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1、第 1 页 共 64 页第一讲 与三角形有关的线段知识点知识点 1 1、三角形的概念、三角形的概念 不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点顶点。三角形的表示方法三角形用符号“”表示，顶点是 A,B,C 的三角形，记作“ABC”三角形 ABC 用符号表示为ABC。三角形 ABC 的顶点 C 所对的边 AB 可用c 表示,顶点 B 所对的边 AC 可用 b 表示,顶点 A 所对的边 BC 可用 a 表示.知识点知识点 2 2、三角形的三边关系、三角形的三边关
2、系【探究】任意画一个ABC,假设有一只小虫要从 B 点出发,沿三角形的边爬到 C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?为什么？三角形的两边之和大于第三边，可用字母表示为 a+bc，b+ca，a+cb拓展：a+bc，根据不等式的性质得 c-ba，即两边之差小于第三边。即 a-bca+b （三角形的任意一边小于另二边和，大于另二边差）【练习 1】一个三角形的两边长分别为 3cm 和 7cm，则此三角形的第三边的长可能是（ ）A3cmB4cmC7cmD11cm【练习 2】有下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？(1)3，5，8； (2)5，6，10； (3)5，6，7. (4)5,6,12
3、【辨析】有三条线段 a、b、c，a+bc，扎西认为：这三条线段能组成三角形.你同意扎西的看法吗？为什么？【例 1】用一条长为 18的细绳围成一个等腰三角形。（1）如果腰长是底边的 2 倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边长为 4的等腰三角形吗？为什么？【练习】1、三角形三边为 3，5，3-4a，则 a 的范围是 。2、三角形两边长分别为 25cm 和 10cm，第三条边与其中一边的长相等，则第三边长为 。3、等腰三角形的周长为 14，其中一边长为 3，则腰长为 4、一个三角形周长为 27cm，三边长比为 234，则最长边比最短边长 。abc(1)CBA第 2 页 共 64 页5、等腰三角
4、形两边为 5cm 和 12cm，则周长为 。6、已知：等腰三角形的底边长为 6cm，那么其腰长的范围是_。7、已知：一个三角形两边分别为 4 和 7，则第三边上的中线的范围是_。8、下列条件中能组成三角形的是（ ）A、5cm, 7cm, 13cm B、3cm, 5cm, 9cm C、6cm, 9cm, 14cm D、5cm, 6cm, 11cm9、等腰三角形的周长为 16，且边长为整数，则腰与底边分别为（ ）A、5，6 B、6，4 C、7，2 D、以上三种情况都有可能11、一个三角形两边分别为 3 和 7，第三边为偶数，第三边长为（ ）A、4，6 B、4，6，8 C、6，8 D、6，8，101
5、1、ABC 中，a=6x，b=8x，c=28，则 x 的取值范围是（ ）A、2x14 B、x2 C、x14 D、7x1412.指出下列每组线段能否组成三角形图形 （1）a=5,b=4,c=3 （2）a=7,b=2,c=4 （3）a=6,b=6,c=12 （4）a=5,b=5,c=613.已知等腰三角形的两边长分别为 11cm 和 5cm，求它的周长。14.已知等腰三角形的底边长为 8cm，一腰的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长 2cm，求这个三角形的腰长。15、已知等腰三角形一边长为 24cm，腰长是底边的 2 倍。求这个三角形的周长。16、如图，求证：AB+BC+CD+D
6、AAC+BD知识点 3 三角形的三条重要线段三角形的高三角形的高 (1)定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高（简称三角形的高）(2)高的叙述方法ABCD第 3 页 共 64 页 AD 是ABC 的高 ADBC，垂足为 D 点 D 在 BC 上，且BDA=CDA=90 度【练习】 画出、三个ABC 各边的高,并说明是哪条边的高. AB 边上的高是线段_ AB 边上的高是线段_ AB 边上的高是线段_ BC 边上的高是_ BC 边上的高是_ BC 边上的高是_ AC 边上的高是_ AC 边上的高是_ AC 边上的高是_ 辨析 高与垂线有区别吗？_ 探
7、究 画出图 1 中三角形 ABC 三条边上的高，看看有什么发现？如果ABC 是直角三角形、钝角三角 形，上面的结论还成立吗？试着画一画 【结论】_ 三角形的中线三角形的中线 （1）定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。 【探究 2】如图，AD 为三角形 ABC 的中线，ABD 和ACD 的面积相比有何关系？【例 2】如图，已知ABC 的周长为 16 厘米，AD 是 BC 边上的中线，AD=AB，AD=4 厘米，ABD4 5 的周长是 12 厘米，求ABC 各边的长。三角形的角平分线三角形的角平分线 （1）定义：三角形的一个角的
