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1、1名校高中理科实验班招生考试复习提高训练数学卷 5一、选择题（本题 6 个小题，每小题 6 分，共 36 分）1.若是满足的实数对，则的最大值为（ ） 【答案】A),(yx6)3()3(22yxxyA. B. C. D.2232433535【解析】令，则.kxykxy 代入中，得.6)3()3(22yx012) 1(6) 1(2xkxk由，解得.0) 1(48) 1(3622kk223223k所以，即.223maxk223)(maxxy2.已知均为实数，且关于的不等式的解集为，则的值ba,xbaxa12)2(31xba 为（ ） 【答案】BA.3 或 7 B.13 C. 8 D.8 或 13【
2、解析】由的解集为，知是关于 x 的方程baxa12)2(31x3 , 1的两根.baxa12)2(，解得(舍去)，或，所以. baabaa12)2(312)2( 23 ba0b 103 ba13ba3.如图，分别以的边 AC 和 BC 为一边，在外作正方形 ACDE 和 CBFG，点 P 是 EF 的ABCABC中点，AB=16，AC=9，则点 P 到 AB 的距离为（ ） 【答案】D【解析】2.8A. B. C. D.8225 217 2154.适合于的非负整数对的个数为（ ） 【答案】C02)2(2yxxy),(yxA.4 B.3 C.2 D.1【解析】5.把所有正奇数从小到大排列，并按如
3、下规律分组：，) 1 ()7 , 5 , 3()17,15,13,11, 9()31,29,27,25,23,21,19(现有等式表示正奇数是第 组第个数(由左往右数)，如，则（ ),(jiAmmij)3 , 2(7A2015A） 【答案】BA. B. C. D.)50,31()47,32()46,33()42,34(【解析】由，得，即 2015 是第 1008 个数.201512k1008k设 2015 在第组，则，即，解之得.n1008) 12(531n10082) 121 (nn1008n3因为，所以，即第 1008 个数在第 32 组.10089613121008102432232n又
4、因为第 32 组第一个数为，令，则.1923219612) 1(219232015t47t所以 2015 是第 32 组第 47 个数，即.)47,32(2015A6.如图，在等边中，AB=10，D、E 分别是 BC、AB 上的点，且 BD=4，BE=2，点 P 从点 EABC出发沿 EA 方向运动，连接 PD，以 PD 为边，在 PD 右侧按如图方式作等边，当点 P 从点 E 运动DPF到点 A 时，点 F 的运动路径长是（ ） 【答案】AA. B. C. D.81035【解析】连 DE，作 FHBC 于 H.为等边三角形，B=60.ABC过 D 点作 DEAB，则，点与点 E 重合，BDE
5、=30，DE=BE=2.221BDEBE为等边三角形，PDF=60，DP=DF，EDP+HDF=90.DPFHDF+DFH=90，EDP=DFH.在DPE 和FDH 中，由，得DPEFDH，则 FH=DE=2. FDDPDFHEDPDHFPED点 P 从点 E 运动到点 A 时，点 F 运动的路径为一条线段，此线段到 BC 的距离为 2.当点 P 在 E 点时，作等边DEF1，BDF1=30+60=90，则 DF1BC.当点 P 在 A 点时，作等边DAF2，作 F2QBC 于 Q，则DF2QADE，所以DQ=AE=102=8，F1F2=DQ=8，当点 P 从点 E 运动到点 A 时，点 F
6、运动的路径长为 8.二、填空题（本题 4 个小题，每小题 6 分，共 24 分）7.设为给定的实数，已知对于任意的实数，与中总有一个是非负实数，axbaxx2baxx2则实数的取值范围是_.【答案】b0b【解析】欲使与中总有一个非负，baxx2baxx24只需，即，即需.0)()(22baxxbaxx0222 bx0)22(min2 bx而，所以只需，解得.bbx2)22(min202 b0b8.如图，在矩形 ABCD 中，AD=8，E 是边 AB 上一点，且 AE=AB，O 经过点 E，与边 CD 所在1 4直线相切于点 G（GEB 为锐角） ，与边 AB 所在直线相交于另一点 F，且 EG
7、:EF=，若边 AD 或2:5BC 所在的直线与O 相切，则 AB 的长为_.【答案】12 或 4【解析】59.已知，且，则化简0a042 acb的结果为_.【答案】0222 242 2 24)2(24caacbbbacaacbba 【解析】令，则 是方程的根.aacbbt242t02cbxax即，所以.02cbtatbtcat2于是222 242 2 24)2(24caacbbbacaacbba 原式=222222224222242)(2)2(tbcattbcacttactbacta.0)(22cbtatcbtat10.设是大于 1909 的正整数，则使得为完全平方数的的个数为_.【答案】4
