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1、1空间线线、线面、面面垂直关系练习题空间线线、线面、面面垂直关系练习题 一、填空题一、填空题 1给出下列三个命题: “直线、为异面直线”的充分非必要条件是“直线、不相交” ;abab “直线垂直于直线”的充分非必要条件是“直线垂直直线在平面内的射影” ;abab“直线垂直平面” 的必要非充分条件是“直线垂直于平面内的无数条直线”aa 其中所有真命题的序号是 2如图,正方形 ABCD,P 是正方形平面外的一点,且 PA平面 ABCD 则在PAB、PBC、PCD、PAD、PAC 及PBD 中,为直角三 角形有_5_个 3 3在四棱锥 P-ABCD 中,PA底面 ABCD,底面各边都相等,M 是 P
2、C 上的一动点,当点 M 满足 时,平面 MBDBMPC 平面 PCD 4已知三棱锥的底面是正三角形,点在侧面上的射影ABCS ASBC 是的垂心,且的长为定值,则下列关于此三棱锥的命题:点在侧面上的射影是HSBCSABSAC 的垂心;三棱锥是一个正三棱锥;三棱锥的体积有最大值;三棱锥SACABCS ABCS 的体积有最小值.其中正确命题的序号为 .ABCS 5如果 a,b 是异面直线,P 是不在 a,b 上的任意一点,下列四个结论:(1)过 P 一定可作直线 L 与 a , b 都相交;(2)过 P 一定可作直线 L 与 a , b 都垂直;(3)过 P 一定可作平面与 a , b 都平行;
3、(4) 过 P 一定可作直线 L 与 a , b 都平行,其中正确的结论有_(2)_ 6给出下列命题:分别和两条异面直线 ABCD 同时相交的两条直线 ACBD 一定是异面直线同 时与两条异面直线垂直的两直线不一定平行斜线 b 在面 内的射影为 c,直线 ac,则 ab有 三个角为直角的四边形是矩形,其中真命题是 7点 P 在直径为 2 的球面上,过 P 作两两垂直的三条弦,若其中一条弦长是另一条弦长的 2 倍,则这三条弦长之和为最大值是 57028正四面体 ABCD 的棱长为 1,棱 AB/平面,则正四面体上 的所有点在平面内的射影构成图形面积的取值范围是 21,429直二面角 的棱 上有一
4、点 A,在平面 、 内各有一条射线 AB,AC 与 成 450,ABlll,则BAC= (或,两种情形)AC,6012010.四棱锥的底面是矩形,面,为 的中点,DABCEDE ABCE3,1,2.DEECBCGDA为上一点,且面,则 .QDCEQ GBCDQ QC3 211已知边长为的正,点分别在边上,且,2 3ABC,D E,AB AC/DEBC 以为折痕,把折起至,使点在平面上的射影DEADEA DEABCED始终落在边上,记,则的取值范围为 HBC2ADESA H的面积S 【答案】【解析】设到的距离为,则与间距离为3(,)3ADExDEBC,的面积为 的取值范3xADE23 3x222
5、369A Hxxx233 9232xSxxS围为3(,)312三棱锥中,点在内,且ABCP 90CPABPCAPBMABCMPA ,则的度数是_60MPBMPC45 13.如图,与是四面体中互相垂直的棱,若,且ADBCABCD2BCcAD2 ,其中、为常数,则四面体的体积的最aCDACBDAB2acABCD大值是 。 【答案】13222cac14如图,已知平面平面,、是平面与平面的交线上AB的两个定点,且,,DACBDACB4AD ,在平面上有一个动点,使得,8BC 6AB PAPDBPC 则的面积的最大值是 12 .PAB 二、解答题二、解答题 15 如图,正方形所在的平面与三角形所在的平面
6、交于,平面,且 ABCDCDECDAE CDE 2ABAE (1)求证:平面;/ABCDE (2)求证:平面平面;ABCDADE证明:证明:(1)正方形 ABCD 中,/ABCD,又AB 平面 CDE,CD 平面 CDE, 所以/AB平面 CDE (2)因为AECDE 平面,且CDCDE 平面,所以AECD, 又 ABCDCDAD正方形中,且AEADAAEADADE、平面, 所以CDADE 平面, 又CDABCD 平面, 所以ABCDADE平面平面 1616.如图所示,ABC为正三角形,EC平面 ABC,BDCE,ECCA2BD,M是EA的中点 求证:(1)平面BDM平面ECA(2)平面DEA
7、平面ECA17.如图,在四棱锥中,平面平面,PABCDPAD ABCD ,是等边三角形,已知,ABDCPAD28BDAD24 5ABDC(1)设是上的一点,证明:平面平面;MPCMBD PAD (2)求四棱锥的体积PABCD (1) 证明:在中,由于,ABD4AD 8BD ,所以故4 5AB 222ADBDABADBD又平面平面,平面平面,PAD ABCDPADABCDAD平面,所以平面,BD ABCDBD PAD 又平面,故平面平面BD MBDMBD PAD (2) 解:过作交于,由于平面平面PPOADADOPAD ,所以平面因此为四棱锥的ABCDPO ABCDPOPABCD 高,又是边长为
