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1、管理统计学,2010年,3 参数估计,3.1 基本原理 3.2 点估计 3.3 区间估计,3.1 基本概念,估计量与估计值 抽样估计/参数估计：用样本统计量估计总体参数的特征值 估计量：用来估计总体参数的统计量名称 估计值：用来估计总体参数，是计算出来的估计量的具体数值 科学的抽样估计方法 要有合适的统计量作为估计量 要有合理的允许误差范围 要有一个可接受的置信度,3.1 基本原理,统计估计值关系式参数估计方法 点估计 区间估计,样本数据所估计,估计值,+,参数,方法偏差,抽样误差,=,+,总体真正的特性,不当抽样所造成,抽样对象不同所造成,3.2.1 点估计的概念,点估计是以样本统计量作为相
2、应总体参数的估计量 例如：用样本均值 直接作为总体均值 的估计值 点估计的优点 能够提供总体参数的具体估计值，可以作为行动决策的数量依据 点估计的不足 任何点估计不是对就是错，并不能提供误差情况如何、误差程度有多大的信息,3.2.2 点估计的优良性标准,无偏性 设总体的参数为 ，其估计量为 ，如果 即估计量 的数学期望等于被估计的总体参数，我们称估计量 是参数 的无偏估计量 样本平均数是总体平均数的无偏估计量 无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求 无偏性的实际意义是指没有系统性的偏差,点估计的优良标准（续）,相合性/一致性 设 是参数 估计量，若对于任意的 ，当 时 依概率收敛于 ，则称 为
3、 的相合估计量 对任意 有，有效性 设 和 都是参数的无偏估计量，若对任意 ， ，且至少对于 某个 上式中的不等号成立，则称 较 有效,矩法,矩估计法：英国统计学家K.皮尔逊最早提出 由辛钦定理 ,若总体 的数学期望 有限,则有矩法的定义 用样本原点矩估计相应的总体原点矩 用样本原点矩的连续函数估计相应的总体原点矩的连续函数 矩法的优点 简单易行，并不需要事先知道总体是什么分布 矩法的缺点 当总体类型已知时，没有充分利用分布提供的信息；一般场合下，矩估计量不具有唯一性,其中 为连续函数,矩法的具体步骤,设总体的分布函数中含有k个未知参数 那么它的前k阶矩 ， 从这 k 个方程中解出 用诸 的估
4、计量 分别代替上式中的诸 可得诸 的矩估计量：矩估计量的观察值为矩估计值,例3.1 矩法估计例题,设总体 ， 为总体的样本，求， 的矩法估计量。 解：,例3.2 灯泡平均寿命分析,设从某灯泡厂某天生产的灯泡中随机抽取10只灯泡，测得其寿命为(单位:小时)1050，1100，1080，1120，1200，1250，1040，1130，1300，1200。试用矩法估计该厂这天生产的灯泡的平均寿命及寿命分布的方差。 解：,极大似然估计的基本概念,一种在总体类型已知条件下使用的参数估计方法 首先是由德国数学家高斯在1821年提出的，费歇在1922年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质 原
5、理 如果一个随机试验有若干种可能的条件，若在一次试验中，结果A出现，则一般认为试验条件对A出现有利 在试验的诸多可能条件中，认为使事件A发生的概率最大的那种条件成立,极大似然估计的基本概念（续）,似然函数 设 是取自总体 的一个样本 样本的联合密度(连续型）或联合分布律 (离散型)为 当给定样本 时，定义似然函数为：,是样本的观察值,极大似然估计法,用使 达到最大值的 去估计求极大似然估计的一般步骤 写出似然函数 对似然函数取对数，并整理 求导数 解似然方程,称 为 的最大似然估计值,称为 的最大似然估计量,例3.4 极大似然估计例题,设总体X服从N(， )，是X 的样本值，求， 的极大似然估
6、计 解：似然方程为：,，S2的极大似然估计量分别为 ，,，,频次分析模块,AnalyzDescriptive Statistics Frequencies Statistics,均值,中位数,众数,样本数据值总和,数据分布的斜度,数据分布的峰度,最大值与最小值之差,标准差,方差,均值标准差,最大值,最小值,计算四分点,按顺序分组,设置指定的百分点,频次分析模块（续）,从100个样本中推断总体的净重均值为343.76g，方差为17.053,从100个样本中推断总体的净重均值为343.76g，方差为17.053,从100个样本中推断总体的净重均值为343.76g，方差为17.053,样本方差,样本
