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1、第 1 页安徽工程大学 数学建模 课程设计论文组合投资收益和风险问题的数学建模姓 名：何健堃 学 号：3110801216 班 级：数学 112 指导老师：周金明 成 绩： 完成日期：2013 年 7 月 3 日第 2 页摘要在现代商业、金融投资中，投资者总是希望实现收益最大化，然而投资是 要承担风险的，收益与风险之间存在难以调和的矛盾，怎样兼顾两者，寻找切 实可行的决策思想，是投资的收益和风险决策的一个重要的问题。本论文主要 讨论并解决了在组合投资问题中的投资收益与风险的有关问题。分别在不考虑 投资项目之间的影响和考虑投资项目之间的影响以及不考虑风险和考虑风险的 情况下，建立相应的数学模型，
2、来使得投资所获得的总利润达到最大。 问题一是一典型的线性规划问题。根据题目要求，要求第五年末的最大利 润，则建立线性规划模型，在 LINDO 中编程求得第五年末的最大利润为 1418.704 万元。第一年投资项目有 1，2，3，4，5，6，投资额分别为 50000.00，30000.00，40000.00，30000.00，30000.00，20000.00 万元；第二年 投资项目有 1，2，7，投资额分别为 10083.00，30000.00，40000.00 万元；第三 年投资项目有 1，2，8，投资额分别为 50307.08，30000.00，30000.00 万元；第 四年投资项目有
3、1，2，3，4，投资额分别为 30625.39，30000.00，40000.00，30000.00 万元；第五年投资项目有 1，2，投资 额分别为 30689.01，30000.00 万元。 问题二是在问题一的基础上，增加了约束条件（考虑项目间的影响）的组 合投资问题。建立非线性规划模型，在 LINGO 中求解得到第五年末的最大利 润为 231762.8 万元。第一年投资项目有 1，2，3，4，投资额分别为 60000.00，60000.00，35000.00，30000.00 万元；第二年投资项目有 1，2，5， 投资额分别为 60000.00，60000.00， 30000.00 万元；
4、第三年投资项目有 1，2，6，投资额分别为 60000.00，60000.00，40000.00 万元；第四年投资项目 有 1，2，3，4，投资额分别为 60000.00，60000.00，35000.00，30000.00 万元； 第五年投资项目有 1，2，投资额分别为 60000.00，60000.00 万元。 问题三在问题二的基础上考虑投资风险，要求风险最小，收益最大，是一 双目标函数问题，求解过程中假设投资者能承受的最大风险度 0.01a，进而将 其转化为单目标问题。在 LINGO 中求解得到第五年末的最大利润为 175244.8 万元。第一年投资项目有 1，2，3，4，6 投资额分别
5、为 60000.00，60000.00，11670.25，30000.00，7784.336 万元；第二年投资项目有 1，2，3，5，6 投资额分别为 57395.06，54729.02，12711.78，2500.000，1342.021 万元；第三年投资项目有 1，2，3，4，6，投资额分别为 60000.00，60000.00，13511.02，30000.00，9012.173 万元；第四年投资项目有 1，2，3，投资额分别为 60000.00，60000.00，17037.64 万元；第五年投资项目 有 1，2，投资额分别为 60000.00，60000.00 万元。关键词：线性规划
6、 非线性规划 LINGO 风险第 3 页1、问题重述由题意知，现有一笔 20 亿的资金作为未来 5 年的投资资金，不是将其投 资于一个项目上，而是有 8 个项目可供选择投资，并要求：项目 1、项目 2 每 年初投资，当年年末回收本利（本金和利润） ；项目 3、项目 4 每年初投资，要 到第二年末才可回收本利；项目 5、项目 6 每年初投资，要到第三年末才可回 收本利；项目 7 只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；项目 8 只能在 第三年年初投资，到第五年末回收本利。 1.公司财务分析人员的实验数据，求怎样安排投资，使得第五年末的利润 最大，也即是五年累计的利润最大？ 2.考虑各项目投资的
7、相互影响的同时又考虑了其他的因素：项目 5 的投资 额固定，为 500 万，可重复投资；对投资项目 1，公司管理层争取到一笔资金 捐赠，若在项目 1 中投资超过 20000 万，则同时可获得该笔投资金额的 1%的捐 赠，用于当年对各项目的投资。每年对各个项目投资的到期利润率各不相同且 受到某些项目同时投资的影响，如同时对项目 3 和项目 4 投资时的到期利润率 与项目 3 和项目 4 独立投资不同。所以应在模型一中加以更多的限制来求解第 五年末所得最大利润。 3.本题考虑投资风险，并用这笔资金投资若干种项目时，总体风险可用所 投资的项目中最大的一个风险来度量，来求如何投资，使得总体风险最小，第
8、 五年末的利润最大。其它约束条件与二问相同。2 2、条件假设、条件假设1.假设市场经济在五年内基本稳定。 2. 无交易费和投资费用等的费用开支。 3. 假设在五年内产生的利润可作为下一年的投资资金。 4.对问题一：（1）假设不考虑各投资项目间的影响以及存在的风险。 （2）假设在五年内各投资项目的到期利润率不变。 5.对问题二：（1）假设不考虑投资风险。（2）假设仍然考虑一问条件，如项目 3、项目 4 每年初投资，要到 第二年末才可回收本利。 6. 对问题三：（1）某些项目单独投资或共同投资的风险损失率（标准差）每年基 本相同。（2）假设仍然考虑一问条件，如项目 3、项目 4 每年初投资，要到
