成人高考专升本高数一复习资料

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1、成人高考高数一复成人高考高数一复习资习资料料第一章第一章 极限和连续极限和连续 第一节第一节 极限极限 复习考试要求复习考试要求 1.理解极限的概念（对极限定义、等形式的描述不作要 求） 。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的 充分必要条件。 2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。 3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷 大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价） 。会运 用等价无穷小量代换求极限。 4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 主要知识内容主要知识内容 （一）数列的极限（一）数列的极限 1.1.数列

2、数列按一定顺序排列的无穷多个数称为数列，记作，其中每一个数称为数列的项，第 n 项。为数列的 一般项或通项，例如（1）1，3，5，（2）（3）（4）1，0，1，0， 都是数列。在几何上，数列可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点。 2.2.数列的极限数列的极限定义对于数列，如果当时，无限地趋于一个常数 A，则称当n 趋于无穷大时，数列以常数 A 为极限，或称数列收敛于 A，记作 否则称数列没有极限，如果数列没有极限，就称数列是发散的。数列极限的几何意义：将常数 A 及数列的项依次用数轴上的点表示，若数列以 A 为极限，就表示当 n 趋于无穷大时，点可以无 限靠近点 A。 （二）数列极限的性

3、质（二）数列极限的性质定理定理 1.11.1（惟一性）若数列收敛，则其极限值必定惟一。定理定理 1.21.2（有界性）若数列收敛，则它必定有界。 注意：这个定理反过来不成立，也就是说，有界数列不一定收敛。定理定理 1.31.3（两面夹定理）若数列，满足不等式且。定理定理 1.41.4 若数列单调有界，则它必有极限。 下面我们给出数列极限的四则运算定理。定理定理 1.51.5 （1）（2）（3）当时，（三）函数极限的概念（三）函数极限的概念1.1.当当时函数时函数的极限的极限（1）当时的极限定义 对于函数，如果当 x 无限地趋于时，函数无限地趋于一个常数 A，则称当时，函数的极限是 A，记作或（

4、当时）（2）当时的左极限定义 对于函数，如果当 x 从的左边无限地趋于时，函数无限地趋于一个常数 A，则称当时，函数的左极限是 A，记作或 例如函数 当 x 从 0 的左边无限地趋于 0 时，无限地趋于一个常数 1.我们称：当时，的左极限是 1，即有 （3）当时，的右极限定义 对于函数，如果当 x 从的右边无限地趋于时，函数无限地趋于一个常数 A，则称当时，函数的右极限是 A，记作或又如函数 当 x 从 0 的右边无限地趋于 0 时，无限地趋于一个常数-1 。因此有这就是说，对于函数 当时，的左极限是 1，而右极限是 -1，即但是对于函数，当时，的左极限是 2，而右极限是 2。 显然，函数的左

5、极限、右极限与函数的极限之 间有以下关系：定理 1.6 当时，函数的极限等于 A 的必要充分条件是这就是说：如果当时，函数的极限等于 A，则必定有左、右极 限都等于 A。反之，如果左、右极限都等于 A，则必有。 这个结论很容易直接由它们的定义得到。以上讲的是当时，函数的极限存在的情况，对于某些函数的某些点 处，当时，的极限也可能不存在。2.2.当当时，函数时，函数的极限的极限（1）当时，函数的极限定义 对于函数，如果当时，无限地趋于一个常数 A，则称当 时，函数的极限是 A，记作或（当时） （2）当时，函数的极限定义 对于函数，如果当时，无限地趋于一个常数A，则称当 时，函数的极限是 A，记作

6、 这个定义与数列极限的定义基本上一样，只不过在数列极限的定义中 一定表示，且 n 是正整数；而在这个定义中，则要明确写出 ，且其中的 x 不一定是整数。如函数，当时，无限地趋于常数 2，因此有（3）当时，函数的极限定义 对于函数，如果当时，无限地趋于一个常数A，则称当时，的极限是 A，记作又如函数，当时，无限地趋于常数 2，因此我们说，当时，函数的极限是 2，即有由上述，时，函数极限的定义，不难看出：时，的极限是 A，这表示当且仅当以及时，函数有相同的极限 A。但是对函数来讲，因为有,即虽然当时，的极限存在，当时，的极限也存在，但 这两个极限不相同，我们只能说，当时，的极限不存在。例如函数，当

