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1、电力电子与现代控制 Power Electronics and Modern Control,中国科学院研究生院,第三章：电机的数学模型及分析方法,前言 电机分析基础 直流电动机 异步电动机 一般结构同步电动机 特殊结构同步电动机,前言,电动机：其主要功能是将电能转化为机械能，世界上的电能约70%为各种电动机所消耗。其中约60%为异步电动机，其次为同步电动机和一些特殊电动机。电机分类见右图所示。 电机分析：是将电机视为由若干个绕组相互耦合的线圈构成的，利用电路理论，建立组成电机各线圈的电压和磁链方程，计算各线圈的电阻、电感和线圈之间的互感等参数，并根据电磁原理，推导出其电磁转矩方程，从而建立电
2、机的机械方程，依据这些方程分析电机的动态和稳态特性。 与电机学的不同：电机分析建立的是电机的状态方程，不仅可以电机的静态特性，也可分析电机的动态特性；电机学建立的是电机的稳态复量方程，不能用于电机动态特性的分析。 电机分析的重要性：1、用于电机正常工作状态和特殊工作状态的动静态特性的分析和计算；2、电机分析所建立的状态方程是现代电机控制理论的基础。,电动机的分类：,电机分析基础,磁耦合电路 机电能量转换 绕组和磁动势（MMF）,磁耦合电路,磁耦合等效电路是构成变压器和电机的核心，对于变压器来说，相对静止的电路利用磁耦合电路改变电压电流幅值；对于电机来说，相对运动的电路之间利用磁耦合实现机械能和
3、电能之间的相互转换。,双绕组磁耦合电路示意图,双绕组磁耦合电路分析,线圈产生的磁通可以分成两个部分： 漏磁分量（用l表示）和励磁分量（用m表示）；磁通的正方向可以根据电流的正方向由右手螺旋法则确定。 交链每一个线圈的磁通可以表示为：,漏磁通 由线圈1的电流产生，仅交链线圈1；与之类似，漏磁通 由线圈2的电流产生，仅交链线圈2；励磁磁通 和 分别由线圈1和2产生，但同时交链两个线圈。,双绕组磁耦合电路分析,矩阵形式的电压方程为:,其中， ， ，f代表电压v,电流i或磁链 ，下标1、2为线圈号。,磁链与磁通 的关系为：,磁通由磁势和磁阻决定：,考虑线性磁系统，磁阻 ，l是磁路等效长度，A是磁路等效
4、截面积，是磁导率。,磁链公式可得：,其中，,双绕组磁耦合电路分析,观察四个电感系数的特点，分别定义两套绕组漏感和自感：,将电感矩阵写成漏感和互感的组合形式,得到相应的磁链方程如下：,双绕组磁耦合电路绕组折合,由于1和2次侧没有电路耦合，仅有磁路耦合，只要保持二次侧磁势不变，就不会影响一次侧的电路。为简化磁链公式，可以把实际二次侧的匝数假想成N1，电流为I2,令折合后的电流I2和实际电流I2之间满足：,为了满足功率平衡关系：电压折合需满足：,磁链是电压的积分，需要与电压折合系数一致：,得到二次侧匝数折合后的磁链方程：,其中：,双绕组磁耦合电路方程和等效电路,电压方程变为：,其中：,双绕组磁耦合电
5、路的T型等效电路,基于上述的二次侧折合后的磁链和电压方程，可以得到双绕组磁耦合电路的T型等效电路：,得到二次侧匝数折合后的磁链方程：,其中：,机电能量转换,相对运动磁耦合电路示意图,电机利用相对运动的电路之间磁耦合实现机械能和电能之间的相互转换。,磁场储能,单绕组励磁的磁场储能为：,考虑磁场非线性特点，定义磁共能：,机电能量转换基本关系,电机可以分为：电端口，机械端口和中间的磁场储能环节（保守场）。电端口：能量由电压电流定义。 机械端口：能量由力（转矩）和速度（角速度）定义。 磁场储能环节：能量由磁场储能定义。根据能量守恒定律：,磁场储能,由于： ，可得 ，因 得到：,已知：,推导如下：,得到
