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1、误差理论与数据处理误差理论与数据处理练习题练习题 参考答案 第一章第一章 绪论绪论 1-7 用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为 100.5Pa，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？ 【解】在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。故二等标准 活塞压力计测量值的 绝对误差测得值实际值100.2100.50.3（ Pa） 。 相对误差= 0.3 100%0.3% 100.5 1-9 使用凯特摆时，g由公式g=4 2（h 1+h2）/T 2给定。今测出长度（h 1+h2）为 （1.042300.00005）m，振动时间T为（2.0480
2、0.0005）s。试求g及其最大相对误差。 如果（h1+h2）测出为（1.042200.0005）m，为了使g的误差能小于0.001m/s 2，T的测量 必须精确到多少？ 【解】测得（h1+h2）的平均值为 1.04230（m） ，T 的平均值为 2.0480（s） 。 由,得： 2 12 2 4 ()ghh T 2 2 2 4 1.042309.81053(/) 2.0480 gm s 当有微小变化、T 有变化时，令 12 ()hh 12 ()hhT 12 hhh g 的变化量为： 22 121212 23 12 2 1212 2 48 ()()() () 42 ()() gg ghhThh
3、hhT hhTTT T hhhh TT 1 22 23 2 2 48 42 () gg ghThh T hTTT T hh TT 的最大相对误差为：g 22 22 22 22 12 4422 2 44 () 0.000052 ( 0.0005) 100%0.054% 1.042302.0480 TT hhhh ghT TT TT ghT hhh TT 如果测出为（1.042200.0005）m，为使 g 的误差能小于 0.001m/s2，即： 12 ()hh 0.001g 也即 2 1212 2 42 ()()0.001 T ghhhh TT 2 2 42 0.00051.042200.001
4、 2.04802.0480 0.0005 1.017780.00106 T T T 求得：0.00055( )Ts 1-10. 检定 2.5 级（即引用误差为 2.5%）的全量程为 100V 的电压表，发现 50V 刻度点的 示值误差 2V 为最大误差，问该电压表是否合格？ 【解】 引用误差示值误差测量范围上限。所以该电压表的引用误差为： 由于： 2%2.5% 2 2% 100 m m m U r U V 所以该电压表合格。 113 多级弹导火箭的射程为 10000km 时，其射击偏离预定点不超过 0.lkm，优秀射手能 在距离 50m 远处准确地射中直径为 2cm 的靶心，试评述哪一个射击精
5、度高? 解： 多级火箭的相对误差为： %001 . 0 00001 . 0 10000 1 . 0 2 射手的相对误差为： 多级火箭的射击精度高。 附加 11 测得某三角块的三个角度之和为 180o0002”,试求测量的绝对误差和相对误 差 解： 绝对误差等于： 相对误差等于： %002 . 0 0002 . 0 50 01 . 0 50 1 m m m cm 21802000180 oo %000031. 010000030864 . 0 064800 2 0660180 2 180 2 o 3 第二章第二章 误差的基本性质与处理误差的基本性质与处理 2-2. 试述单次测量的标准差和算术平均
6、值的标准差，两者物理意义和实际用途有何 x 不同？ 【解】 单次测量的标准差表征同一被测量n次测量的测量值分散性的参数，可作为测量列 中单次测量不可靠性的评定标准。 222 12n n L 算术平均值的标准差是表征同一被测量各个独立列算术平均值分散性的参数，可 x 作为算术平均值不可靠性的评定标准 x n 在n次测量的等精度测量列中，算术平均值的标准差为单次测量标准差的，当测 1 n 量次数n愈大时,算术平均值愈接近被测量的真值，测量精度也愈高。 2-3. 试分别求出服从正态分布、反正弦分布、均匀分布误差落在中的概2 ,2 率。 【解】 （1）误差服从正态分布时 22 22 22 (2)(2)
7、 20 12 (2 ) 22 Peded 引入新变量 t:,经变换上式成为： ,tt 2 2 0 2 (2 )2 ( )2 0.41950.8484% 2 t t Pedtt （2）误差服从反正弦分布时 因反正弦分布的标准差为：，所以区间, 2 a 2 ,2, a a 4 故: 22 11 (2 )1 a a Pd a （3） 误差服从均匀分布时 因其标准差为：，所以区间，故 3 a 22 2 ,2, 33 aa 2 3 2 3 1112 (2 )20.8282% 223 a a Pda aa 2-4. 测量某物体重量共8次，测得数据（单位为g）为 236.45，236.37，236.51，2
