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1、3.7 傅立叶反变换 3.8 LTI系统的频域分析,3.7 傅里叶反变换,根据已知的信号频谱求对应的时域信号 Y()=F()H() Y()y(t)(系统的零状态响应),3.7.1 利用傅里叶变换对称特性,若 ，则 。 因此，在已知 前提下，可以先求出其时域形式 的傅里叶变换 ，也就是 ， 再求得 。【例】 求 对应的时域信号 。 解： 因为 所以 从而有,【例】 求对应 的时域信号 。解： 从而有,3.7.2 部分分式展开,方法： 一般是 的有理分式，可以将 看成一个变量，先做除法（如果分母阶数小于等于分子阶数），再将余式（有理真分式）进行部分分式展开，然后利用下述关系，进行傅里叶反变换的求解
2、。,两边对 求导，可得以及,【例】 已知信号 的频谱为 ，求 。 解：故 【例】 已知信号 的频谱为 ，求 。 解：,其中：即所以,3.7.3 利用傅里叶变换性质和常见信号的傅里叶变换对,【例】 已知信号 的频谱为 为一常数，求 。 解：应用傅里叶变换频域卷积定理有,【例】 已知 ，求 。解： 根据傅里叶变换的时域卷积定理和时域微分特性有即 故,3.8 LTI系统的频域分析 3.8.1 频率响应,现在研究一个线性时不变系统，其输入为 ，输出或响 应为 ，描述该系统的微分方程为对上式两边取傅里叶变换并利用时域微分性质，可得于是系统响应（或输出）的傅里叶变换为,称为该系统的系统函数。 是描述系统的
3、重要参数，它与系统本身的特性有 关，而与激励无关 。它定义为若令 ，系统的零状态响应即为冲激响应 由于 ，故有 。两者关系为 一般是的复函数，可以表示为,的偶函数,的奇函数,傅氏变换分析的实质是：先将信号分解为无穷多个虚指数 分量之和，即在 的范围内的该分量为 ，而其响应分量 为 ，再将无穷多个响应分量加起来，便得 到了系统的总响应，即由此可见，时域分析和频域分析是以不同的观点对LTI系统 进行分析的两种方法。,时域分析与频域分析示意图,【 例 】 已知一个因果LTI系统的输出 和输入 可由下列微分方程来描述：确定系统的冲激响应 ； 如果 ，初始状态为 试求其全响应。 解：由微分方程可得,求
4、的傅里叶反变换，就可以得到系统的冲激响应为 由于 ，可得 由此可得利用部分分式展开法，可求得展开成为求 的傅里叶反变换，得到系统的零状态响应为,利用时域分析求取该系统的零输入响应： 因为该系统的齐次微分方程为 其特征根为： 故零输入响应的通解为 将 代入，可解得 故全响应为,【例】 如图所示的系统，已知乘法器的输入系统的频率响应 ，求输出解 由图可知，乘法器的输出信号 ，依频 域卷积定理可知，其频谱函数式中 。由于宽度为的门函数与其频 谱函数的关系为,令 ，根据对称性可得 故得 的频谱函数为 的频谱函数为 因此可得 系统的频率响应函数可写为 所以系统响应 的频谱函数为取上式的傅里叶反变换得：,
5、图3.8.2,例 已知一个LTI系统的频率特性为求描述的系统的微分方程,且计算在输入为阶跃信号激励下的系统零状态响应y(t). 解：当输入的激励为阶跃信号(t),例 已知一个LTI系统的微分方程为（）求系统的频率响应； （）若输入信号为求系统零状态响应y(t). 解： （）（）,例已知信号f(t)通过系统H()后的输出响应为Y() ，要使f(t)通过另一个系统Ha()后的输出响应为f(t)-y(t)，求此系统的频率响应Ha() 与H() 的关系 解：,3.8.2 信号无失真传输,所谓信号无失真传输是指输入信号经过系统后，输出信号 与输入信号相比，只有幅度大小和出现时间先后的不同， 而没有波形上
6、形状的变化. 若输入信号为f(t)，经系统无失真传输后，其输出信号应为:,作相应的傅氏变换，得故有 这是无失真传输所要求的系统函数。 系统对信号无失真地传输时应满足两个条件： 系统的幅频特性 在整个频率范围内应为常数K，即系统的通频带应为无穷大； 系统的相频特性 在整个频率范围内与 成正比.,设 则响应 应为为了使基波与二次谐波通过系统后有相同的延迟变化，不产 生相位失真，应满足即各频率分量的相移必须与频率成正比。,例 根据给定的输入输出信号，判断系统是否为无失真传输系统解：无失真传输系统的输入输出关系应满足关系因此此系统为无失真传输系统,3.8.3 理想低通滤波器的响应,滤波器: 能让某些频率的信号通过,而使其他频率的信号受到抑制.理想滤波器: 该系统的幅频特性在某一频带内保持为常数而在该频带外为零，相频特性始终为过原点的一条直线。常用的理想滤波器有:理想低通、理想高通、理想带通和理想带阻滤波器等类型.,理想低通滤波器，其频率特性可写为冲激响应 ：理想低通滤波器的冲激响应为,信号时域观测和频域观测的例子：,