6、：,磁场储能,根据定义：,我们得到磁场力虚位移原理：,磁场力幅值等于磁共能沿虚拟运动方向的导数。,磁场储能,根据定义：,我们得到磁场力虚位移原理：,磁场力幅值等于磁共能沿虚拟运动方向的导数。,绕组和磁动势,电机结构和绕组,电机分为：转子和定子两部分。其中，定子静止，转子旋转。一般定转子上各有绕组，通过绕组电流产生的磁场相互作用实现机电能量转换。,径向（圆周）剖面图,轴向剖面图,绕组和磁动势,电机内的绕组（沿径向剖面图圆周360度展开）,集中绕组,分布绕组,短距绕组,双层短距分布绕组,绕组和磁动势,三相电机内的绕组（以同步电机为例）,三相电机内绕组（单层分布绕组）,当定子三相绕组通入三相对称交流
7、电流时，产生沿气隙圆周方向旋转磁势，定义为磁动势（magnetic motive force )(MMF),直流电机的结构,直流电动机在结构上分为定子和转子两个部分。 定子：励磁绕组和磁极或永磁励磁磁极； 转子：又称电枢，装有电枢绕组，还有换向器，电刷等。,定子,转子,直流电机的工作原理,直流电动机的工作原理： 定子的励磁绕组通一直流Ifd，将产生励磁磁势Ffd，方向从右向左； 转子上的电枢绕组也通一直流Ia，由于换向器的作用，将使电枢绕组右边部分的电流和左边部分的电流方向都保持不变，这两部分的电流会产生电枢磁势Fa，方向从下向上； 励磁磁势Ffd和电枢磁势Fa在空间上保持垂直，两者相互作用将
8、产生电磁转矩Tem，方向从Fa到Ffd，使电枢按逆时针方向旋转； 在旋转的过程中，在Ffd的作用下，将会在电枢绕组中产生动生电势Ea。,直流电动机的数学模型,以外励磁直流电动机为例列写其数学模型如下: 电压方程:式中:-励磁绕组电压(V); -电枢绕组电压(V);-励磁绕组电阻(ohm); -电枢绕组电阻(ohm);-励磁绕组磁链(Wb); -电枢绕组磁链(Wb);-励磁绕组电流(A); -电枢绕组电流(A); -微分因子;-转子角频率(rad/s); M-直流电机电压和转矩常数磁链方程:式中: -励磁绕组和电枢绕组电感系数(H)机械方程: 电磁转矩: 式中: -负载转矩(N.M); -折合到
9、电机转子上的总转动惯量(kgm2),外励磁直流电动机的等效图,稳态性能分析,直流电动机机械特性,可见: 直流电动机的机械特性为一簇斜率为 k平行的直线； 改变电枢电压，从而改变空载转速； k越小,机械特性越硬;反之,越软。,由直流电机的数学模型，稳态时有：,则有：,可得直流电动机的机械特性为：,为空载转速；,为机械特性系数。,其中：,动态性能分析,以直流电动机励磁电流、电枢电流和转子电角速度为变量, 可得直流电机的状态方程为：采用通用仿真软件Matlab的Simulink组件对其进行计算, 直流电机的状态方程对应的仿真框图如右上图所示。 选择电机参数为:rf=200ohm,ra=1.0ohm,
10、 Lf=5.0H,La=0.012H,M=0.5,J=0.001kgm2,uf=200V, 在0.1秒时突加200V电枢电压,电机空载启动,在1秒时突加25Nm负载转矩时的动态过渡过程如右下图所示。从图可见，由于电机电枢绕组电阻压降的影响，直流电动机负载增加时，其转速将下降，这与前面分析得出的结论一致。,直流电动机仿真框图,直流电动机动态过渡过程,异步电动机,结构特点和工作原理 数学模型 稳态特性 动态特性,异步电动机的结构特点,鼠笼转子(squirrel cage)异步电动机,绕线转子(wound rotor)异步电动机,通常的异步电动机有两类： 1、绕线转子(wound rotor)异步电
