(B),P(A1)P(A2)P(An),思考辨析 判断正误 1.若两个事件是互斥事件,则这两个事件是对立事件.( ) 2.若两个事件是对立事件,则这两个事件也是互斥事件.( ) 3.若两个事件是对立事件,则这两个事件概率之和为1.( ),题型探究,例1 从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花,点数从110各10张)中,任取一张. (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”; (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”; (3)“抽出
5、的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”. 判断上面给出的每对事件是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由.,类型一 事件关系的判断,解答,解 (1)是互斥事件,不是对立事件. 理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的,所以是互斥事件.同时,不能保证其中必有一个发生,这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”,因此,二者不是对立事件. (2)既是互斥事件,又是对立事件. 理由是:从40张扑克牌中,任意抽取1张,“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”,两个事件不可能同时发生,但其中必有一个发生,所以它们既是互斥事件,又是对立事件. (3)不是互斥事件,当然不可
6、能是对立事件. 理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生,如抽出的牌点数为10,因此,二者不是互斥事件,当然不可能是对立事件.,反思与感悟 (1)不可能事件记作,任何事件都包含不可能事件. (2)事件的包含关系与集合的包含关系相似,不可能事件与空集相似,学习时要注意类比记忆. (3)事件A也包含于事件A,即AA. (4)两个事件相等的实质就是两个事件为相同事件,相等的事件A,B总是同时发生或同时不发生.,跟踪训练1 从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,那么下列各对事件中,互斥而不对立的是 A.至少有一个红球与都是红球
7、 B.至少有一个红球与都是白球 C.至少有一个红球与至少有一个白球 D.恰有一个红球与恰有两个红球,解析,答案,解析 根据互斥事件与对立事件的定义判断. A中两事件不是互斥事件,事件“3个球都是红球”是两事件的交事件; B中两事件是对立事件; C中两事件能同时发生,如“恰有一个红球和两个白球”,故不是互斥事件; D中两事件是互斥而不对立事件.,类型二 互斥事件的概率加法公式,例2 在数学考试中,小明的成绩在90分以上的概率是0.18,在8089分的概率是0.51,在7079分的概率是0.15,在6069分的概率是0.09,计算小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率和小明考试及格的概率.,解答
8、,解 分别记小明的考试成绩在90分以上,在8089分,在7079分,在6069分为事件B,C,D,E,这四个事件是彼此互斥的.根据概率的加法公式,小明的考试成绩在80分以上的概率是 P(BC)P(B)P(C)0.180.510.69. 小明考试及格的概率为P(BCDE)P(B)P(C)P(D)P(E)0.180.510.150.090.93.,反思与感悟 在求某些较为复杂事件的概率时,先将它分解为一些较为简单的、并且概率已知(或较容易求出)的彼此互斥的事件,然后利用概率的加法公式求出概率.因此互斥事件的概率加法公式具有“化整为零、化难为易”的功效,但需要注意的是使用该公式时必须检验是否满足它的
9、前提条件“彼此互斥”.,跟踪训练2 假设向三个相邻的军火库投掷一枚炸弹,炸中第一个军火库的概率为0.025,其余两个各为0.1,只要炸中一个,另两个也要发生爆炸,求投掷一枚炸弹,军火库发生爆炸的概率.,解答,解 因为只投掷了一枚炸弹,故炸中第一、第二、第三个军火库的事件是彼此互斥的. 令A,B,C分别表示炸中第一、第二、第三个军火库, 则P(A)0.025,P(B)P(C)0.1. 令D表示军火库爆炸这个事件,则有DABC, 又因为A,B,C是两两互斥事件, 故所求概率为P(D)P(A)P(B)P(C)0.0250.10.10.225.,类型三 用互斥、对立事件求概率,解答,解 “甲获胜”可看
10、成是“和棋或乙获胜”的对立事件,,(2)甲不输的概率.,解答,解 方法一 “甲不输”可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件,,方法二 “甲不输”可看成是“乙获胜”的对立事件,,反思与感悟 (1)只有当A,B互斥时,公式P(AB)P(A)P(B)才成立;只有当A,B互为对立事件时,公式P(A)1P(B)才成立. (2)复杂的互斥事件概率的求法有两种:一是直接求解,将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和,运用互斥事件的概率加法公式计算;二是间接求解,先找出所求事件的对立事件,再用公式P(A)1P( )求解.,跟踪训练3 从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A“抽到一等品”,事件
11、B“抽到二等品”,事件C“抽到三等品”.已知P(A)0.65,P(B)0.2,P(C)0.1,则事件“抽到的不是一等品”的概率为 A.0.20 B.0.39 C.0.35 D.0.90,答案,解析,解析 抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品,而P(A)0.65, 抽到的不是一等品的概率是10.650.35.,达标检测,1.从1,2,9中任取两数,其中: 恰有一个偶数和恰有一个奇数;至少有一个奇数和两个数都是奇数;至少有一个奇数和两个数都是偶数;至少有一个奇数和至少有一个偶数. 在上述各对事件中,是对立事件的是 A. B. C. D.,答案,解析,1,2,3,4,5,解析 从1,2,9中任取两
12、数,包括一奇一偶、两奇、两偶,共三种互斥事件, 所以只有中的两个事件才是对立事件.,答案,解析,2.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是 A.0.42 B.0.28 C.0.3 D.0.7,1,2,3,4,5,解析 摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件, 摸出黑球的概率是10.420.280.3,故选C.,解析 由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生, 即彼此互斥,所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算,,1,2,3,4,5,答案,
13、解析,解析 设“射手命中圆面”为事件A,“命中圆环”为事件B,“命中圆环”为事件C,“不中靶”为事件D, 则A,B,C彼此互斥,故射手中靶的概率为P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.350.300.250.90. 因为中靶和不中靶是对立事件, 故不命中靶的概率为P(D)1P(ABC)10.900.10.,答案,解析,1,2,3,4,5,4.如图所示,靶子由一个中心圆面和两个同心圆环、构成,射手命中,的概率分别为0.35、0.30、0.25,则不命中靶的概率是_.,0.10,1,2,3,4,5,5.某公务员去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3,0.2,0.1,0.4. 求:
14、(1)他乘火车或飞机去的概率;(2)他不乘轮船去的概率.,解答,解 设乘火车去开会为事件A,乘轮船去开会为事件B,乘汽车去开会为事件C,乘飞机去开会为事件D,它们彼此互斥. P(AD)P(A)P(D)0.30.40.7.解 P1P(B)10.20.8.,1.互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的,它们两者之间既有区别又有联系.在一次试验中,两个互斥事件有可能都不发生,也可能有一个发生,但不可能两个都发生;而两个对立事件必有一个发生,但是不可能两个事件同时发生,也不可能两个事件都不发生.所以两个事件互斥,它们未必对立;反之两个事件对立,它们一定互斥. 2.互斥事件概率的加法公式是一个很基本的计算公式,解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥,只有互斥事件才能用概率的加法公式P(AB)P(A)P(B). 3.求复杂事件的概率通常有两种方法: (1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件; (2)先求其对立事件的概率,再求所求事件的概率.,规律与方法,