8、 4 的等边三角形因PAD此在底面四边形中,所以四边形是梯342 32PO ABCDABDC2ABDCABCDPABDCABCDEABCMPD2ABCC1B1A1FDEMABCC1B1A1FDEOM形,在中,斜边边上的高为,RtADBAB4 88 5 54 5此即为梯形的高,所以四边形的面积为ABCDABCD2 54 58 52425S18.如图,等腰梯形 ABCD 中,ADBC,AB=AD,ABC=600,E 是 BC 的中点如图 2,将ABE 沿 AE 折起,使二面角 BAEC 成直二面角,连结 BC,BD,F 是 CD 的中点,P 是棱 BC 的中点 (1)求证:AEBD; (2)求证:
9、平面 PEF平面 AECD; (3)判断 DE 能否垂直于平面 ABC?并说明理由证明:(1)连接,取中点,连接BDAEM,BM DM 在等腰梯形中,AB=AD,E 是 BC 的中点,ABCDADBC60ABC 与都是等边三角形 ABEADE,BMAE DMAE 平面,平面,BMDMM BM DMBDMAEBDM 平面,BD BDMAEBD (2)连接交于点,连接CMEFNPN ,且,四边形是平行四边形。N 是线段的中点。MEFCMEFCMECFCM P 是线段的中点, 平面 平面BCPNBMBM AECDPNAECD (3)与平面不垂直DEABC 假设平面,则平面DE ABCDEABBMAE
10、CDBMDE ,平面,平面 ABBMM,AB BM ABEDEABE,这与矛盾与平面不垂直DEAE60AEDDEABC 1919.如图,三棱柱中,D、E 分别是棱 BC、AB 的中点,点 F 在棱上,已知111ABCABC1CC.1,3,2ABAC AABCCF(1)求证:平面 ADF;1C E(2)若点 M 在棱上,当为何值时,平面平面 ADF?1BBBMCAM分析:(1 1)要证明,可通过线线平行和面面平行ADFEC平面/1 两条路来证明线面平行. .要在平面中找到与平行的直线,可反用线面平行的ADFEC1性质,利用过的平面与平面的交线,这里注意为EC1ADFOFO的重心, (),再利用比
11、例关系证明ABC12OECO从而证明结论.OFEC/1 .取中点,可通过证明面,证明BDMADFMEC平面/1ADFEC平面/1解:(1)连接CE交AD于O,连接OF因为CE,AD为ABC中线,所以O为ABC的重心,12 3CFCO CCCE从而OF/C1E OF面ADF,1C E 平面ADF,所以1/C E平面ADF (2)当BM=1 时,平面CAM 平面ADF在直三棱柱111ABCABC中,由于1B B 平面ABC,BB1平面B1BCC1,所以平面B1BCC1平面ABC由于AB=AC,D是BC中点,所以ADBC又平面B1BCC1平面ABC=BC,所以AD平面B1BCC1而CM平面B1BCC
12、1,于是ADCM因为BM =CD=1,BC= CF=2,所以Rt CBMRt FCD,所以CMDF DF与AD相交,所以CM平面ADFCM平面CAM,所以平面CAM 平面ADF 当BM=1 时,平面CAM 平面ADF 20已知正三角形所在的平面与直角梯形垂直,PADABCDABAD ,且/ABCD2ADDC,4AB (1)求证:;ABPD (2)求点到平面的距离;CPAB (3)在线段上是否存在一点,使得平面PDM/AMPBC20 【解析】 (1)PADABCDPADABCDADABPADABPDABABCDPDPADABAD 平平平平平平平(2)由 即CPABPABCVV11 33PABAB
13、Ch SPE S(或过作的垂线,求垂线段的长)3h DPA (3)假设上存在点,使得平面.PDM/AMPBC 在平面内过点作交于,连接,PDCM/MNDCPCNBN则 又, 所以平面是平行四/AMNBPBCNB AMPBCAMNB AMPBC 平平 平 平/MNCDMNABCDABAMNB边形 ,所以 ,这与矛盾,所以假设不成立,MNABMNCDAB 即在线段上不存在一点,使得平面.PDM/AMPBC 21.如图 1,在正方体中,为 的中点,AC 交 BD 于点 O,求证:平面1111ABCDABC DM1CC1AO MBD 证明:连结 MO,DB,DBAC,1AM1A A, 1A AACAD
14、B平面,而平面 11A ACC1AO 11A ACCDB 1AOABCDE 图 1ABCDEFP图 2NPCBADHM3设正方体棱长为,则,a22 13 2AOa223 4MOa在 Rt中,11AC M22 19 4AMa222 11AOMOAM OMDB=O, 平面 MBD1AOOM1AO评注:在证明垂直关系时,有时可以利用棱长、角度大小等数据,通过 计算来证明 22.如图 2,是ABC 所在平面外的一点,且 PA平面 ABC,平面 PAC平P 面 PBC求证:BC平面 PAC 证明:在平面 PAC 内作 ADPC 交 PC 于 D 因为平面 PAC平面 PBC,且两平面交于 PC, 平面 PAC,且 ADPC, 由面面垂直的性质,得 AD平面 PBC 又平面AD BC PBC,ADBCPA