7、时，无限地趋于常数 1：当时，也无限地趋于同一个常数 1，因此称当时的极限是 1，记作其几何意义如图 3 所示.（四）函数极限的定理（四）函数极限的定理定理定理 1.71.7 （惟一性定理）如果存在，则极限值必定惟一。定理定理 1.81.8 （两面夹定理）设函数，在点的某个邻域内（可除外）满足条件且有 。 注意：上述定理 1.7 及定理 1.8 对也成立。 下面我们给出函数极限的四则运算定理定理定理 1.91.9 如果 则（1） （2）（3）当 时， 上述运算法则不难推广到有限多个函数的代数和及乘积的情形，并有以下推 论： 推论推论 （1）（2） （3） 用极限的运算法则求极限时，必须注意：这

8、些法则要求每个参与运算的函数 的极限存在，且求商的极限时，还要求分母的极限不能为零，另外，上述极 限的运算法则对于的情形也都成立。 （五）无穷小量和无穷大量（五）无穷小量和无穷大量 1 1、无穷小量（简称无穷小）、无穷小量（简称无穷小）定义 对于函数，如果自变量 x 在某个变化过程中，函数的极限为零，则称在该变化过程中，为无穷小量，一般记作在微积分中常用希腊字母来表示无穷小量。这里说的“自变量 x 在某个变化过程中“是指当 或，或， 或，或，或中的一个。为了简单起见，我们没有专门 再提出数列，而把它归入函数之中，并且有时将数列与函数统称为变量。定理定理 1.101.10 函数以 A 为极限的必

9、要充分条件是：可表示为 A 与一个无穷小量之和。 注意：注意： （1）无穷小量是变量它不是表示量的大小，而是表示变量的变化趋势是变 量无限趋于零的。 （2）一个变量是否为无穷小量是与自变量的变化趋势紧密相关的。在不同 的变化过程中，同一个变量可以有不同的变化趋势，例如，。所以，当时，是无穷小量；而当时，就不是无穷 小量。因此称为无穷小量时，必须指出自变量的变化趋势。否则是毫无 意义的。 （3）很小很小的数不是无穷小量，越变越小的变量也不一定是无穷小量，例如当 x 越变越大时，就越变越小，但它不是无穷小量。 （4）无穷小量不是一个数，但“0“是无穷小量中惟一的一个数，这是因为。 2.无穷大量（简

10、称无穷大）定义 如果当自变量（或）时，的绝对值可以变得充分大（也 即无限地增大） ，则称在该变化过程中，为无穷大量。记作。 2.2.无穷小量与无穷大量的关系无穷小量与无穷大量的关系 无穷小量与无穷大量之间有一种简单的关系，见以下的定理。定理 1.11 在同一变化过程中，如果为无穷大量，则为无穷小量；反之，如果为无穷小量，且，则为无穷大量。例如当时，是无穷大量，而当时，是无穷 小量。当时，是无穷小量，而当 时，是无穷大 量。 3.3.无穷小量的基本性质无穷小量的基本性质 性质 1 有限多个无穷小量的代数和仍是无穷小量； 性质 2 有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；特别地，常量与无 穷小

11、量的乘积是无穷小量。 性质 3 有限多个无穷小量的乘积是无穷小量。 性质 4 无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。 4.4.无穷小量的比较无穷小量的比较定义 设是同一变化过程中的无穷小量，即 （1）如果则称是比较高阶的无穷小量，记作；（2）如果则称是与 同阶的无穷小量；（3）如果 则称 与是等价无穷小量，记为 ；（4）如果则称 是比较低价的无穷小量。记作 例如：因为，所以称与 x 是等价无穷小量（当时） 。因为，所以称与 x 是同阶无穷小量（当时） 。因为，所以称是比较高阶的无穷小量（当时） 。 两个等价无穷小量可以互相代换，且有下列性质：如果当（）时，均为无穷小量，又，且存在，则

