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1、第九讲第九讲 反常积分（广义积分）反常积分（广义积分）一、反常积分的计算主要是 Newton-Leibniz 公式，换元法例例 1 计算。1 222d()yItxttxy解解：令，则txu。11 2222220d2dyyIuuuuuyuy若，则显然。当时，令，则0y 0I 0y 2uy z。2404sgnd1zIyyzz令，则1vz，244400011ddd111zzvzzvz因此222440001d111dd121212zzzzzzzzzz。01 112arctan2422tt 从而。2sgnIyy例例 2 2 计算。 0lnsin dIx x解解：令，则。令，则 2xt 22 00lnsi
2、n dlncos dx xt txt 2lnsin dx x。因此。于是 2 0lnsin d t t22002lnsin dlnsin dlncos dx xx xx x 22 001lnsinlncosdlnsin2d2Ixxxxx。 22 00lnsin2ln2 dln2lnsin2 d2xxx x 再令，则2xu，2 001lnsin2 dlnsin d22Ix xu u因此。ln2I 例例 3 3 计算。20lnd1xIxx解解：令，则1xt，12210lnlndd11xtxtxt 从而。12201lnlndd011xxIxxxx例例 4 4 计算。 2 0cos2lncos dnI
3、nxx x解解：利用分部积分法有22 0011sin2sinsin2lncosd22cosnnxxInxxxnnx。 2 01cos(21)cos(21)d4cosnxnxxnx记，则当时 2 0cos(21)dcosnnxJxx2n 2 10cos(21)cos(21)dcosnnnxnxJJxx。22 00cos2cos1dsin20cos2nxxxnxxn又显然，因此，从而有0 2J ( 1)2n nJ 。111( 1) 44nnnnIJJnn例例 5 5 求。1001maxlnd ttxx 解解：当时，01t 1100( )lndln()dln()dttI ttxxtxxxtx 。1l
4、n(1)ln(1)tttt 于是，由得且它为极大值点，从1( )1 ln1 ln(1)ln1I tttt ( )0I t 1 2t 而。10011maxlnd1 ln22ttxxI 例例 6 6 证明，2001d4dbfaxxftabtxa其中且积分有意义。,0a b 证明证明：令，则，又24baxtabx22 224bbaxtabaxtxx，24bbaxaxabxx因此可设。从而有0t ，当；2142xtabta/xb a，当。2142xtabta0/xb a从而（注意上、下限变化）/00/ddb ab abbfaxxfaxxxx22 20444dd22ttabtabtftabaa。2014
5、dftabta例例 7 7 计算。 1d (1)()nxIx xxn1n 解解：因为时2n ，1111 (1)()(1)(1)(1)(2)()x xxnn x xxnxxxn而（注意积分收敛）112dd (1)(2)()(1)(1)x txt xxxnt ttn 因此111dd (1)(1)(1)(2)()nxxInx xxnxxxn。211d (1)(1)x nx xxn若，则101 (1)(1)n iiA x xxnxi，1( 1)lim(1)(1)!(1)!iixiAxix xxni ni 从而有21011( 1)ln!(1)!inn iIxini ni 。101( 1)2ln!(1)!