9、第二年末才可回收本利。（3）投资者能承受的最大风险度。0.01a 第 4 页3 3、符号说明、符号说明下面将会用到以下符号：-第五年末所得的利润。z-第 年末回收的本利。iri-每年年初的可用来投资的资金。iy-第 年初对第个项目的投资金额。ijxij-问题一中第个项目的预计到期利润率（） 。jpj-第个项目的投资上限。jmj-问题二中各项目单独投资时，第 年第个项目的到期利润率。ijcij-问题二中某些两个项目同时投资时，第 年第个项目的到期利ijdij润率。-问题二中五六八项目同时投资时的到期利润率。3 je5,6,8j -问题二中实际采用的第 年第个项目的到期利润率。ijbij-问题二中
10、第一项目获得的捐赠资金。1 ig-问题二中第 年项目五可以重复投资的次数。ini-问题三中的总体投资风险。f-问题三中实际采用的风险损失率。ijo-问题三中第个项目单独投资时的风险损失率。ijvj-问题三中某些项目同时投资时的风险损失率。iju-问题三中投资者能够承受的最大风险度。a4 4、问题分析、问题分析题目背景：随着市场经济的发展，越来越多的人把目光转移到投资上。为 了获得最大的利益，组合投资的风险与收益成为投资者必须考虑的问题。投资 者在考虑投资项目的预期收益率的同时，也要考虑投资项目存在的风险。如何第 5 页使利润最大化，风险最小化是投资者首要考虑的问题。下面是对该问题的分析 与解答
11、。在分析解答之前给出以下定义： 预期收益率：预期收益率也称为期望收益率，是指如果事件不发生的话可 以预计到的收益率。本题中到期收益率与之类似，即到期利润率是指对某项目 的一次投资中，到期回收利润与本金的比值。 风险：风险可以用收益的方差（或标准差）来进行衡量：方差越大，则认 为风险越大；方差越小，则认为风险越小。在一定的假设下，有收益的方差 （或标准差）来衡量风险确实是合适的。风险损失率和风险一样也可以用收益 的方差（或标准差）来进行衡量。 1.题一，根据题意，在不考虑各项投资之间的相互影响以及投资存在的风 险情况下，求第五年末的最大利润，即五年内利润的和的最大值。则第五年末 的最大利润就等于
12、五年中各项投资项目的金额与该项目的到期利润率的乘积之 和。还应考虑的限制条件为： 限制条件 1：每年可用来投资的最大金额。第一年为 20 亿元。 限制条件 2：对每项项目投资的最大金额。 2.题二, 根据题意, 在考虑各项投资之间的相互影响且不考虑在投资中的 风险情况下，求第五年末的最大利润，即五年内利润的和的最大值。首先，应根据附表数据求得各年对各项目的单独投资的到期的利润率，以 及各年对某些项目同时投资的到期利润率，如同时对项目 5、项目 6 和项目 8 投资的到期利润率与它们单独投资时的到期利润率不同，应分情况考虑，即它 们是否同时投资。然后，对投资项目 1 应单独考虑，因为当项目一投资
13、大于 20000 万时，可以获得 1%的捐赠，这是我们必须考虑的。其次，项目 5 的投资 额固定，为 500 万，可重复投资。所以应考虑项目 5 在五年内的投资次数。 限制条件 1：每年可用来投资的最大金额。 限制条件 2：对每项项目投资的最大金额。 限制条件 3：同时投资时的到期利润率不同。3.题三,根据题意考虑各投资项目的风险情况下，求第五年末的最大利润， 即五年内利润的和的最大值，并且使得风险最小。此问题为一双目标规划问题。首先，应该把总的风险表示出来，即总体风险可用所投资的项目中最大的 一个风险来度量。风险可以用收益的方差或标准差来衡量。其次，在考虑风险 的基础上来求解如何组合投资使得
14、风险最小而利润最大。 限制条件 1：每年可用来投资的最大金额。 限制条件 2：对每项项目投资的最大金额。 限制条件 3：同时投资时的到期利润率不同。 限制条件 4：同时投资与非同时投资时的风险损失率（标准差）不同。5 5、模型建立、模型建立问题一：不考虑投资风险和各投资项目间的相互影响，建立线形规划模型求解。（1）目标函数：第五年末所得利润，即五年内各项目产生的总利润5811jij ijzp x第 6 页（2）约束条件 1：每年年初可用来投资的金额应大于等于每年年初投资各 项目的总额：81iij jyx1,2,3,4,5i 第 年年初可用来投资的资金等于第年初未投资的资金加上第iiy1i年末回
15、收的本利。1i第一年初可用来投资的资金1200000y 第一年末回收第一年投资中一二项目的本利211 1(1)jj jrpx第二年初可用来投资的资金822111 11(1)jjj jjyyxpx第二年末回收第一年三四项目和第二年一二项目的本利24221 13(1)(1)jjjj jjrpxpx第三年初可用来投资的资金82432221 113(1)(1)jjjjj jjjyyxp xpx第三年末回收第一年五六项目、第二年三四项目和第三年一二项目的本 利2463321 135(1)(1)(1)jjjjjj jjjrp xp xp x第四年初可用来投资的资金8246433321 1135(1)(1)(1)jjjjjjj jjjjyyxp xp xp x第四年末回收第二年五六项目、第三年三四项目和第四年一二项目的本 利2464432 135(1)(1)(1)jjjjjj jjjrp xp xp x第五年初可用来投资的资金第 7 页8246544432 1135(1)(1)(1)jjjjjjj jjjjyyxp xp xp x第五年末回收第二年七项目、第三年五六八项目、第四年三四项目、第 五年一二项目的本利 2465543727838 135(1)(1)(1)(1)(1)jjjjjj jjjrpxpxpxpxp
