《数列的子列》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数列的子列（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1.4 数列的子列数列的子列定义定义 1：设：设为数列，为数列，为正整数集为正整数集的无限子集，且的无限子集，且naknN，则数列，则数列 ，称为数列，称为数列的一个子的一个子12knnn 12, knnnaaana列，简记为列，简记为。 kna在数列在数列中，保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项中，保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项na所得的数列称为所得的数列称为的子列，记为的子列，记为，其中，其中表示表示在原数列在原数列na knakn kna中的项数，中的项数， 表示它在子列中的项数表示它在子列中的项数k定义定义 2： 数列数列本身以及本身以及去掉有限项后得到的子列，称为去掉有限
2、项后得到的子列，称为nana的的平凡子列平凡子列；不是平凡子列的子列，称为；不是平凡子列的子列，称为非平凡子列非平凡子列。nana性质性质：一个数列与它的任一平凡子列同为收敛或发散；且：一个数列与它的任一平凡子列同为收敛或发散；且在收敛时有相同的极限。在收敛时有相同的极限。对数列的子列，有如下结果对数列的子列，有如下结果：（1） 对每一个对每一个 ，有，有kknk（2） 对任意两个正整数对任意两个正整数，如果，如果，则，则反之，若反之，若kh,kh khnn ，则，则khnn kh （3） ，有，有.KkKax knn , 0lim ax kn（4） 数列数列收敛的收敛的充要条件充要条件是是
3、和和 收敛到同一极限收敛到同一极限.nxnx212 nx证明证明: 必要性必要性. 设设,则任给则任给,找得到正整数找得到正整数 N,当当时时,有有.xxn n lim0Nn |xxn此时对此时对 2N, 当当 2n2N 时也有时也有, 亦即亦即. 同理可同理可|2xxnxxnn 2lim证证.xxnn12lim充分性充分性. 设设, 则对任给则对任给, 找得到正整数找得到正整数 N,当当xxxnnnn122limlim0nN 时时,有有|2xxn同时可找到正整数同时可找到正整数 M, 当当 nM 时时,有有|12xxn从而取从而取 N0 =max2N, 2M+1, 当当 nN0时时, n 为
4、偶数为偶数, 则满足则满足; n 为奇数为奇数, 则满足则满足,即当即当 nN 时时,有有, 亦即亦即 .|xxnxxn n lim（5）若若，和和都收敛，且有相同的极限，则都收敛，且有相同的极限，则收收23 ka13 ka3kana敛。或者说：数列敛。或者说：数列收敛的收敛的充要条件充要条件是是 ，和和收收na23 ka13 ka3ka敛到同一极限敛到同一极限.证明证明: 设设，则由数列极限的定义，知，则由数列极限的定义，知aaaakkkkkk 31323limlimlim，；同样也有；同样也有，001K1Kk |23aak02K，；，。2Kk |13aak03K3Kk |3aak取取，当，
5、当时，对任意的自然数时，对任意的自然数 n ，3,3,3max321KKKN Nn 若若，则必有，则必有，从而，从而；同样若；同样若，则必，则必23 kn1Kk |aan13 kn有有，从而也有，从而也有；若；若，则必有，则必有，从而，从而2Kk |aankn33Kk 。所以。所以，即，即收敛。收敛。|aanaan k limna（6）数列数列收敛的充要条件：收敛的充要条件：的任何子列都收敛于同一极的任何子列都收敛于同一极nana限限. .证明证明:必要性必要性. 设设是是的任一子列的任一子列.,使得使得lim, knnnaa a na0,0N 当当时有时有. 由于由于,故当故当时更有时更有,
6、从而也有从而也有nN|naaknkkNknN, 这就证明了这就证明了.| knaalim knkaa 充分性充分性. 考虑考虑的子列的子列 .按假设它们都收敛按假设它们都收敛.由由na2213,nnnaaa于于既是既是,又是又是的子列的子列,故由刚才证明的必要性有故由刚才证明的必要性有6na2na3na.又又既是既是又是又是的子列的子列, 同样可得同样可得263limlimlimnnnnnnaaa 63ka21ka3ka. 故故. 由上面的由上面的（4）点可知点可知收敛收敛.213limlimkkkkaa221limlimkkkkaana下面举几个子列的例子。下面举几个子列的例子。例例 1 :
7、 证明以下数列发散证明以下数列发散（1） ; （2） 1) 1(nnnnn) 1(证明证明: 设设，则，则，1) 1(nnan n)(, 11222nnnan而而，因此，因此 发散。发散。121212nnan 1) 1(nnn（2）nn) 1(证明证明: 的偶数项组成的数列的偶数项组成的数列，发散，所以，发散，所以nn) 1(nan22发散。发散。nn) 1(例例 2: 判断以下结论是否成立判断以下结论是否成立: 若若和和都收敛，则都收敛，则收收12 ka2kana敛。敛。解解: 结论不一定成立。例如，设结论不一定成立。例如，设，则，则， n na) 1(12ka112ka都收敛，但都收敛，但
8、发散。发散。n na) 1(注注: 若若和和都收敛，且都收敛，且极限相等极限相等（即（即） ，12 ka2kakkkkaa212limlim 则则收敛。收敛。na例例 4: 若单调数列若单调数列含有一个收敛子列，则含有一个收敛子列，则收敛。收敛。nana证明证明：不妨设：不妨设是单调增加数列，是单调增加数列，是其收敛子列。于是是其收敛子列。于是na kna有界，即存在有界，即存在，使得，使得。 （这里用了结论：（这里用了结论： kna0M, 2, 1,kMa kn数列收敛，则必有界）数列收敛，则必有界） 。对单调增加数列对单调增加数列中的任一项中的任一项必有必有 ，即，即单调单调namaMaa
9、 kmmna增加有上界，从而收敛。增加有上界，从而收敛。 （这里用了结论：单调有界数列必收敛）（这里用了结论：单调有界数列必收敛）。例例 5（致密性定理）（致密性定理）: 任何有界数列必有收敛的子数列。任何有界数列必有收敛的子数列。证明证明: 设设是一个有界数列，且设是一个有界数列，且设nx,supsup1 nnk nknxxxy1 121sup,sup nk nknnyxxx即即是一个单调下降的数列，又是一个单调下降的数列，又有界，则存在正数有界，则存在正数 M，nynx, 从而从而。Mxn |Myn |则则 是单调有界数列。由单调有界收敛原理知，是单调有界数列。由单调有界收敛原理知，收敛。收敛。nyny
