《2018年高中数学人教a版选修2-2第1章导数及其应用 1.4习题含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年高中数学人教a版选修2-2第1章导数及其应用 1.4习题含解析（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-2 习题11.4 生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例课时过关能力提升基础巩固基础巩固1 已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函数关系式为 y=- x3+81x-234,则使该生产厂家1 3获取最大年利润的年产量为( )A.13 万件B.11 万件C.9 万件D.7 万件解析 y=-x2+81,令 y=0,得 x=9(舍去 x=-9),且经讨论知 x=9 是函数的极大值点,所以厂家获得最大年利润的年产量是9 万件.答案 C2 某产品的销售收入 y1(单位:万元)是产量 x(单位:千台)的函数,且关系式为
2、 y1=17x2(x0),生产成本 y2(单位:万元)是产量 x(单位:千台)的函数,且关系式为 y2=2x3-x2(x0),为使利润最大,应生产( )A.6 千台B.7 千台C.8 千台D.9 千台解析设利润为 y,则 y=y1-y2=17x2-(2x3-x2)=-2x3+18x2(x0),所以 y=-6x2+36x=-6x(x-6).令 y=0,解得 x=0(舍去)或 x=6,经检验知 x=6 既是函数的极大值点也是函数的最大值点.答案 A3 某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到大家更多的关注,据有关统计数据显示,从上午 6 时到 9 时,车辆通过该市某一路段的用时 y(单位:分钟)与车辆
3、进入该路段的时刻 t 之间的关系可近似地用如下函数表示:y=- t3- t2+36t-,1 83 4629 4则在这段时间内,通过该路段用时最多的时刻是( )A.6 时B.7 时C.8 时D.9 时解析 y=- t2- t+36,3 83 2令 y=0 解得 t=8 或 t=-12(舍去),当 00;当 t8 时,y0).512 令 l=-+2=0,解得 y=16(另一负根舍去).5122当 016 时,l0.所以当 y=16 时,函数 l=+2y(y0)取得极小值,也就是最小值,此时 x=32.512 512 16答案 A5 做一个容积为 256 m3的方底无盖水箱,所用材料最省时,它的高为
4、( )A.6 mB.8 mC.4 mD.2 m解析设底面边长为 x m,高为 h m,则有 x2h=256,所以 h=.2562设所用材料的面积为 S m2,则有 S=4xh+x2=4x+x2=+x2,S=2x-.2562256 4 256 42令 S=0,得 x=8,因此 h=4(m).256 64答案 C6 做一个无盖的圆柱形水桶,若要使水桶的容积是 27,且用料最省,则水桶的底面半径为 . 解析用料最省,即水桶的表面积最小.设圆柱形水桶的表面积为 S,底面半径为 r(r0),则水桶的高为,所以 S=r2+2r=r2+(r0).求导,得27227254 S=2r-.542令 S=0,解得
5、r=3.当 03 时,S0.所以当 r=3 时,圆柱形水桶的表面积最小,即用料最省.答案 3人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-2 习题37 某厂生产某种产品 x 件的总成本 c(x)=1 200+x3(万元),已知产品单价的平方与产品件数 x 成反比,生产 100 件2 75这样的产品单价为 50 万元,产量定为 件时总利润最大. 答案 258 已知矩形的两个顶点位于 x 轴上,另两个顶点位于抛物线 y=4-x2在 x 轴上方的曲线上,则这个矩形面积最大时的长和宽分别为 . 解析设第一象限中位于抛物线上的矩形的顶点为(x,y),其中 00,则在抛物线上的另一个顶点为(-x
6、,y),在 x 轴上的两个顶点分别为(-x,0),(x,0).设矩形的面积为 S,则 S=2x(4-x2)(00;2 3 32 3 32 3 3当0).1 1 96 所以 q=0.012v-(v3-8 000).962=0.0122人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-2 习题4令 q=0,解得 v=20.因为当 020 时,q0,所以当 v=20 时,q 取得最小值.故速度为 20 海里/时时,航行 1 海里所需费用总和最小.能力提升能力提升1 若底面为等边三角形的直棱柱的体积为 V,则当其表面积最小时,底面边长为( )A.B.332C.D.2343解析设直棱柱的底面边长为
7、 x,侧棱长为 l,则 V= x2sin 60l,1 2l=.432S表=x2sin 60+3xl=x2+.3 24 3 令 S表=x-=0,34 32x3=4V,即 x=.34又当 x(0,)时,S表0,3434当 x=时,直棱柱的表面积最小.34答案 C2 某银行准备设立一种新的定期存款业务,经预测,存款额与存款利率的平方成正比,比例系数为 k(k0),贷款的利率为 4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为 x(x(0,4.8%),则使银行获得最大收益的存款利率为( )A.3.2%B.2.4%C.4%D.3.6%解析依题意知存款额是 kx2,银行应支付的存款利息是 kx3,
8、银行应获得的贷款利息是 0.048kx2,所以银行的收益是y=0.048kx2-kx3(00;当 0.0320;3 3当d时,y0,函数单调递增.( 4)1 3r=为函数的极小值点,且是最小值点.( 4)1 3故当 r=时,y 有最小值,故当 hr=41 时,总造价最低.( 4)1 3答案 416 在边长为 60 cm 的正方形铁皮的四角上切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的方底箱子,箱底的边长是多少时箱子的容积最大?最大容积是多少?解设箱高为 x cm,则箱底边长为(60-2x)cm,则得箱子容积 V 关于 x 的函数为 V(x)=(60-2x)2x(00,g(t)是增函数.2从而,当 t=10时,函数 g(t)有极小值,也是最小值,所以 g(t)min=300,此时 f(t)min=15.23答:当 t=10时,公路 l 的长度最短,最短长度为 15 km.23