7、均值,描述统计模块,AnalyzeDescriptive StatisticsDescriptivesOptions,标准差,均值,方差,净重均值、方差估计值，结果同Statistics表,标准差,均值,方差,标准差,均值,净重均值、方差估计值，结果同Statistics表,方差,标准差,均值,标准差,均值,标准差,均值,方差,标准差,均值,3.3 区间估计,用一个区间去估计未知参数， 即把未知参数值估计在某两界限之间 设 是来自密度 的样本 对给定的 ，如能找到两个统计量 及 ，使得是置信度，置信度也称为置信概率是置信度为 的的置信区间称为显著性水平（Significance Level）
8、。,置信区间,区间示意图置信区间表达了区间估计的精确度，置信概率表达了区间估计的可靠性，它是区间估计的可靠概率；而显著性水平表达了区间估计的不可靠的概率 可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精度,3.3.1 总体方差 已知时，总体均值的估计,， 为来自总体的样本 样本均值 服从数学期望为、方差为 /n的正态分布，即 当 已知时， 可得到1-置信度下，的置信区间为 置信区间的宽度为：,例3.6 零件直径问题,已知某零件的直径服从正态分布，从该批产品中随机抽取10件，测得平均直径为202.5mm，已知总体标准差=2.5mm，试建立该种零件平均直径的置信区间，给定置信度为0.
9、95。 解：已知 ， =202.5mm，n=10， =0.95，查标准正态分布表，得 =1.96，所以在 置信度下， 的置信区间为即202.5-1.962.5/ ，202.5+1.962.5/ ，计算结果为：200.95，204.05,3.3.2 总体方差 未知时，总体均值的估计,n30时 通常用样本方差 来估计，只需将 中的用S 近似代替即可n30时即1-置信度下，的置信区间为,例3.7 大学生平均完成作业时间,某大学从该校学生中随机抽取100人，调查到他们平均每人每天完成作业的时间为120分钟，样本标准差为30分钟，试以95%的置信水平估计该大学平均每天完成作业时间。 解： 根据题意可知：
10、=120，S=30，n=100且 =0.95， =1.96故在95%的置信度下， 的置信区间为即120-1.9630/10，120+1.9630/10，计算结果为：114.12，125.88,3.3.3 总体方差的区间估计,由于当总体为正态分布时，其中 所以在1-置信度下， 的置信区间为,3.3.4 总体比率的区间估计,总体比率 总体比率： p=M/N 设 N为总体容量，M 为具有某种特点（性质）的元素数 样本比率 样本比率： 从N中抽取n个为样本，其中具有某种特点的元素数为X（X=0，1，n ）,3.3.4 总体比率的区间估计,给定置信度为1-时 ，有总体比例p在1-置信水平下的置信区间为,
11、（ 未知时）,例3.9 城市下岗女职工比例,某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，随机抽取了100个下岗职工，其中65人为女性职工。试以95%的置信水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间。 解：已知n=100，p65%，1-=95%， =1.96故该城市下岗职工中女性比例的置信区间为55.65%74.35%,3.3.5 区间估计的SPSS应用,AnalyzeDescriptive StatisticsExploreStatistics,输出均数、中位数、众数、标准误、方差等,置信区间，默认为95%,中心趋势的最大似然确定,输出五个最大值与五个最小值,输出分位数,输出五个最大值与五个最小值,输出分位数,样本 标准差,样本均值,置信区间为 1476.8034，1503.1966,
