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1、第七章第七章 多元衰减模型的精多元衰减模型的精算现值算现值7.1 基本模型基本模型7.2 养老金模型养老金模型 多元衰减模引言引言本章我们考虑单生命多减因情况的一个保险实务：养老金给付模型。人类生命的进程中不可避免地由幼年走向老年，虽然这一过程要长达60多年的时间，但在人类社会的任何一个观察时刻都既有年轻人也有老年人，有精力旺盛的工作者，也有不能工作的伤残人、老年人。人只要活着，就需要生活费！多元衰减模一个文明和谐富裕的社会应当是老有所养、病有所医、残有所养的保障型社会。因此，国家和政府都义不容辞地肩负起发展社会保障事业的重担。这里养老保险是其重要的组成部分，它涉及到每一个家庭和个人。凡是因各
2、种原因而退出工作计划的个体，均面临着生存保障的问题，这就是研究多元衰减模型的精算现值的根本原因。7.2 基本模型多元衰减模考虑抽象的一般模型，目的是能从数学模型的观点来看待和解决问题，可以将各种原因导致的衰减纳入模型中。l个体(x)的多元衰减模型中，设T(x)为衰减时刻，衰减的原因有m个，为j=1,2,m。当由于原因j在衰减时刻（连续的）衰减时，将给付保险金，其给付额是变额的，记为 ,给付额会因衰减原因的不同而有所不同，则所有原因下的给付额的现值为 多元衰减模所以精算现值（为了与其它寿险精算现值相区别，记为 ）多元衰减模例7.2.1 某在x岁签单的终身死亡保险，保险金在死亡后立即给付。保险金额
3、与死亡的原因有关，意外死亡的死亡保险金为2元，其它原因死亡的死亡保险金为1元。下式上标中（1）表示因为意外而死亡，（2）表示因其它原因而死亡。则保险人给付额的精算现值为多元衰减模7.3 养老金模型养老金模型7.3.1 养老金的社会意义和形成及种类养老金的社会意义和形成及种类养老金计划是现金世界各国普遍采用的社会保障模式的一种，在整个社会保障体系中占有绝对主导的地位。没有它社会的安全系数将大大降低。一般来说，养老金计划是由国家、多个企业主或单个企业主发起，这些发起人负责养老基金的管理和支付，它提供给多元衰减模参加者因老、病、伤残、死亡等方面的基本生活上的保障。养老金计划作为对参加者的保障计划，养
4、老基金由计划的发起人单独承担或发起人与参加者共同承担，每月按参加者工资的一定比例来缴纳。养老金计划所筹集到的养老基金可用于投资，本金及投资的回报用于参加者未来的给付。养老金计划的两种主要类型：固定给付计划（也称待遇预定养老金计划）、固定缴资计划（缴费预定养老金计划）。多元衰减模固定给付计划根据职工参加养老金计划的年数和工资收入水平预先规定退休后的养老金水平和养老金随工资或物价调整的方方式，缴费水平需经过精算估计定期调整。固定给付计划给付不足的风险由养老金计划发起人-企业或政府来承担。固定缴资计划预先确定缴费水平，缴费不断积累并获得投资收益，当参加养老金计划的职工退休时， 以缴费及其投资收益在退
5、休时的累积额为基础发放养老金，投资回报率降低的风险由参加者个人承担。固定缴资计划多元衰减模通常采用个人账户方式，使缴费与享受间建立起直接的联系，容易被人理解和接受，也有利于职工的流动，因此，越来越多的养老金计划采用固定缴资计划。养老金计划的保障项目和给付类型：一个企业在制定养老金计划时，通常把参加者的年老、伤残、退职、疾病、死亡等作为保障项目。我们在这里出于建立模型方便只考虑参加者中途退职、工作期间死亡、因伤残而退休和到退休年龄如期退休这四种保障。多元衰减模在上述四种情况下，养老金给付额度将有所不同。参加者工作到退休年龄如期退休后，养老金计划为其提供生存年金，一般按年或按月给付。若参加者因伤残