8、平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形 的角平分线。 辨析 三角形的角平分线与角的平分线是一样的吗？ 画出ABC 各角的角平分线, 并说明是哪角的角平分线.探究观察画出的三条角平线，你有什么发现？_ 自我检测 如图，AD、AE、CF 分别是ABC 的中线、角平分线和高，则：(1)BD=_=_； 1 2ABCABCBACABCBACFEDCBA第 4 页 共 64 页(2)BC=2_=2_；(3)BAE=_=_；1 2 (4)BAC=2_=2_；(5)_=_=90 知识点 4 三角形的稳定性三角形的三边长一旦确定，三角形的形状就唯一确定，这个性质叫做三角形的稳定性。四边
9、形则不具有 稳定性。 钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性，伸缩门则是利用四边形的不稳定性。你还能举出 一些例子吗？ 【试一试】 1、如图，AD 是ABC 的中线，已知ABD 比ACD 的周长大 6cm，则 AB 与 AC 的差为_2、如图，D 为ABC 中 AC 边上一点，AD=1,DC=2,AB=4,E 是 AB 上一点，且ABC 的面积等于DEC 面积的 2 倍，则 BE 的长为（ ）3、若点 P 是ABC 内一点，试说明 AB+ACPB+PC【课后作业】1.AD 是ABC 的高，可表示为 ，AE 是ABC 的角平分线，可表示为 ，BF 是ABC 的中线，可表示为 .2.如图
10、2，AD 是ABC 的角平分线，则 = = ；E 在 AC 上，且 AE=CE,则 BE1 2是ABC 的 ；CF 是ABC 的高，则 = =900，CF AB.3.如图 3,AD 是ABC 的中线,AE 是ABC 的角平分线,若 BD=2cm,则 BC= ;若BAC=600,则CAE= .4.如图 4,以 AD 为高的三角形共有 .5.三角形的一条高是一条（ ）A.直线 B.垂线 C.垂线段 D.射线6.下列说法中，正确的是（ ）CABDEF图 2ABDEC 图 3ABEDC 图 4第 5 页 共 64 页A.三角形的角平分线是射线 B.三角形的高总在三角形的内部C.三角形的高、中线、角平分
11、线一定是三条不同的线段 D.三角形的中线在三角形的内部7.下列图形具有稳定性的是（ ）A.正方形 B.梯形 C.三角形 D.平行四边形8.如图 8，ADBC 于 D,CEAB 于 E,AD、CE 交于点 O,OFCE,则下列说法中正确的是（ ）A.OE 为ABD 中 AB 边上的高 B.OD 为BCE 中 BC 边上的高C.AE 为AOC 中 OC 边上的高 D.OF 为AOC 中 AC 边上的高9. 如图，BD 是ABC 的角平分线，DEBC，交 AB 于点 E，A=45，BDC=60，求BED 的度数10.已知 BD 是ABC 的中线，AC 长为 5cm，ABD 与BDC 的周长差为 3c
12、m.AB 长为 3cm，求 BC 的长.11.如图 11,在ABC 中，ACB=900,CD 是 AB 边上的高，AB=5cm,BC=4cm,AC=3cm,求(1) ABC 的面积；(2)CD 的长.12.如图 12，D 是ABC 中 BC 边上一点，DEAC 交 AB 于点 E,若EDA=EAD,试说明，AD 是ABC 的角平 分线.第二讲 与三角形有关的角AAAA图 11AEBDC图 12第 6 页 共 64 页知识点 1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于 1800。【导入】我们在小学就知道三角形内角和等于 1800，这个结论是通过实验得到的，这个命题是不是真命题还需要证明，怎样证明
13、呢？回顾我们小学做过的实验，你是怎样操作的？把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出BCD 的度数，可得到A+B+ACB=1800。想一想，还可以怎样拼？剪下A，按图（2）拼在一起，可得到A+B+ACB=1800。图 2把和剪下按图（3）拼在一起，可得到A+B+ACB=1800。BC如果把上面移动的角在图上进行转移，由图 1 你能想到证明三角形内角和等于 1800的方法吗？证明：已知ABC，求证：A+B+C=1800。、【例 1】如图，C 岛在 A 岛的北偏东 30方向，B 岛在 A 岛的北偏东 100方向，C 岛在 B 岛的北偏西55方向，从 C 岛看 A、B 两岛的视角ACB 是多少度？【讨论】直角三角形的两锐角之和是多少度?结论结论: 直角三角形的两个锐角互余直角三角形的两个锐角互余.直角三角形可以用符号“Rt”表示，直角三角形 ABC 可以写成 RtABC。由三角形内角和定理可得：有两个角互余的三角形是直角三角形。有两个角互余的三角形是直角三角形。知识点 2、三角形的外角第 7 页 共 64 页定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。自我探究 画出图中三角形 ABC 的外角1、判断图中1 是不是ABC 的外角：_2、如图，(1)1、2 都是ABC 的外角吗？_(2)ABC 共有多少个外角？_
