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1、4 二次函数性质的再研究,第二章 函 数,学习目标 1.掌握配方法,理解a,b,c(或a,h,k)对二次函数图像的作用. 2.理解由yx2到ya(xh)2k的图像变换方法. 3.能根据条件灵活选择二次函数的三种形式求解析式. 4.掌握二次函数的性质.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 二次函数的配方法,思考 y4x24x1如何配方?你能由此求出方程4x24x10的根吗?,令y0,即4x24x10,,知识点二 图像变换,思考 yx2和y2(x1)23的图像之间有什么关系?,答案 yx2的图像各点纵坐标变为原来的2倍,可得y2x2的图像; 再把y2x2的图像向左平移1个单
2、位长度,再上平移3个单位长度, 得y2(x1)23的图像.,知识点三 二次函数的三种形式,思考 我们知道yx22x(x1)21(x2)x,那么点(1,1),数0,2是yx22x的什么?,答案 点(1,1)是yx22x的顶点,数0,2是方程x22x0的两根.,梳理 (1)二次函数的一般式yax2bxc(a0). (2)如果已知二次函数的顶点坐标为(h,k),则可将二次函数设为ya(xh)2k. (3)如果已知方程ax2bxc0的两根x1,x2(即抛物线与x轴交点横坐标),可设为ya(xx1)(xx2).,知识点四 二次函数的性质,思考辨析 判断正误 1.若函数f(x)(a1)xb在R上为增函数,
3、则a1,bR.( ) 2.若函数yx2的图像向上平移1个单位长度,则所得图像对应的函数解析式为y(x1)2.( ) 3.二次函数yx2与y3x2的图像的形状相同.( ),题型探究,类型一 二次函数解析式的求解,解答,例1 已知二次函数yax2bxc(a0)的图像与x轴相交于点A(3,0),对称轴为x1,顶点M到x轴的距离为2,求此函数的解析式.,解 方法一 代入A(3,0), 有9a3bc0, ,顶点M到x轴的距离为|abc0|2, ,方法二 因为二次函数图像的对称轴是x1, 又顶点M到x轴的距离为2,所以顶点的坐标为(1,2)或(1,2), 故可得二次函数的解析式为ya(x1)22或ya(x
4、1)22. 因为图像过点A(3,0),,故所求二次函数的解析式为,方法三 因为二次函数图像的对称轴为x1, 又图像过点A(3,0),所以点A关于对称轴的对称点A(1,0)也在图像上, 所以可得二次函数的解析式为ya(x3)(x1). 由题意得顶点坐标为(1,2)或(1,2),,故所求二次函数的解析式为,反思与感悟 求二次函数解析式的步骤,跟踪训练1 (1)yax26x8与直线y3x交于点A(1,m),求a.,解答,解 把A(1,m)代入y3x,得m3, 把(1,3)代入yax26x8,得 a683,即a1.,(2)f(x)x2bxc,若f(4)f(0),f(2)2,求f(x).,解答,又f(2
5、)2,顶点坐标为(2,2), f(x)(x2)22x24x2. 方法二 由f(4)f(0),可设f(x)x(x4)c. 代入x2,得2(24)c2,c2. f(x)x24x2.,类型二 二次函数的图像及变换,例2 由函数yx2的图像如何得到f(x)x22x3的图像.,解答,解 f(x)x22x3(x22x)3 (x22x11)3(x1)24, 由yx2的图象与yx2的图像关于x轴对称, 可得yx2的图像. 由yx2的图像向右平移1个单位长度,向上平移4个单位长度, 可得y(x1)24,即yx22x3的图像.,引申探究 利用f(x)x22x3的图像比较f(1),f(2)的大小.,解答,解 f(x
6、)图像如图. 由图知越接近对称轴,函数值越大. 由|11|2|21|1, 即f(2)比f(1)更接近对称轴,f(2)f(1).,反思与感悟 处理二次函数yax2bxc(a0)的图像问题,主要是考虑其图像特征如开口、顶点、与x轴交点、与y轴交点、对称轴等与系数a,b,c之间的关系. 在图像变换中,记住“h正左移,h负右移,k正上移,k负下移”.,跟踪训练2 将二次函数f(x)x2bxc的图像向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,得到二次函数f(x)x22x1的图像,则b_,c_.,6,6,解析 f(x)x22x1(x1)2,其图像顶点为(1,0). 将二次函数f(x)x22x1的图像向下
7、平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度后的图像的顶点为(3,3), 得到的抛物线为y(x3)23,即f(x)x2bxc, (x3)23x2bxc,即x26x6x2bxc, b6,c6.,解析,答案,类型三 二次函数的性质,(1)求函数图像的顶点坐标、对称轴方程和最值;,解 对函数右端的表达式配方,得,解答,(2)若x1,4,求函数值域.,解答,解 由于31,4,所以函数在区间1,3上是减函数,在区间3,4上是增函数,,反思与感悟 解析式、图像、性质三者各有特点又联系紧密,应用时在三者间灵活转化可使问题更易解决.,跟踪训练3 已知函数f(x)ax22ax1在区间1,2上有最大值4,求实数a的值
8、.,解 f(x)a(x1)21a. 当a0时,函数f(x)在区间1,2上的值不变,恒为常数1,不符合题意,舍去;,当a0时,函数f(x)在区间1,2上是减函数,最大值为f(1)1a4,解得a3.,解答,达标检测,1.二次函数f(x)ax2bxc(a0)与g(x)bx2axc(b0)的图像可能是下图中的,答案,解析,1,2,3,4,1,2,3,4,即f(x),g(x)的图像的对称轴位于y轴的同一侧,由此排除A,B; 由C,D中给出的图像,可判定f(x),g(x)的图像的开口方向相反,,即f(x),g(x)的图像的对称轴都位于y轴右侧,排除C,故选D.,2.设二次函数yf(x)满足f(4x)f(4
9、x),又f(x)在4,)上是减函数,且f(a)f(0),则实数a的取值范围是 A.a4 B.0a8 C.a0 D.acf(1) B.f(1)f(1)f(1) D.cf(1)f(1),1,2,3,4,答案,解析,解析 因为f(1)f(3),所以f(x)图像的对称轴为x1, 因此函数在区间(,1上是减函数, 又cf(0),所以f(1)cf(1).,4.根据下列条件,求二次函数yf(x)的解析式. (1)图像过点(2,0),(4,0),(0,3);,1,2,3,4,解答,解 由题意可设二次函数解析式为ya(x2)(x4),,(2)图像顶点为(1,2)并且过点(0,4);,1,2,3,4,解答,解 由题意可设二次函数解析式为ya(x1)22, 将(0,4)代入得a2, 所求二次函数解析式为y2(x1)22.,(3)过点(1,1),(0,2),(3,5).,1,2,3,4,解答,解 由题意可设二次函数解析式为yax2bxc,,所求二次函数解析式为yx22x2.,1.配方法是重要的数学方法,在处理二次函数图像变换,研究二次函数性质时使用频繁. 2.二次函数图像变换规律可以推广到一般函数,即:,规律与方法,