11、动机 2、鼠笼转子(squirrel cage)异步电动机,Stator of a large induction motor. (Siemens).,Rotor of a large induction motor. (Siemens).,异步电动机的结构特点,鼠笼转子(squirrel cage),绕线转子(wound rotor),异步电机结构特点和工作原理,结构特点：异步电机由定子和转子两部分构成： 定子：三相对称分布的绕组(ABC)，称之为电枢绕组。 转子：有鼠笼结构和绕线式结构两种结构形式，它们可等效似为象定子绕组一样的在空间相电角度差120电角度的三相绕组（abc）。用矢量图表示
12、如右图所示。 工作原理：稳态运行时，异步电机定子三相绕组流过频率为f1, 幅值相等,相位相差120的三相对称交流电,这样就会在电机气隙中产生一个匀速旋转的磁场, 其旋转速度又称为同步角速度，用1=2f1表示，在该旋转磁场的作用下，异步电机的转子也随之旋转，旋转电速度用r表示，通常情况下， r1，即电机工作于异步方式。它们之间的差值称为异步电机的滑差角频率，表示为s1= 1- r ，异步电机的滑差率定义为：,异步电机的空间位置关系,异步电机的数学模型,相坐标系下的数学模型 坐标变换 dq坐标系下的数学模型,相坐标系下异步电动机数学模型,在ABC相坐标系下，异步电机定转子各有三套绕组ABC和abc
13、，为了便于分析，异步电机可似为由这六个耦合的线圈构成，每一个线圈代表一套绕组，其电阻和电感系数由相应的绕组确定。写出这六个线圈的电压方程，磁链方程和转矩方程如下：电压方程：式中： 分别为定子绕组ABC电压（V）和电流(A)；分别为转子绕组abc电压（V）和电流(A)；分别为定转子一相绕组电阻值（Ohm）;分别为定子绕组ABC磁链（wb）；分别为转子绕组abc磁链（wb）。,用矩阵表示，,相坐标系下异步电动机数学模型,异步电机磁链方程为：式中： 为定子绕组自感和互感； 为定转子绕组之间互感； 为转子绕组自感和互感。,由于异步电机气隙均匀，磁导为一常数，上述矩阵各系数可表示为：,式中：,为定子一相
14、绕组对应主磁路的电感系数；,为转子一相绕组对应主磁路的电感系数；,为定子一相绕组对应漏磁路的电感系数；,为转子一相绕组对应漏磁路的电感系数；,为定子一相绕组和转子一相绕组轴线重合时对应主磁路的电感系数。,其中： （ 为异步电机主磁路磁导， 为定子一相绕组等效匝数）；（ 为转子一相绕组等效匝数）,相坐标系下异步电动机数学模型,现将异步电机转子绕组的匝数由Wr变成Ws，为了保持磁链和功率不变，每相绕组等效匝数为Ws的转子绕组与原绕组电压、电流及其他参数的关系如下：可见，经过匝数变换后，转子的主电感系数和定转子互电感系数均与定子主电感系数相等，这就是所谓的异步电机的“匝数折合”。省去所有转子各量和参
15、数上标的符号，经匝数折合后异步电机方程可简化如下：,异步电机中的磁场储能为：,那么，异步电机的电磁转矩,机械方程表示为：,坐标转换,坐标转换：对于一套在空间上或时间上对称分布的系统可以通过坐标转换用另外一套在空间上或时间上对称分布的系统来代替。 对于三相abc对称系统，完全可以用dq0正交系统来代替。 这两个系统的变换关系矩阵为：,绝对变换：是指两套对称系统变换前后功率保持不变，此时有：,相对变换：是指两套对称系统变换前后功率不能保持不变，但变换前后各量（如电压电流等）幅值保持不变，此时有：,变换过程中，假定abc轴在空间上不动，d轴以一定速度按逆时针旋转，q轴按逆时针超前d轴90度，0轴在坐标原点。,异步电动机的坐标变换矩阵,由前面的分析知，异步电机在相坐标系下其定转子互感系数随定转子相对位置变化，现分析在dq0坐标系下异步电机方程的形式。由上节可知：,转子abc三相绕组到dq0变换矩阵为：,定子ABC三相绕组到dq0变换矩阵为：,dq坐标系下异步电机的数学模型,根据上述坐标变换关系，异步电机在dq坐标系下的数学模型为（忽略0轴方程）： 电压方程：,
