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1、2.3.4 平面向量共线的坐标表示,平面向量共线的坐标表示 问题思考 1.共线向量定理:若a是非零向量,则a与b共线,当且仅当存在唯一实数,使得b=a.如果向量a与b都用坐标表示,即a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么根据数乘向量的坐标运算法则,你能发现a与b的坐标之间的关系吗? 提示若a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a与b共线,则x1y2=x2y1. 2.填空:平面向量共线的坐标表示,3.做一做: (1)下列各组向量中,共线的是( ) A.a=(1,2),b=(4,2) B.a=(1,0),b=(0,2) C.a=(0,-2),b=(0,2) D.a=(-3,2),b=(-
2、6,-4) (2)若向量m=(3,-2)与n=(x,4)共线,则实数x= . 解析(1)C选项中,b=-a,所以a与b共线,其余各组向量均不共线; (2)因为两个向量共线,所以34=(-2)x,解得x=-6. 答案(1)C (2)-6,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.,答案(1) (2) (3) (4) (5),探究一,探究二,探究三,思想方法,共线向量的判断与证明,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,根据向量共线求参数值 【例2】已知向量a=(-1,x
3、),b=(x-2,-3),若向量2a+b与向量3a-2b共线,求实数x的值. 分析首先求出向量2a+b与向量3a-2b的坐标,然后根据共线的坐标表示建立方程求解. 解因为a=(-1,x),b=(x-2,-3), 所以2a+b=(x-4,2x-3),3a-2b=(-2x+1,3x+6). 因为向量2a+b与向量3a-2b共线, 所以(x-4)(3x+6)=(2x-3)(-2x+1), 整理得x2-2x-3=0,解得x=3或x=-1. 故实数x的值是3或-1.,探究一,探究二,探究三,思想方法,根据向量共线求参数值的方法 根据向量共线的条件求参数值的问题,一般有两种处理思路,一是利用向量共线定理a
4、=b列方程组求解,二是利用向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1=0或 直接求解.,探究一,探究二,探究三,思想方法,延伸探究本例中,若已知“向量a=(-1,x),b=(x-2,-3)反向”,如何求实数x的值? 解法一由题意可知向量a=(-1,x),b=(x-2,-3)共线,则有(-1)(-3)=x(x-2),即x2-2x-3=0,解得x=3或x=-1. 当x=3时,a=(-1,3),b=(1,-3),这时a=-b,a与b反向;当x=-1时,a=(-1,-1),b=(-3,-3),这时3a=b,a与b同向,故实数x的值为3. 解法二因为向量a=(-1,x),b=(x-2,-3)反向,所以设a=
5、b(0),即(-1,x)=(x-2,-3),探究一,探究二,探究三,思想方法,利用共线向量证明三点共线,探究一,探究二,探究三,思想方法,三点共线的实质与证明步骤 (1)实质:三点共线问题的实质是向量共线问题.两个向量共线只需满足方向相同或相反,两个向量共线与两个向量平行是一致的. (2)证明步骤:利用向量平行证明三点共线需分两步完成: 证明向量平行;证明两个向量有公共点.,探究一,探究二,探究三,思想方法,答案C,探究一,探究二,探究三,思想方法,利用共线向量解决几何问题 【典例】 如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB的交点P的坐标.【审题视角】(1)AC与
6、OB相交于点P,则必有O,P,B三点共线和A,P,C三点共线;(2)根据O,P,B三点共线可得到点P坐标应满足的关系,再根据A,P,C三点共线即可求得点P坐标.,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤: 首先分析题意,将题目中有关的点坐标化,线段向量化,再利用题目条件,寻找向量关系,列出方程(组)求出有关变量,最后回归到几何问题中.,1,2,3,4,5,1.已知向量a=(-2,4),b=(3,-6),则a和b的关系是 ( ) A.共线且方向相同 B.共线且方向相反 C.相反向量 D.不共线 解析由已知可得b= a,所以a与b反向共线. 答案B,6,1,2,3,4,5,答案C,6,1,2,3,4,5,解析A,C,D中向量e1与e2共线,B中e1,e2不共线,所以可作为一组基底. 答案B,6,1,2,3,4,5,4.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),若为实数,(a+b)c,则的值为 .,6,1,2,3,4,5,答案4,6,1,2,3,4,5,6,6.已知平面上三个点的坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求点D的坐标,使得A,B,C,D四点构成平行四边形.,