8、36.34，236.39，236.48，236.47，236.40，求其算术平均值及 其标准差。 【解】选参考值，计算差值、和残差等列于表 0 236.00x 236.00 ii xx 0 x i v 中。 或依算术平均值计算公式，n=8，直接求得： 8 1 1 236.43( ) 8 i i xxg 计算标准差：用贝塞尔公式计算： 2 1 0.0251 0.06( ) 18 1 n i i v g n 0.06 0.02 8 x n 26 测量某电路电流共 5 次，测得数据(单位为 mA)为 5 168.41，168.54，168.59，168.40， 168.50。试求算术平均值及其标准差
9、、或然误差和平均误差。 解： )(49.168 5 5 1 mA I I i i 5 1 () 0.08 5 1 i i II 0.08 0.04 5 x n 5 1 () 22 0.080.05 35 13 i i II 0.67450.02 x R 5 1 () 44 0.080.06 55 15 i i II 0.79790.03 x T 27 在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量 5 次，测得数据(单位为 mm)为 200015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若测量值服从正态分布，试以 99 的置信概率确定测量结果。 解： 求算术平均值 求测量列单次
10、测量的标准差 用贝塞尔公式计算： 2 8 4 1 26 10 2.55 10 14 n i i v mm n 用别捷尔斯公式计算： 4 1 0.0008 1.2531.2532.24 10 (1)5 4 n i i v mm n n 求算术平均值的标准差 4 4 2.55 10 1.14 10 5 x mm n mm n l x n i i 0015.20 1 6 4 2.24 10 5 x n 0. 0001 求单次测量的极限误差和算术平均值的极限误差 做法 1 ： 因 n5 较小，算术平均值的极限误差应按 t 分布处理。 现自由度为：n14； 10.990.01， 查 t 分布表有：4.6
11、0t 单次测量的极限误差： 433 lim 4.60 2.55 101.173 101.17 10xtmm 算术平均值的极限误差： 44 lim 4.60 1.14 105.24 10 x xtmm 写出最后测量结果 做法 2 ： 因假设测量值服从正态分布，并且置信概率 P=2(t)=99%，则 (t)=0.495，查正态分布 积分表，得置信系数 2.6t 单次测量的极限误差： 44 lim 2.60 2.55 106.63 100.00066xt 算术平均值的极限误差： 44 lim 2.60 1.14 102.964 100.0003 x xt 写出最后测量结果 lim 20.00150.
12、0003Lxxmm 210 用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差 0.001mm，若要求测量的允许极 限误差为0.0015mm，而置信概率 P 为 0.95 时，应测量多少次？ 解：根据极限误差的意义，有 0015 . 0 n tt x 根据题目给定得已知条件，有 5 . 1 001 . 0 0015 . 0 n t mmxxL 4 lim 1024 . 5 0015.20 7 查教材附录表 3 有 若 n5，v4，0.05，有 t2.78， 24 . 1 236 . 2 78 . 2 5 78 . 2 n t 若 n4，v3，0.05，有 t3.18， 59 . 1 2 18 . 3 4
13、 18 . 3 n t 即要达题意要求，必须至少测量 5 次。 2-11 已知某仪器测量的标准差为0.5m。若在该仪器上，对某一轴径测量一次，测得 值为26.2025mm，试写出测量结果。若重复测量10次，测得值（单位为mm）为 26.2025，26.2028，26.2028，20.2025，26.2026，26.2022，20.2023，26.2025，26.20 26，26.2022，试写出测量结果。若手头无该仪器测量的标准差值的资料，试由中10 次重复测量的测量值，写出上述、的测量结果。 解： 单次测量的极限误差以 3 计算: lim 33 0.51.5()0.0015()xmmm 所以测量结果可表示为：26.20250.0015 (mm) 重复测量 10 次，计算其算术平均值为： 10 1 26.2025() i i xxmm 取与相同的置信度，算术平均值的标准差: 0.0005 10 x n -4 1. 58 10 m m mm lim 334.745 x x -4-4-4 1. 58 101010 则测量结果为： (mm)326.20250.0005 x x 若无该仪器测量的标准差资料，则依 10 次重复测量数据计算标准差和表示测量结果。 选参考值，计算差值、和残差等列于表中。 0 26.202x 26.202 ii xx
