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1、1空间线线、线面、面面垂直关系练习题空间线线、线面、面面垂直关系练习题 一、填空题一、填空题 1给出下列三个命题： “直线、为异面直线”的充分非必要条件是“直线、不相交” ；abab “直线垂直于直线”的充分非必要条件是“直线垂直直线在平面内的射影” ；abab“直线垂直平面” 的必要非充分条件是“直线垂直于平面内的无数条直线”aa 其中所有真命题的序号是 2如图，正方形 ABCD，P 是正方形平面外的一点，且 PA平面 ABCD 则在PAB、PBC、PCD、PAD、PAC 及PBD 中，为直角三 角形有_5_个 3 3在四棱锥 P-ABCD 中，PA底面 ABCD，底面各边都相等，M 是 P
2、C 上的一动点，当点 M 满足 时，平面 MBDBMPC 平面 PCD 4已知三棱锥的底面是正三角形，点在侧面上的射影ABCS ASBC 是的垂心，且的长为定值，则下列关于此三棱锥的命题：点在侧面上的射影是HSBCSABSAC 的垂心；三棱锥是一个正三棱锥；三棱锥的体积有最大值；三棱锥SACABCS ABCS 的体积有最小值.其中正确命题的序号为 .ABCS 5如果 a,b 是异面直线，P 是不在 a,b 上的任意一点，下列四个结论：（1）过 P 一定可作直线 L 与 a , b 都相交；（2）过 P 一定可作直线 L 与 a , b 都垂直；（3）过 P 一定可作平面与 a , b 都平行；
3、（4） 过 P 一定可作直线 L 与 a , b 都平行，其中正确的结论有_（2）_ 6给出下列命题：分别和两条异面直线 ABCD 同时相交的两条直线 ACBD 一定是异面直线同 时与两条异面直线垂直的两直线不一定平行斜线 b 在面 内的射影为 c，直线 ac，则 ab有 三个角为直角的四边形是矩形，其中真命题是 7点 P 在直径为 2 的球面上，过 P 作两两垂直的三条弦，若其中一条弦长是另一条弦长的 2 倍，则这三条弦长之和为最大值是 57028正四面体 ABCD 的棱长为 1，棱 AB/平面，则正四面体上 的所有点在平面内的射影构成图形面积的取值范围是 21,429直二面角 的棱 上有一
4、点 A，在平面 、 内各有一条射线 AB，AC 与 成 450，ABlll，则BAC= （或，两种情形）AC,6012010.四棱锥的底面是矩形，面，为 的中点，DABCEDE ABCE3,1,2.DEECBCGDA为上一点，且面，则 .QDCEQ GBCDQ QC3 211已知边长为的正，点分别在边上，且，2 3ABC,D E,AB AC/DEBC 以为折痕，把折起至，使点在平面上的射影DEADEA DEABCED始终落在边上，记，则的取值范围为 HBC2ADESA H的面积S 【答案】【解析】设到的距离为，则与间距离为3(,)3ADExDEBC，的面积为 的取值范3xADE23 3x222
5、369A Hxxx233 9232xSxxS围为3(,)312三棱锥中，点在内，且ABCP 90CPABPCAPBMABCMPA ，则的度数是_60MPBMPC45 13.如图，与是四面体中互相垂直的棱，若，且ADBCABCD2BCcAD2 ，其中、为常数，则四面体的体积的最aCDACBDAB2acABCD大值是 。 【答案】13222cac14如图，已知平面平面，、是平面与平面的交线上AB的两个定点，且，,DACBDACB4AD ，在平面上有一个动点，使得，8BC 6AB PAPDBPC 则的面积的最大值是 12 .PAB 二、解答题二、解答题 15 如图，正方形所在的平面与三角形所在的平面
6、交于，平面，且 ABCDCDECDAE CDE 2ABAE （1）求证：平面；/ABCDE （2）求证：平面平面；ABCDADE证明：证明：（1）正方形 ABCD 中，/ABCD，又AB 平面 CDE，CD 平面 CDE， 所以/AB平面 CDE （2）因为AECDE 平面，且CDCDE 平面，所以AECD， 又 ABCDCDAD正方形中，且AEADAAEADADE、平面， 所以CDADE 平面， 又CDABCD 平面， 所以ABCDADE平面平面 1616.如图所示，ABC为正三角形，EC平面 ABC，BDCE，ECCA2BD，M是EA的中点 求证：（1）平面BDM平面ECA（2）平面DEA
7、平面ECA17.如图，在四棱锥中，平面平面，PABCDPAD ABCD ，是等边三角形，已知，ABDCPAD28BDAD24 5ABDC(1)设是上的一点，证明：平面平面；MPCMBD PAD (2)求四棱锥的体积PABCD (1) 证明：在中，由于，ABD4AD 8BD ，所以故4 5AB 222ADBDABADBD又平面平面，平面平面，PAD ABCDPADABCDAD平面，所以平面，BD ABCDBD PAD 又平面，故平面平面BD MBDMBD PAD (2) 解：过作交于，由于平面平面PPOADADOPAD ，所以平面因此为四棱锥的ABCDPO ABCDPOPABCD 高，又是边长为
