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1、小升初奥数小升初奥数 32 个知识点个知识点1和差倍问题和差倍问题和差问题 和倍问题 差倍问题已知条件几个数的和与差,几个数的和与倍数几个数的差与倍数公式适用范围 已知两个数的和,差,倍数关系公式 (和差)2=较小数较小数差=较大数小学奥数很简单和较小数=较大数公式(和差)2=较大数较大数差=较小数和较大数=较小数和(倍数1)=小数小数倍数=大数和小数=大数差(倍数-1)=小数小数倍数=大数小数差=大数关键问题:求出同一条件下的和与差 和与倍数 差与倍数2年龄问题的三个基本特征:年龄问题的三个基本特征:两个人的年龄差是不变的;两个人的年龄是同时增加或者同时减少的;两个人的年龄的倍数是发生变化的
2、;3归一问题的基本特点:归一问题的基本特点:问题中有一个不变的量,一般是那个“单一量”,题目一般用“照这样的速度”等词语来表示。关键 问题:根据题目中的条件确定并求出单一量;4植树问题植树问题基本类型:在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都 不植树 在直线或者不封闭的曲线上植树,只有一端植树 封闭曲线上植树基本公式 棵数=段数1棵距段数=总长 棵数=段数1棵距段数=总长 棵数=段数棵距段数=总长关键问题 确定所属类型,从而确定棵数与段数的关系5鸡兔同笼问题鸡兔同笼问题基本概念:鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题,就是把假设错的那部分置换出来;基本思路:假
3、设,即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样):假设后,发生了和题目条件不同的差,找出这个差是多少;每个事物造成的差是固定的,从而找出出现这个差的原因;再根据这两个差作适当的调整,消去出现的差。基本公式:把所有鸡假设成兔子:鸡数(兔脚数总头数总脚数)(兔脚数鸡脚数)把所有兔子假设成鸡:兔数(总脚数一鸡脚数总头数)(兔脚数一鸡脚数)关键问题:找出总量的差与单位量的差。6盈亏问题盈亏问题基本概念:一定量的对象,按照某种标准分组,产生一种结果:按照另一种标准分组,又产生一种 结果,由于分组的标准不同,造成结果的差异,由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量基本思路:先将两种分配方案进行比较,分析
4、由于标准的差异造成结果的变化,根据这个关系求出 参加分配的总份数,然后根据题意求出对象的总量基本题型:一次有余数,另一次不足;基本公式:总份数(余数不足数)两次每份数的差当两次都有余数;基本公式:总份数(较大余数一较小余数)两次每份数的差当两次都不足;基本公式:总份数(较大不足数一较小不足数)两次每份数的差基本特点:对象总量和总的组数是不变的。关键问题:确定对象总量和总的组数。7牛吃草问题牛吃草问题基本思路:假设每头牛吃草的速度为“1”份,根据两次不同的吃法,求出其中的总草量的差;再找出 造成这种差异的原因,即可确定草的生长速度和总草量。基本特点:原草量和新草生长速度是不变的;关键问题:确定两
5、个不变的量。基本公式:生长量=(较长时间长时间牛头数-较短时间短时间牛头数)(长时间-短时间);总草量=较长时间长时间牛头数-较长时间生长量;8周期循环与数表规律周期循环与数表规律周期现象:事物在运动变化的过程中,某些特征有规律循环出现。周期:我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。关键问题:确定循环周期。闰 年:一年有 366 天;年份能被 4 整除;如果年份能被 100 整除,则年份必须能被 400 整除;平 年:一年有 365 天。年份不能被 4 整除;如果年份能被 100 整除,但不能被 400 整除;9平均数平均数基本公式:平均数=总数量总份数总数量=平均数总份数总份数=总数量平均数平
6、均数=基准数每一个数与基准数差的和总份数基本算法:求出总数量以及总份数,利用基本公式进行计算.基准数法:根据给出的数之间的关系,确定一个基准数;一般选与所有数比较接近的数或者中间 数为基准数;以基准数为标准,求所有给出与基准数的差;再求出所有差的和;再求出这些差的平均数;最后求这个差的平均数和基准数的和, 就是所求的平均数,具体关系见基本公式。10抽屉原理抽屉原理抽屉原则一:如果把(n+1)个物体放在 n 个抽屉里,那么必有一个抽屉中至少放有 2 个物体。例:把 4 个物体放在 3 个抽屉里,也就是把 4 分解成三个整数的和,那么就有以下四种情况:4=4+0+0 4=3+1+0 4=2+2+0
7、 4=2+1+1观察上面四种放物体的方式,我们会发现一个共同特点:总有那么一个抽屉里有 2 个或多于 2 个物 体,也就是说必有一个抽屉中至少放有 2 个物体。抽屉原则二:如果把 n 个物体放在 m 个抽屉里,其中 nm,那么必有一个抽屉至少有:k=n/m +1 个物体:当 n 不能被 m 整除时。k=n/m 个物体:当 n 能被 m 整除时。理解知识点:X表示不超过 X 的最大整数。例4.351=4;0.321=0;2.9999=2;关键问题:构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量,而后依据抽屉原则进行运算。12数列求和数列求和等差数列:在一列数中,任意相邻两个数的差是一定的,这样的一
8、列数,就叫做等差数列。基本概念:首项:等差数列的第一个数,一般用 a1 表示;项数:等差数列的所有数的个数,一般用 n 表示;公差:数列中任意相邻两个数的差,一般用 d 表示;通项:表示数列中每一个数的公式,一般用 an 表示;数列的和:这一数列全部数字的和,一般用 Sn 表示基本思路:等差数列中涉及五个量:a1 ,an, d, n,sn,通项公式中涉及四个量,如果己知其中三个, 就可求出第四个;求和公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可以求这第四个。13定义新运算定义新运算基本概念:定义一种新的运算符号,这个新的运算符号包含有多种基本(混合)运算。基本思路:严格按照新定义的运算规则,把已知