6、而无法继续工作，养老金计划将为其提供补偿金和退休金。对于工作期间死亡的参加者，养老金计划将向受益人提供死亡给付。而对于那些工作中途退职的参加者，可以退还其向养老金所缴纳的累积的额度，或者提供其延期生存年金。多元衰减模我们主要对固定给付计划中的几种退休金给付方式加以探讨，利用精算现值理论对固定给付计划养老金的精算现值进行计算。实际上，养老金计划成本和债务的估计是精算数学的重要内容，但我们由于时间限制，不能在此探讨，感兴趣的同学可进一步阅读。多元衰减模7.3.2 养老金中的多元衰减模型养老金中的多元衰减模型针对养老金计划考虑的保险对象，我们可以大致将其纳入多元衰减模型：衰减的原因一般分为工作期间退
7、职（w）,工作期间死亡（d），伤残而退休（i），如期退休（r）四类。对应的衰减概率分别表示为多元衰减模本书后附有养老金计划的多元衰减表，表中给出了每一年龄四种原因下的衰减人数由于养老金的给付并非一次性的，而是多次的年金方式，因此必须考虑与衰减有关的生存年金的精算现值，以便比较准确地筹集养老基金。用 表示根据退休人口生命表所计算的连续终身生存年金的精算现值， 表示根据退职人口生命表所计算的连续终身生存年金的精算现值，多元衰减模 表示根据伤残人口生命表所计算的连续终身生存年金的精算现值。7.3.3 未来工资水平的预测未来工资水平的预测在 x岁加入养老金计划的个体，现在活到x+h岁，即个体现已加入计
8、划 h整数年，假设个体(x)一直参与此养老金计划，到x+h+t岁时退休，即在t年后退休。多元衰减模用 来表示个体(x)在x+h岁时的实际年工资额，即表示个体现在的实际工资水平。用 表示个体未来x+h+t岁时的年工资额。假设存在工资比例系数 （y为个体的年龄，y=x+h）使得未来的年工资额 满足多元衰减模多元衰减模7.3.4 常见的退休金给付方案常见的退休金给付方案所讨论的范围是固定给付计划中的常见情况。个体(x)，在x岁参加计划，当前年龄x+h，即以参加计划h整数年,R(x,h,t)表示个体t年后退休时，可得到的年退休金额，并且假定退休后每年给付的退休金水平相同（固定给付计划）。在实际中，按月
9、领取。可用多元衰减模连续模型来近似。因从退休时刻x+h+t起给付养老金，R(x,h,t)可看做连续终身生存年金的给付率。所以考虑退休金连续给付计划，退休的个体所得到的总的退休金给付额的精算现值为多元衰减模常见的方案常见的方案：（1）退休金为退休前最后一年年工资乘以某百分比d.(2) 退休金为退休前最后几年的年平均工资，通常是最后5年的年平均工资。令k=t,假设发生在当年年中，则最后5年的年平均工资可以表示为多元衰减模（3）退休金为工作年限乘以某比例d,R(x,h,t)=d(h+t).如，个体（25）（男性）参加计划，现年52岁，60岁退休，比例d=1500,则h=52-25=27，t=60-5
10、2=8，于是年退休金额为R(25,27,8)=1500*(27+8)=52500.（4）退休金为退休前最后5年的平均工资与工作年限及百分比d三者的乘积：多元衰减模多元衰减模例例7.3.1 一个养老金计划，计划中的个体60岁退休，有三种年退休金给付方案可供选择：（1）在总的工作年限内，首先每一年累计给付额450元，累计最长期限为25年，对超过25年的工作年限每年累计350元；（2）工作年限*【退休前三年年平均工资*1%+退休前三年的年平均工资超出30000元部分*0.5%】；（3）工作年限*【工作期间的平均工作*2%+工作期间平均工资超出20000元部分*1%】多元衰减模给定：1）参加者在30岁