8、n1909 2009n n n【解析】设，则为完全平方数，不妨设(其2009na190910010012009na naa21001ma 中为正整数)，则，经验证，只有当时，上式才可能成立，对应的值分别m21001ma1,2,3,7m a为 50，20，10，2.因此使得为完全平方数的共有 4 个，分别为 1959，1989，1999，2007.1909 2009n n n三、解答题（本题 3 个小题，满分 40 分）11.（本题满分 12 分）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美数”，如，所以 4，12，20 都是“完美数”.2222224620,2412,0
9、24（1）28 和 2012 这两个数是“完美数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为和，由这两个连续偶数构成的“完美数”是 422 k)(2取非负整数其中kk的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是“完美数”吗？为什么？【解析】 （1）28 与 2012 这两个数是“完美数”.，这两个数是“完美数” .222250250420126828；2012,28（2）两个连续偶数的平方差所构成的“完美数”是 4 的倍数.) 12(42)24()222( )222()2()22(22kkkkkkkk6而为非负整数，是正奇数，是 4 的倍数.k12 k22)2()22(kk（3）两个连续奇
10、数的平方差不是“完美数”.，两个连续奇数的平方差是 8kkkkkkkk824) 1212( ) 1212() 12() 12(22的倍数.而“神秘数”只是 4 的倍数，不是 8 的倍数，所以两个连续奇数的平方差不是“完美数”.12.（本题满分 12 分）如图 1，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点 A 在轴的正半轴上，点xC 在轴的正半轴上，OA=5，OC=4.y（1）在 OC 边上取一点 D，将纸片沿 AD 翻折，使点 O 落在 BC 边上的点 E 处，求 D，E 两点的坐标；（2）如图 2，若 AE 上有一动点 P(不与 A，E 重合)自 A 点沿 AE 方向向
11、 E 点匀速运动，运动的速度为每秒 1 个单位长度，设运动的时间为秒，过 P 点作 ED 的平行线交 AD 于点 M，过点 Mt)50( t作 AE 的平行线交 DE 于点 N，求四边形 PMNE 的面积 S 与时间 之间的函数关系式；并求当 取何值时，ttS 有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的条件下，当 为何值时，以 A，M，E 为顶点的三角形为等腰三角形？并求出相应时t刻点 M 的坐标.【解析】 （1）由折痕 AD 是四边形 OAED 的对称轴，得 AE=AO=5，AB=4.则，所以，于是点 E(2，4).3452222ABAEBE2CE由，得 ，解得，于是.222DECECDODD
12、E 2222)4(ODOD25OD)25, 0(D（2）如图，.7又知， .又，四边形为矩形，.，当时，有最大值.（3） （i）若以 AE 为等腰三角形的底，则 ME=MA，如图.在中，P 为的中点，.又，M 为的中点.过点 M 作，垂足为 F，则是的中位线，.当时，为等腰三角形，此时点 M 坐标为.（ii）若以 AE 为等腰三角形的腰，则，过点 M 作，垂足为 F，如图.在中，.，.则.，此时点 M.综上，当或时，以为顶点的三角形为等腰三角形，相应点 M 的坐标为8或.13.（本题满分 16 分）我们约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”.（1）在凸四边形 ABCD 中，若 AB=AD
13、 且 CBCD，则该四边形_“十字形”.（填“是”或“不是”） 【答案】不是（2）如图 1，已知 A，B，C，D 是半径为 1 的O 上按逆时针方向排列的四个动点，AC 与 BD 交于点 E，ADBCDB=ABDCBD，当时，求 OE 的取值范围；7622BDAC（3）如图 2，在平面直角坐标系中，抛物线为常数，且xOycbxaxy2cba,(与轴交于 A，C 两点(点 A 在点 C 的左侧)，B 是抛物线与轴的交点，点 D 的坐标为)0, 0caxy，记“十字形”ABCD 的面积为 S，记AOB，COD，AOD，BOC 的面积分别为), 0(acS1，S2，S3，S4，求同时满足下列三个条件
14、的抛物线的解析式.；“十字形”ABCD 的周长为.21SSS43SSS1012【解析】 （1）如图.当 CB=CD 时，在ABC 和ADC 中，ABCADC，BAC=DAC.AB=AD，ACBD，当 CBCD 时，四边形 ABCD 不是“十字形”.（2）ADB+CBD=ABD+CDB，CBD=CDB=CAB，ADB+CAD=ABD+CAB，180AED=180AEB，AED=AEB=90，ACBD.9过点 O 作 OMAC 于 M，ONBD 于 N，连接 OA，OD.则 OA=OD=1，OM2=OA2AM2，ON2=OD2DN2，AM=AC，DN=BD，四边形 OMEN 是矩形，ON=ME，OE2=OM2+ME2，OE2=OM2+ON2=2(AC2+BD2).，2OE22，OE2，（OE0）.7622BDAC（3）由 A（，0） ，B（0，c） ，C（，0） ，D（0，ac） ，得 OA=，OB=c，OC=，OD=