9、的数代入,转化为加减乘除的运算,然后按照基本 运算过程、规律进行运算。关键问题:正确理解定义的运算符号的意义。注意事项:新的运算不一定符合运算规律,特别注意运算顺序。每个新定义的运算符号只能在本题中使用。14数列求和数列求和等差数列:在一列数中,任意相邻两个数的差是一定的,这样的一列数,就叫做等差数列。基本概念:首项:等差数列的第一个数,一般用 a1 表示;项数:等差数列的所有数的个数,一般用 n 表示;公差:数列中任意相邻两个数的差,一般用 d 表示;通项:表示数列中每一个数的公式,一般用 an 表示;数列的和:这一数列全部数字的和,一般用 Sn 表示基本思路:等差数列中涉及五个量:a1 ,
10、an, d, n,sn,通项公式中涉及四个量,如果己知其中三个, 就可求出第四个;求和公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可以求这第四个。基本公式:通项公式:an = a1+(n1)d;通项首项(项数一 1) 公差;数列和公式:sn,= (a1+ an)n2;数列和(首项末项)项数 2;项数公式:n= (an+ a1)d1;项数=(末项-首项)公差1;公差公式:d =(ana1)(n1);公差=(末项首项)(项数1);关键问题:确定已知量和未知量,确定使用的公式;15二进制及其应用二进制及其应用十进制:用 09 十个数字表示,逢 10 进 1;不同数位上的数字表示不同的含义,十位上的 2 表
11、示 20,百位上的 2 表示 200。所以 234=200+30+4=2102+310+4。=An10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5+An-610n- 7+A3102+A2101+A1100注意:N0=;N=N(其中 N 是任意自然数)二进制:用 01 两个数字表示,逢 2 进 1;不同数位上的数字表示不同的含义。(2)= An2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42n-5+An-62n-7+A322+A221+A120注意:An 不是 0 就是 1。十进制化成二进制:根据二进制满 2 进 1 的特点,用
12、 2 连续去除这个数,直到商为 0,然后把每次所得的余数按自下 而上依次写出即可。先找出不大于该数的 2 的 n 次方,再求它们的差,再找不大于这个差的 2 的 n 次方,依此方法一 直找到差为 0,按照二进制展开式特点即可写出16加法乘法原理和几何计数加法乘法原理和几何计数加法原理:如果完成一件任务有 n 类方法,在第一类方法中有 m1 种不同方法,在第二类方法中有 m2 种不同方法,在第 n 类方法中有 mn 种不同方法,那么完成这件任务共有:m1+ m2. +mn 种不同的方法.关键问题:确定工作的分类方法。基本特征:每一种方法都可完成任务。乘法原理:如果完成一件任务需要分成 n 个步骤
13、进行,做第 1 步有 m1 种方法,不管第 1 步用哪一 种方法,第 2 步总有 m2 种方法不管前面 n-1 步用哪种方法,第 n 步总有 mn 种方法,那么完 成这件任务共有:m1m2. mn 种不同的方法。关键问题:确定工作的完成步骤。基本特征:每一步只能完成任务的一部分。直线:一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动,形成的轨迹。直线特点:没有端点,没有长度。线段:直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。线段特点:有两个端点,有长度。射线:把直线的一端无限延长。射线特点:只有一个端点;没有长度。数线段规律:总数1+2+3+(点数一 1);数角规律=1+2+3+(射线数一 1);数长方形规
14、律:个数=长的线段数宽的线段数:数长方形规律:个数=11+22+33+行数列数17质数与合数质数与合数质数:一个数除了 1 和它本身之外,没有别的约数,这个数叫做质数,也叫做素数。合数:一个数除了 1 和它本身之外,还有别的约数,这个数叫做合数。质因数:如果某个质数是某个数的约数,那么这个质数叫做这个数的质因数。分解质因数:把一个数用质数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。 任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。分解质因数的标准表示形式:N=,其中 a1、a2、a3an 都是合数 N 的质因数,且 a1a2a3an。求约数个数的公式:P=(r1+1)(r2+1)(r3+
15、1)(rn+1)互质数:如果两个数的最大公约数是 1,这两个数叫做互质数。18约数与倍数约数与倍数约数和倍数:若整数 a 能够被 b 整除,a 叫做 b 的倍数,b 就叫做 a 的约数。公约数:几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数;其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约 数。最大公约数的性质:1、 几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数。2、 几个数的最大公约数都是这几个数的约数。3、 几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数。4、 几个数都乘以一个自然数 m,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以 m。例如:12 的约数有 1、2、3、4、6、12;18 的约数
16、有:1、2、3、6、9、18;那么 12 和 18 的公约数有:1、2、3、6;那么 12 和 18 最大的公约数是:6,记作(12,18)=6;求最大公约数基本方法:1、分解质因数法:先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来。2、短除法:先找公有的约数,然后相乘。3、辗转相除法:每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公约数。公倍数:几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍 数。12 的倍数有:12、24、36、48;18 的倍数有:18、36、54、72;那么 12 和 18 的公倍数有:36、72、108;那么 12 和 18 最小的公倍