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1、北师大版 2018-2019 学年高中数学必修 2 习题1模块综合检测模块综合检测(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.点 P(1,4,-3)与点 Q(3,-2,5)的中点坐标是( )A.(4,2,2)B.(2,-1,2)C.(2,1,1)D.(4,-1,2)解析:由中点坐标公式得,中点坐标为,即(2,1,1),故选 C.(1 + 3 2,4 - 2 2,- 3 + 5 2)答案:C2.直线 y=kx 与直线 y=2x+1 垂直,则实数 k=( )A.2B.-2C.D.-1
2、 21 2解析:因为两直线垂直,所以 k2=-1,即 k=- ,故选 D.1 2答案:D3.如果一条直线垂直于一个平面内的:三角形的两边;梯形的两边;圆的两条直径;正六边形的两条边.那么能保证该直线与平面垂直的是( )A.B.C.D.解析:根据线面垂直的判定定理可知满足,故选 A.答案:A4.已知直线 l平面 ,直线 m平面 ,有下面四个命题:lm;lm;lm;lm.其中正确的有( )A.B.C.D.解析:正确,因为 l,l,又 m,故 lm;错误,直线 l 与 m 的关系不确定;正确,因为l,lmm,又 m,故由面面垂直的判定定理可知命题正确;两平面也可能相交.故选 D.答案:D5.过点(-
3、1,2)且与直线 2x-3y+4=0 平行的直线方程为( )A.3x+2y-1=0B.3x+2y+7=0C.2x-3y+5=0D.2x-3y+8=0北师大版 2018-2019 学年高中数学必修 2 习题2解析:设所求直线方程为 2x-3y+m=0,因为点(-1,2)在直线上,所以 2(-1)-32+m=0,解得 m=8,故所求直线方程为 2x-3y+8=0,故选 D.答案:D6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.16+8B.8+8C.16+16D.8+16解析:由三视图可知,该几何体是一个长方体和一个半圆柱组成的几何体,所以体积为224+224=16+8.故选 A.1 2
4、答案:A7.已知 A,B,C,D 是空间不共面的四个点,且 ABCD,ADBC,则直线 BD 与 AC( )A.垂直B.平行C.相交D.位置关系不确定解析:过点 A 作 AO面 BCD,垂足为 O,连接 BO,CO 并延长,分别交 CD 与 BD 于 F,E 点,连接 DO.因为 ABCD,AOCD,所以 CD平面 AOB,所以 BOCD,同理 DOBC.所以 O 为BCD 的垂心,所以 COBD,所以 BDAC.故选 A.答案:A8.圆 C1:x2+y2+2x+8y-8=0 与圆 C2:x2+y2-4x+4y-2=0 的位置关系是( )A.相离B.外切C.内切D.相交北师大版 2018-20
5、19 学年高中数学必修 2 习题3解析:圆 C1:x2+y2+2x+8y-8=0,即(x+1)2+(y+4)2=25,表示以 A(-1,-4)为圆心,以 5 为半径的圆.圆C2:x2+y2-4x+4y-2=0,即(x-2)2+(y+2)2=10,表示以 A(2,-2)为圆心,以为半径的圆.两圆的圆心距 d=10,|r1-r2|dr1+r2,故两圆相交,故选 D.9 + 4 =13答案:D9.将直线 2x-y+=0 沿 x 轴向左平移 1 个单位长度,所得直线与 x2+y2+2x-4y=0 相切,则实数 的值为( )A.0 或 10B.-2 或 8C.-3 或 7D.1 或 11解析:将直线平移
6、后得到 y=2(x+1)+=2x+2+,由题意可知,该圆圆心为(-1,2),则,| - 2 - 2 + 2 + |22+ ( - 1)2=5解得 =-3 或 =7,故选 C.答案:C10.已知 a,b 为两条直线, 为两个平面,有下列四个结论:ab,ab;ab,ab;a,a;a,a,其中不正确的有( )A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个解析:不正确,b 可以在平面 内;不正确,b 可能在平面 内;不正确,a 可以在 内;不正确,平面 可经过直线 a.所以均不正确.故选 D.答案:D11.过点 M(3,1)作圆 C:(x-1)2+y2=1 的两条切线,切点分别为 A,B,则直线 AB 的方
7、程为( )A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0解析:由题意可知,其中一个切点是点 A(1,1),根据切线的特点可知过点 A,B 的直线与过点 M(3,1),圆心C(1,0)的直线互相垂直,由 kABkCM=-1,得 kAB=-2,所以直线 AB 的方程为 y-1=-2(x-1),即 2x+y-3=0.故选A.答案:A12.如图所示,在四边形 ABCD 中,AB=AD=CD=1,BD=,BDCD,将其沿对角线 BD 折成四面体 A-2BCD,使平面 ABD平面 BCD,若四面体 A-BCD 顶点在同一个球面上,则该球的体积为( )A.B.3C.D.23
8、 22 3北师大版 2018-2019 学年高中数学必修 2 习题4解析:因为平面 ABD平面 BCD,平面 ABD平面 BCD=BD,且 BDCD,所以 CD平面 ABD,所以CDAB.又 AB2+AD2=BD2,所以 ABAC.因为四面体 A-BCD 顶点在同一球面上,所以 BC 是外接球的直径.因为 BC=,所以球的半径3R=.3 2所以球的体积 V=,故选 A.4 3(3 2)3=3 2答案:A二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上)13.已知点 A(-2,3),B(1,-4),则直线 AB 的方程是 . 解析:kAB=- ,直线 AB 的