11、加入此计划；2）加入时年工资为10000元；3）在退休前，工作满一年年工资递增5%。求退休者可选择的最高年退休金。解：30岁加入计划，60岁退休，工作年限为30年。（1）年退休金为 450*25+（30-25）*350=13000.（2）退休前三年的年平均工资为多元衰减模10000【1.0527+1.0528+1.0529】/3=39232.4年退休金为30【39232.4*0.01 +（39232.4-30000）*0.005】=13154.58；（3）工作期间的年平均工资为10000【1+1.05+1.052+。+1.0529】/30=22146.28.因此，年退休金为30【22146.2
12、8*0.02+（22146.28-20000）*0.01】=13931.65.多元衰减模综合考虑，可得最高年退休金为第三种方案提供的结果13931.65元。7.3.5 固定给付计划下养老金给付额的精固定给付计划下养老金给付额的精算现值算现值假设养老金计划规定的最早退休年龄为 岁。参加者工作到了退休年龄，可以选择退休或继续工作。注意有关系式：多元衰减模记年退休金为R(x,h,t),每年连续给付。由于从最早退休时间到实际退休时间有一小间隔，所以前述总退休金金额将随t的变化而变化，从而现在时刻养老金计划所给付的退休金的精算现值为多元衰减模如果附加多元衰减模型的退休均匀分布的假设，即对k=0,1,2,
13、有多元衰减模将上式代入APV公式中，得到多元衰减模利用近似公式多元衰减模在养老金计划中不仅要考虑如期退休的参加者的退休金给付问题，而且还要考虑其它三种因素情况下的给付问题。以下通过一个例子来说明如何计算各种衰减原因下的养老金计划的给付额的精算现值。例例7.3.2 表示下列给付额的精算现值。一个体30岁加入计划，现在33岁，目前年工资45000元。设衰减发生在年中。多元衰减模（1）至少65岁，或年龄与工作年限的总和超过90的个体可以享受退休金。退休金为10年确定期年金，每月给付一次，年退休金为0.02*退休前最后5年的年均工资*总工作年限（包括分数年）；（2）工龄在5年以上的个体可以享受退休金。
14、退休金的计算方法与正常退休情况的计算方法相同，但给付必须是从本计划中允许的最早退休年龄开始；多元衰减模（3）对于因伤残而提前退休的个体，年给付额为50%及0.02（3+t）二者中最大值与伤残前最后5年年均工资的乘积，其中3+t为参加者的工作年限。给付个体10年确定期终身生存年金，给付从个体伤残时开始。（4）在工作期间死亡，在死亡时一次性给付死亡时年工资的两倍。解：（1）x=30,h=3,由于60+（60-30）=90,所以，个体可以在60岁退休。假设退休发生在年中，t=27,可在33+k+0.5,k=27,28,多元衰减模退休，且退休金为多元衰减模所以在现在时刻个体退休金的精算现值为多元衰减模
15、（2）由于个体在30岁加入计划，所以在35岁至60岁之间退职时，可以享受退休金假设个体在33+k+0.5岁退职，2=k=26,退职个体的年退休金为（按（1）的规定进行）多元衰减模在现在时刻，对退职个体给付的退休金的精算现值为多元衰减模（3）对于因伤残而提前退休的个体，依题意，考虑下面的比例Max50%, 0.02(3+k+0.5),0=k=26，即是在33岁到59岁的范围内才算是提前。个体在未来k+0.5年后因伤残而提前退休。经计算可知， Max50%, 0.02(3+k+0.5)=0.5, k=21,Max50%, 0.02(3+k+0.5)=0.02(3.5+k), 22=k=26. 所以，年给付额为多元衰减模多元衰减模（4）工作期间死亡，依题意，个体可能在33+k+0.5,k是正整数，岁死亡，则在死亡时刻一次性给付当时工资额的两倍，即多元衰减模
