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1、第一章 极限与连续,数列的极限 函数的极限 无穷大量与无穷小量 极限的运算法则 二个重要极限 无穷小的比较 函数的连续性 极限概念在经济学中应用,1.数列的定义一个定义在正整数集合上的函数(称为整标函数),当自变量按正整数依次增大的顺序取值时，函数值按对应的顺序排成一串数：称为一个无穷数列，简称数列数列中的每一个数称为数列的项， 称为数列的一般项。,1.2.1数列的极限,下面我们来看几个无穷数列的例子,先找出它们的通项,截丈问题：,“一尺之棰，日截其半，万世不竭”,我们再来分析一下这几个数列的变化趋势,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,如果数列没有极限,就说数列是发散的.
2、,数列极限的定义未给出求极限的方法.,例,证,所以,注意：,说明：,数列是一种特殊的函数，以项数为自变量的整标函数 如果一个数列有极限，我们就称此数列是收敛的，否则就称它是发散的 常数数列的极限为此常数,一自变量趋向无穷大时函数的极限,二自变量趋向有限值时函数的极限,三极限的性质,第二节 函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,1+,y,一般的对于函数 和常数A，若 时， 无限趋近于A，则称A为 时函数 的极限，记为,当,注意：是刻划（x）与A的接近程度的，是任意给定的，M是随 而定的。,两种特殊情形:,当 沿 轴的正向趋向无穷时，函数 无限趋近于常数A，则称常数A为 +时，函数 的极限
3、。记为,当 沿 轴的负向趋向无穷时，函数 无限趋近于常数A，则称常数A为 -时函数 的极限。记为,二、自变量趋向有限值时函数的极限,例1 函数 ,由观察可知，当 趋近于1（记为 1）时，函数 的值无限趋近4， 我们称4为 1时， 的极限。记为,无限接近于0,例2 的值无限接近8。,换言之， 当 1时，,（此时可以说 8就是 1, 函数 的极限）,那么8就是当 1时，函数 的极限,（此时可以说 13就是 2时，函数 的极限）,例3 =5 +3,当 2时， 的值无限接近13。,换言之，当 2时，,就说当 2时，函数 的极限是13,无限接近于0（无限小）,2.几何解释:,注意：,定理4(唯一性定理)
4、 如果函数在某一变化过程中有极限，则其极限是唯一的,函数极限的性质,定理5(有界性定理) 若函数f (x)当x x0时极限存在， 则必存在x0的某一邻域，使得函数f (x)在该邻域内有界,定理6(两边夹定理) 如果对于x0的某邻域内的一切 x ( 可以除外)，有 ，且,则,3.单侧极限:,例如,当 从0的左侧趋向于0时，有,当 从0的右侧趋向于0时，有,左右极限存在但不相等,例8,证,思考题,思考题解答,左极限存在,右极限存在,不存在.,例如,注意,1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,2.零是可以作为无穷小的唯一的数.,一、无穷小,1.定义:,极限为零的变量称为无穷小量.,无穷小与无穷大,
5、2.无穷小与函数极限的关系:,3.无穷小的运算性质:,定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,推论 常数与无穷小的乘积是无穷小.,定理4: 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,二、无穷大,绝对值无限增大的变量称为无穷大.,特殊情形：正无穷大，负无穷大,注意,1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.,三、无穷小与无穷大的关系,定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,四、小结,1、主要内容:,2、几点注意:,无穷小与无穷大是相对于过程而言的.,（1
6、） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；,（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.,（3） 无界变量未必是无穷大.,一、极限运算法则,定理,第四节 极限的运算法则,推论1,常数因子可以提到极限记号外面.,推论2,二、求极限方法举例,例1,解,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,例2,解,例3,(消去零因子法),例4,解,(无穷小因子分出法),无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.,例5,解,先变形再求极限.,例6,解,例7,解,左右极限存在且相等,三、小结,1.极限的四则运算法则及其推论;,2.极
7、限求法;,a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.,思考题,在某个过程中，若 有极限， 无极限，那么 是否有极限？为什么？,思考题解答,没有极限,假设 有极限，,有极限，,由极限运算法则可知：,必有极限，,与已知矛盾，,故假设错误,第五节 两个重要极限,一 极限存在准则,二 两个重要极限,三 小结,四 思考题,一、极限存在准则,1.夹逼准则,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限,注意:,2.单调有界准则,单调增加,单调减少,单调数列,例3,解,二、两个重要极限,(1),例,
8、例 求,(2),例4,解,令,三、小结,1.两个准则,2.两个重要极限,夹逼准则; 单调有界准则 .,一、无穷小的比较,例如,极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,不可比.,观察各极限,无穷小的比较,定义:,例1,解,例2,解,常用等价无穷小:,二、等价无穷小替换,定理(等价无穷小替换定理),证,例3,解,不能滥用等价无穷小代换.,对于代数和中各无穷小不能分别替换.,注意,例4,解,解,错,三、小结,1.无穷小的比较:,反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较.,2.等价无穷小的替换:,求极限的又一种方法, 注意适用条件.,高(低)阶无穷小;
9、等价无穷小; 无穷小的阶.,思考题,任何两个无穷小量都可以比较吗？,思考题解答,不能,例当 时,都是无穷小量,但,不存在且不为无穷大,故当 时,函数的连续性,一 连续函数的概念,二 函数的间断点,三 连续函数的运算法则,四 闭区间上连续函数的性质,一、函数的连续性,1.函数的增量,2.连续的定义,例1,证,由定义2知,3.单侧连续,定理,例2,解,右连续但不左连续 ,4.连续函数与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,二、函数的间断点,例4,解,例5,解,例6,解,例7,解,注意 不要以为函数的间断
10、点只是个别的几个点.,三、小结,1.函数在一点连续必须满足的三个条件;,2.区间上的连续函数;,四、四则运算的连续性,定理1,例如,极限符号可以与函数符号互换;,例1,解,六、初等函数的连续性,三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.,定理5 基本初等函数在定义域内是连续的.,定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,例如,在0点的邻域内没有定义.,例3,例4,解,解,注意 2. 初等函数求极限的方法代入法.,定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,七 闭区间上连续函数的性质,推论(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,证,定义:,几何解释:,例1,证,由零点定理,四、小结,连续函数的和差积商的连续性.,复合函数的连续性.,初等函数的连续性.,定义区间与定义域的区别; 求极限的又一种方法.,反函数的连续性.,
