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1、12999 数学网 12999 数学网 12.请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式2129yx （答案不唯一） 过点(31)，；当0x 时，y随x的增大而减小； 当自变量的值为 2 时，函数值小于 213二次函数322xxy的图象关于原点 O（0, 0）对称的图象的解析式是223yxx 。如图所示,已知 F 是以 O 为圆心,BC 为直径的半圆上任一点,A 是 BF 的中点,ADBC 于点 D.求证:AD=1 2BF.证明：连接 OA，交 BF 于点 E，A 是弧 BF 的中点，O 为圆心，OABF，BE=1 2BFADBC 于点 D，ADO=BEO=90，在OAD 与OBE 中，ADO=
2、BEO=90AOD=BOEBO=AOOADOBE（AAS），AD=BE，AD=1 2BF如图,O 的直径 AB 的两侧有定点 C 和动点 P.已知 BC=4,CA=3,点 P 在 AB 上运动,过点 C 作CP 的垂线,与 PB 的延长线交于点 Q.(1)当点 P 运动到与点 C 关于 AB 对称时 ,求 C Q 的长.(2)当点 P 运动到弧 AB 的中点时,求 C Q 的长.(3)当点 P 运动到什么位置时,CQ 取到最大值,并求此时 CQ 的长.OQPDCBAOCBA. ODCFBA12999 数学网 12999 数学网 解：（1）当点 P 与点 C 关于 AB 对称时，CPAB，设垂足
3、为 D，AB 为O 的直径，ACB=90，BC=4，AC=3，ACBC=ABCD，CD=12 5PC=24 5在 RtACB 和 RtPCQ 中，ACB=PCQ=90，CAB=CPQ，ACBPCQ，ACBC PCCQCQ=4 3PC=32 5（2）当点 P 运动到AAB的中点时，过点 B 作 BEPC 于点 E点 P 是AAB的中点，PCB=45，BE=CE=22 22BC 在 RtEPB 中，tanEPB=4 3BE PEPE=33 2 42BE PC=PE+CE=7 2 2CQ=414 2 33BE （3）点 P 在AAB上运动时，恒有 CQ=4 3PC所以 PC 最大时，CQ 取到最大值
4、，当 PC 过圆心 O，即 PC 取最大值 5 时，CQ 最大值为20 312999 数学网 12999 数学网 23.如图，把两个全等的 RtAOB 和 RtCOD 分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD 在 x 轴上已知点 A（1，2） ，过 A、C 两点的直线分别交 x 轴、y 轴于点E、F抛物线 y=ax2+bx+c 经过 O、A、C 三点（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点 P 为线段 OC 上一个动点，过点 P 作 y 轴的平行线交抛物线于点 M，交 x 轴于点 N，问是否存在这样的点 P，使得四边形 ABPM 为等腰梯形？若存在，求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理
5、由（3）若AOB 沿 AC 方向平移（点 A 始终在线段 AC 上，且不与点 C 重合） ，AOB 在平移过程中与COD 重叠部分面积记为 S试探究 S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由解：（1）抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 O、A、C，可得 c=0，解得 a=，b= ，抛物线解析式为 y=x2+ x（2）设点 P 的横坐标为 t，PNCD，OPNOCD，可得 PN=P（t， ） ，点 M 在抛物线上，M（t，t2+ t） 如解答图 1，过 M 点作 MGAB 于 G，过 P 点作 PHAB 于 H，AG=yAyM=2（t2+ t）= t2 t+2，BH=P
6、N= 当 AG=BH 时，四边形 ABPM 为等腰梯形，12999 数学网 12999 数学网 t2 t+2= ，化简得 3t28t+4=0，解得 t1=2（不合题意，舍去） ，t2= ，点 P 的坐标为（ ， ）存在点 P（ ， ） ，使得四边形 ABPM 为等腰梯形（3）如解答图 2，AOB 沿 AC 方向平移至AOB，AB交 x 轴于 T，交 OC 于 Q，AO交 x 轴于 K，交 OC 于 R求得过 A、C 的直线为 yAC=x+3，可设点 A的横坐标为 a，则点 A（a，a+3） ，易知OQTOCD，可得 QT= ，点 Q 的坐标为（a， ） 解法一：设 AB 与 OC 相交于点
7、J，ARQAOJ，相似三角形对应高的比等于相似比，=HT=2a，KT= AT= （3a） ，AQ=yAyQ=（a+3） =3 aS四边形 RKTQ=SAKTSARQ= KTAT AQHT= （3a） （3 a）（a+2）=a2+ a =（a ）2+由于0，在线段 AC 上存在点 A（ ， ） ，能使重叠部分面积 S 取到最大值，最大值为 解法二：过点 R 作 RHx 轴于 H，则由ORHOCD，得 由RKHAOB，得 12999 数学网 12999 数学网 由，得 KH= OH，OK= OH，KT=OTOK=a OH 由AKTAOB，得，则 KT= 由，得=a OH，即 OH=2a2，RH=a
8、1，所以点 R 的坐标为 R（2a2，a1）S四边形 RKTQ=SQOTSROK= OTQT OKRH= a a （1+ a ）（a1）=a2+ a =（a ）2+由于0，在线段 AC 上存在点 A（ ， ） ，能使重叠部分面积 S 取到最大值，最大值为 解法三：AB=2，OB=1，tanOAB=tanOAB= ，KT=ATtanOAB=（a+3） =a+ ，OK=OTKT=a（a+ ）= a ，过点 R 作 RHx 轴于 H，tanOAB=tanRKH=2，RH=2KH又tanOAB=tanROH= ，2RH=OK+KH= a + RH，RH=a1，OH=2（a1） ，点 R 坐标 R（2a2，a1）S四边形 RKTQ=SAKTSARQ= KTAT AQ（xQxR）= （3a） （3 a）（a+2）=a2+ a =（a ）2+由于0，12999 数学网 12999 数学网 在线段 AC 上存在点 A（ ， ） ，能使重叠部分面积 S 取到最大值，最大值为