9、方程为 y-3=- (x+2),即为 7x+3y+5=0.- 4 - 31 - ( - 2)7 37 3答案:7x+3y+5=014.已知等腰梯形 ABCD,上底 CD=1,腰 AD=CB=,下底 AB=3,以下底所在直线为 x 轴,则由斜二测2画法画出的直观图 ABCD的面积为 . 解析:如图所示,因为 OE=1,所以 OE= ,EF=,则直观图 ABCD的面积为 S= (1+3).( 2)2- 11 22 41 22 4=2 2答案:2 215.圆 x2+y2-2x-2y+1=0 上的点到直线 x-y=2 的距离的最大值是 . 解析:已知圆的圆心为 C(1,1),半径为 r=1,则圆心到直
10、线的距离为 d=,因此,圆上的点到直|1 - 1 - 2| 1 + 1=2线的最大距离为 dmax=+1.2答案:+1216.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为 ,底面周长为 3,则这个球的体积为 . 9 8解析:设球的半径为 R,六棱柱的底面边长为 a,高为 h,显然有=R.2+(2)2由解得六棱柱= 6 3 42 =9 8, 6 = 3,? = -1 2, =3.?北师大版 2018-2019 学年高中数学必修 2 习题5所以 R=1,则 V球= R3= .4 34 3答案: 4 3三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分
11、.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10 分)已知两直线 l1:2x-y+7=0,l2:x+y-1=0,点 A(m,n)是 l1和 l2的交点.(1)求 m,n 的值;(2)求过点 A 且垂直于直线 l1的直线 l3的方程;(3)求过点 A 且平行于直线 l:2x-3y-1=0 的直线 l4的方程.解(1)因为 A(m,n)是 l1和 l2的交点,所以由联立解得2 - + 7 = 0, + - 1 = 0,? = - 2, = 3.?(2)由(1)得点 A 为(-2,3).因为=2,l3l1,所以=- , 1 31 2由点斜式得,直线 l3的方程为 y-3=- (x+2),1
12、2即 x+2y-4=0.(3)因为 l4l,所以 kl=,由点斜式得,直线 l4的方程为 y-3= (x+2),即 2x-3y+13=0. 4=2 32 318.(12 分)如图所示,在平行四边形 ABCD 中,BDCD,正方形 ADEF 所在的平面和平面 ABCD 垂直,H 是 BE 的中点,G 是 AE,DF 的交点,连接 GH.求证:(1)GH平面 CDE;(2)BD平面 CDE.证明(1)四边形 ADEF 是正方形,且 G 是对角线 AE,DF 的交点,G 是 AE 的中点.又 H 是 BE 的中点,在EAB 中,GHAB,ABCD,GHCD.又 CD平面 CDE,GH平面 CDE,G
13、H平面 CDE.(2)平面 ADEF平面 ABCD,交线为 AD,EDAD,ED平面 ADEF,ED平面ABCD,EDBD.北师大版 2018-2019 学年高中数学必修 2 习题6又 BDCD,且 CDED=D,BD平面 CDE.19.(12 分)已知直线 l 经过两点(2,1),(6,3).(1)求直线 l 的方程;(2)圆 C 的圆心在直线 l 上,并且与 x 轴相切于点(2,0),求圆 C 的方程.解(1)由题意可知,直线 l 经过点(2,1),(6,3),由直线方程的两点式可得直线 l 的方程为,整理得 - 13 - 1= - 26 - 2x-2y=0.(2)依题意,设圆 C 的方程
14、为(x-2)2+y2+ky=0(k0),其圆心为.圆心 C 在 x-2y=0 上,(2, - 2)2-2=0,k=-2.圆 C 的方程为(x-2)2+y2-2y=0,即 x2+y2-4x-2y+4=0.(- 2)20.(12 分)已知点 P(2,2),圆 C:x2+y2-8y=0,过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,线段 AB 的中点为M,O 为坐标原点.(1)求 M 的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求 l 的方程及POM 的面积.分析在第(1)问中,由于圆心 C 及点 P 的坐标已知,因此可利用圆的几何性质得到 CMMP,然后通过斜率关系或向量的数量积建立点 M
15、的坐标所满足的等式,从而得到点 M 的轨迹方程;在第(2)问中,结合(1)的结论可知点 M 的轨迹是一个圆,其圆心与原点连线应与 l 垂直,由此求出直线 l 斜率从而得到其方程,同时可求得POM 的面积.解(1)圆 C 的方程可化为 x2+(y-4)2=16,所以圆心为 C(0,4),半径为 4.设 M(x,y),则=(x,y-4),=(2-x,2-y).由题设知=0,故 x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.所以 M 的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1,3)为圆心,为半径的圆.2由于|OP|=|OM|,故 O 在线段 PM 的垂直平分线上,又 P 在圆 N 上,从而 ONPM.因为 ON 的斜率为 3,所以 l 的斜率为- ,故 l 的方程为 y=- x+ .又|OM|=|OP|=2,计算可知 O1 31 38 32到 l 的距离为,|PM|=,4 10 54 10 5所以POM
