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1、,第六节,一、空间直线方程,二、线面间的位置关系,空间直线及其方程,三、实例分析,一、空间直线方程,因此其一般式方程,1. 一般式方程,直线可视为两平面交线，,(不唯一),2. 对称式方程,故有,说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.,设直线上的动点为,则,此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程),直线方程为,已知直线上一点,例如, 当,和它的方向向量,3. 参数式方程,设,得参数式方程 :,例1.用对称式及参数式表示直线,解:先在直线上找一点.,再求直线的方向向量,令 x = 1, 解方程组,得,交已知直线的两平面的法向量为,是直线上一点 .,故所给直线的对称式方程为,参数式方程为
2、,解题思路:,先找直线上一点;,再找直线的方向向量.,二、线面间的位置关系,1. 两直线的夹角,则两直线夹角 满足,设直线 L1, L2 的方向向量分别为,两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角),特别有:,例2. 求以下两直线的夹角,解: 直线L1的方向向量为,直线L2的方向向量为,二直线夹角 的余弦为,从而,当直线与平面垂直时,规定其夹角为,线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;,2. 直线与平面的夹角,当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为,平面 的法向量为,则直线与平面夹角 满足,直线和它在平面上的投影直,特别有:,解: 取已知平面的法向量,则直线的对称式方程为,直的直线方
3、程.,为所求直线的方向向量.,垂,例3. 求过点(1,2 , 4) 且与平面,3. 相关的几个问题,(1) 过直线,的平面束,方程,到直线,的距离,为,(2) 点,三、实例分析,例1. 求与两平面 x 4 z =3 和 2 x y 5 z = 1 的交线,提示: 所求直线的方向向量可取为,利用点向式可得方程,平行,且 过点 (3 , 2 , 5) 的直线方程.,例2. 求直线,与平面,的交点 .,提示: 化直线方程为参数方程,代入平面方程得,从而确定交点为（1，2，2）.,例3. 求过点( 2 , 1 , 3 ) 且与直线,垂直相交的直线方程.,提示: 先求二直线交点 P.,化已知直线方程为参数方程, 代入 式, 可得交点,最后利用点向式得所求直线方程,的平面的法向量为,故其方程为,过已知点且垂直于已知直线,例4. 求直线,在平面,上的投影直线方程.,提示：过已知直线的平面束方程,从中选择 使其与已知平面垂直,得,这是投影平面,即,从而得投影直线方程,故应有：,这是给定的平面,1. 空间直线方程,一般式,对称式,参数式,内容小结,直线,2. 线与线的关系,直线,夹角公式:,平面 :,L,L / ,夹角公式：,3. 面与线间的关系,直线 L :,作业 习题六 1，2，3，7,