6、1inii ni nii 最后我们有。11111dlnln211xIxxxx它也满足上面的公式。即101( 1)2ln!(1)!1inn iiIni nii 。01( 1)ln(1)!n ii n iCin 二、反常积分的收敛性判别法 1比较判别法与 Cauchy 判别法（与-积分比较）阶的估计p例例 8 8 设且，证明：积分( )1,)f xC( )0f x ln( )lim1lnxf x x 收敛。 1( )df xx证明证明：令。由，存在，当时102ln( )limlnxf x x 1X xX，1 2ln( )( )lnf xf xxxx 因此由和收敛知收敛。( )0f x 1 2 1d
7、xx1( )df xx2时考虑的有界性。( )0f x ( )dAaf xx例例 9 9 设在上恒正，在任意有限区间上可积，又存在，使得( )f x(,) 0M | | ( )dx kf x exM对任意成立。证明收敛。0k ( )df xx证明证明：考虑的有界性，令，取，则( )dBAf xxmax,CABkC| | | 0( )d( )d( )dCxCxBBBkkk AAAf xxf x exef x ex，| | ( )d3CxC kkkef x exe MM因此收敛。( )df xx 3利用分部积分再判定收敛性。例例 1010 判定的收敛性。 0sind sin2xx xx解解：有分部
8、积分法有2sincoscosdd sinsinsin222xxxxx xxxxxx 。21cosdsin2xxxx 而当时，因此积分收敛，从而x22cos4sin2x xxx 2cosdsin2xxxx收敛。2cosdsin2xxxx注意到， 0sin2lim2sin2xxxx因此为正常积分。综合起来知原积分收敛。 0sind sin2xx xx 另法：利用收敛，以及 0sindxxx00sinsindd sin2xxxxxxx 22200sinsin2dd sin2xxxxxx xx 也能得到结论。而且此法可以推广。例例 1111 判定积分的收敛性（） 。 1sindsinpxxxx0p 解
9、解：利用 Dirichlet 判别法知对都收敛，而 1sindpxxx0p 11sinsinddsinppxxxxxxx。 11 cos2d2(sin )ppxxxxx又由 Dirichlet 判别法知收敛，因此原积分收敛等价于积分 1cos2d2(sin )ppxxxxx11d(sin )ppxxxx收敛。注意此积分函数的分母在无穷远的阶为，因此仅当时收敛。2p1 2p 综合起来，原积分收敛当且仅当。1 2p 至于分部积分法，还有很多的题目都可用。例例 1212 考虑积分的收敛性。41sindxxx提示提示：。44 4 2311 1coscossindd42xxxxxxxx 4级数判别法例例
10、 1313 设，证明反常积分当且时收敛，其余0pq 0d1sinqpxxx1p pq情形发散。提示提示：时（） ，因此积分发散。当时，1p 11 21sinqppxxx 1x pq(1)00dd1sin1sinnqqppnnxxxxxx 2 0000dd 1 () sin1 () sinpqpq nnxx nxxnxx0022dd 1 () sin1 (2)/nn qpqpnnxx nxxnn，21 (2)/qpnnnn由于，因此积分发散。lim 1 (2)/qpnn nnn当且时，记，则1p 0pq(1)d1sinnnqpnxI xx ， 00d1sinnqpnxI xx 而(1)(1)dd
11、1sin1 () sinnnnqqppnnxxI xxnx 。22 00dd2221 () sin1 () (2 /)npqpqxxJnxnx最后，令，则1 1 () (2 /)pqtnx。/11/1/1 11 ()()(1)d2pp q qq n nnJtttq 先设，则1pq/11/1/10()()(1)d(1/ ,1 1/ )22p qp q qq nnnJtttBqqqq ，/( , )p qC p q n从而收敛，即原积分收敛。当时，取使，则0n nI10pq 0q01pq， 000dd1sin1sinqqppxxxxxx 因而原积分收敛。 例例 1414 考虑积分收敛性与绝对收敛性
12、：（1）； （2）。cos0desin(sin )xxxxsin0desin(sin )xxxx解解：（1）记，则(21)cos(21)dsin(sin )nx nnxIexx2 (21)coscos(21)2 ddesin(sin )sin(sin )nnxx nnnxxIxexxxcoscos00ddesin(sin )esin(sin )2 2 ttttttntnt ，cos 2202 desin(sin ) 2 tt tt nt 从而，。因此级数（绝对）22222002e dee2 d(41)412 nt tIt tnnnt1n 1n nI收敛，由此知原积分收敛。由于，cossinsin(sin )2 exxex xx而发散，因此积分发散，从而原积分条件收敛。 1sindxxxcos1desin(sin )xxxx（2）记，则(22)sin2desin(sin )nx nnxJxx(21)(22)sinsin2 (21)ddsin(sin )sin(sin )nnxx nnnxxJexexxxsinsin00ddesin(sin )esin(sin )2 (21)xxtttttntn，nnuv其中，sin0desin(sin )(2