8、 4 的等边三角形因PAD此在底面四边形中，所以四边形是梯342 32PO ABCDABDC2ABDCABCDPABDCABCDEABCMPD2ABCC1B1A1FDEMABCC1B1A1FDEOM形，在中，斜边边上的高为，RtADBAB4 88 5 54 5此即为梯形的高，所以四边形的面积为ABCDABCD2 54 58 52425S18.如图，等腰梯形 ABCD 中，ADBC，AB=AD，ABC=600，E 是 BC 的中点如图 2，将ABE 沿 AE 折起，使二面角 BAEC 成直二面角，连结 BC，BD，F 是 CD 的中点，P 是棱 BC 的中点 (1)求证：AEBD； (2)求证：
9、平面 PEF平面 AECD； (3)判断 DE 能否垂直于平面 ABC?并说明理由证明：(1)连接，取中点，连接BDAEM,BM DM 在等腰梯形中，AB=AD，E 是 BC 的中点，ABCDADBC60ABC 与都是等边三角形 ABEADE,BMAE DMAE 平面，平面,BMDMM BM DMBDMAEBDM 平面，BD BDMAEBD (2)连接交于点，连接CMEFNPN ，且，四边形是平行四边形。N 是线段的中点。MEFCMEFCMECFCM P 是线段的中点， 平面 平面BCPNBMBM AECDPNAECD (3)与平面不垂直DEABC 假设平面，则平面DE ABCDEABBMAE
10、CDBMDE ，平面，平面 ABBMM,AB BM ABEDEABE，这与矛盾与平面不垂直DEAE60AEDDEABC 1919.如图，三棱柱中，D、E 分别是棱 BC、AB 的中点，点 F 在棱上，已知111ABCABC1CC.1,3,2ABAC AABCCF(1)求证:平面 ADF;1C E(2)若点 M 在棱上，当为何值时，平面平面 ADF?1BBBMCAM分析：（1 1）要证明,可通过线线平行和面面平行ADFEC平面/1 两条路来证明线面平行. .要在平面中找到与平行的直线，可反用线面平行的ADFEC1性质，利用过的平面与平面的交线,这里注意为EC1ADFOFO的重心， （）,再利用比
11、例关系证明ABC12OECO从而证明结论.OFEC/1 .取中点,可通过证明面,证明BDMADFMEC平面/1ADFEC平面/1解：（1）连接CE交AD于O，连接OF因为CE，AD为ABC中线，所以O为ABC的重心，12 3CFCO CCCE从而OF/C1E OF面ADF，1C E 平面ADF，所以1/C E平面ADF （2）当BM=1 时，平面CAM 平面ADF在直三棱柱111ABCABC中，由于1B B 平面ABC，BB1平面B1BCC1，所以平面B1BCC1平面ABC由于AB=AC，D是BC中点，所以ADBC又平面B1BCC1平面ABC=BC，所以AD平面B1BCC1而CM平面B1BCC
12、1，于是ADCM因为BM =CD=1，BC= CF=2，所以Rt CBMRt FCD，所以CMDF DF与AD相交，所以CM平面ADFCM平面CAM，所以平面CAM 平面ADF 当BM=1 时，平面CAM 平面ADF 20已知正三角形所在的平面与直角梯形垂直，PADABCDABAD ，且/ABCD2ADDC,4AB （1）求证：；ABPD （2）求点到平面的距离；CPAB （3）在线段上是否存在一点，使得平面PDM/AMPBC20 【解析】 （1）PADABCDPADABCDADABPADABPDABABCDPDPADABAD 平平平平平平平（2）由 即CPABPABCVV11 33PABAB
13、Ch SPE S（或过作的垂线，求垂线段的长）3h DPA （3）假设上存在点，使得平面.PDM/AMPBC 在平面内过点作交于,连接,PDCM/MNDCPCNBN则 又， 所以平面是平行四/AMNBPBCNB AMPBCAMNB AMPBC 平平 平 平/MNCDMNABCDABAMNB边形 ，所以 ，这与矛盾，所以假设不成立，MNABMNCDAB 即在线段上不存在一点，使得平面.PDM/AMPBC 21.如图 1，在正方体中，为 的中点，AC 交 BD 于点 O，求证：平面1111ABCDABC DM1CC1AO MBD 证明：连结 MO，DB，DBAC，1AM1A A， 1A AACAD
14、B平面，而平面 11A ACC1AO 11A ACCDB 1AOABCDE 图 1ABCDEFP图 2NPCBADHM3设正方体棱长为，则，a22 13 2AOa223 4MOa在 Rt中，11AC M22 19 4AMa222 11AOMOAM OMDB=O， 平面 MBD1AOOM1AO评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过 计算来证明 22.如图 2，是ABC 所在平面外的一点，且 PA平面 ABC，平面 PAC平P 面 PBC求证：BC平面 PAC 证明：在平面 PAC 内作 ADPC 交 PC 于 D 因为平面 PAC平面 PBC，且两平面交于 PC， 平面 PAC，且 ADPC， 由面面垂直的性质，得 AD平面 PBC 又平面AD BC PBC，ADBCPA