12、 这个性质常常使用在极限运算中，它能起到简化运算的作用。但是必须注意： 等价无穷小量代换只能在极限的乘除运算中使用。 常用的等价无穷小量代换有：当时， x； x； x；x ；x ；x； ； 对这些等价无穷小量的代换，应该更深一层的理解为：当0 时其余类似。例如当时，当时，sin 。 （六）两个重要极限（六）两个重要极限1.1.重要极限重要极限 I I 属三角函数的型的极限问题 该公式可以用下面更直观的结构式表示2、重要极限属型的幂指型的极限问题 其中 e 是个常数，叫自然对数的底，它的值为： e=2.718 281 828 495 045其结构式可表示为 （七）求极限的方法（七）求极限的方法

13、1.利用极限的四则运算法则求极限； 2.利用两个重要极限求极限； 3.利用无穷小量的性质求极限； 4.利用函数的连续性求极限； 5.利用洛必达法则求未定式的极限； 6.利用等价无穷小代换定理求极限。 四则运算法则：四则运算法则： limf(x)=A limg(x)=B limf（x）g（x） =limf(x)limg(x)=AB limf（x）g（x） = limf(x)limg(x)=AB lim K（x）=K lim f（x）=KAlim=（B0） limf(x)=limf（x） n=An 基本极限公式基本极限公式 （1）limc=c（2），（3），（4） 1.1.约分，求极限约分，求极限

14、答答02.2.当当时时型的极限型的极限答3计算极限 答0 一般地，有计算极限 答 3.3.无穷小的性质求极限无穷小的性质求极限等于A.0B. C.1D.2 答A 4.4.第第个重要极限个重要极限等于A.0B. C.1D.3答D等于A.0B.1 C. D. 答A若存在，且，则答 1 5.5.第第个重要极限个重要极限求极限答 等于（ ） A.B.e C. D. 答D计算 答e 6.6.求极限的逆问题求极限的逆问题（1）当时，己知极限值求函数式中待定系数例 1.若，求 a，b 的值.答 型未定式. a=3，b=-2。 （2）当 x时，己知极限值求函数式中待定系数（一）27若， 求 a，b 的值.答

15、型 a=-1，b=1.设，则 K=_。答 7.7.无穷小量无穷小量 当 x0 时，下列函数为无穷小的是（ ）A. B.C. D.2x-1 答 B 当 x0 时，是 x 的（ ） A.高阶无穷小 B.低阶无穷小 C.同阶无穷小，但不等价 D.等价无穷小答C当 x0 时，与为等价无穷小，则必有 a=_。答 第二节第二节 函数的连续性函数的连续性 复习考试要求复习考试要求 （1）理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限 存在的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法 （2）会求函数的间断点。 （3）掌握在闭区间上连续函数的性质，会用介值定理推证一些简单的命题。（4）理

16、解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用连续性求极限 主要知识内容主要知识内容 （一）函数连续的概念（一）函数连续的概念1 1、函数在点、函数在点处连续处连续定义 1 设函数 y=f（x）在点的某个邻域内有定义，如果当自变量的改变量 趋近于 0 时，相应的函数也趋近于 0，即或则称函数 y=f（x）在点处连续。函数 y=f（x）在点连续也可作如下定义。定义 2 设函数 y=f（x）在点的某一邻域内有定义，如果当时，函数 y=f（x）的极限值存在，且等于处的函数值，即则称函数 y=f（x）在点连续，此时有定义 3 设函数 y=f（x） ，如果，则称函数 f（x）在点处左连续；如果，则称函数 f（x）在点处右连续。由上述定义 2可知如果函数 y=f（x）在点处连续，则 f（x）在