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1、人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-2 习题12.2 直接证明与间接证明直接证明与间接证明2.2.1 综合法和分析法第 1 课时 综合法课时过关能力提升基础巩固基础巩固1 设 a,bR,若 a-|b|0,则下列不等式正确的是( )A.b-a0B.a3+b30解析a-|b|0,|b|0,-a0.答案 D2 函数 f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是( )A.(-,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+)解析 f(x)=(x-3)ex+(x-3)(ex)=(x-2)ex,令 f(x)0,解得 x2,故选 D.答案 D3 已知在等差数列an中,a5+a11=16,a4=
2、1,则 a12的值是( )A.15B.30C.31D.64解析已知在等差数列an中,a5+a11=16,又 a5+a11=2a8,所以 a8=8.又 2a8=a4+a12,所以 a12=15.故选 A.答案 A4 已知 a0,b0,且 a+b=2,则( )A.abB.ab1 21 2C.a2+b22D.a2+b23解析由 a+b=2,可得 ab1,当且仅当 a=b=1 时取等号.又 a2+b2=4-2ab,a2+b22.人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-2 习题2答案 C5 已知实数 a0,且函数 f(x)=a(x2+1)-有最小值-1,则 a= . (2 +1 )解析
3、f(x)=ax2-2x+a- 有最小值,则 a0,对称轴为 x= ,f(x)min=f=-1,1 1 (1 )即 f=a-2 +a- =-1,(1 )(1 )21 1 即 a- =-1,2 所以 a2+a-2=0(a0),解得 a=1.答案 16 设 p,q 均为实数,则“q0.所以“方程 x2+px+q=0 有一个正实根和一个负实根”成立.因为“方程 x2+px+q=0 有一个正实根和一个负实根”,所以 q + +分析解答本题可先把 abc=1 代入,再利用基本不等式进行推证.证明因为 a,b,c 为不全相等的正数,且 abc=1,所以=bc+ca+ab.1 +1 +1 又 bc+ca2=2
4、, ca+ab2=2,ab+bc2=2,且 a,b,c 不全相等,所以上述三个不等式中的“=” 不能同时成立.所以 2(bc+ca+ab)2(), + +即 bc+ca+ab. + +故.1 +1 +1 + +8 在ABC 中,三边 a,b,c 成等比数列.求证:acos2+ccos2b. 2 23 2证明a,b,c 成等比数列,b2=ac.左边=(1 + ) 2+(1 + ) 2= (a+c)+ (acos C+ccos A)1 21 2人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-2 习题3= (a+c)+1 21 2(2+ 2- 22+ 2+ 2- 22)= (a+c)+ b=
5、b+b=右边,当且仅当 a=c 时,等号成立,1 21 2 + 2 2=3 2acos2+ccos2b. 2 23 29 若 a,b,c 是不全相等的正数,求证:lg +lg +lg lg a+lg b+lg c. + 2 + 2 + 2证明a,b,c(0,+),0,0,0. + 2 + 2 + 2又 a,b,c 是不全相等的正数,故上述三个不等式中等号不能同时成立.abc 成立. + 2 + 2 + 2上式两边同时取常用对数,得 lg lg(abc),( + 2 + 2 + 2)lg +lg +lg lg a+lg b+lg c. + 2 + 2 + 2能力提升能力提升1 若 a,b,c 是
6、常数,则“a0,且 b2-4ac0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析因为 a0,且 b2-4ac0 对任意 xR 恒成立.反之,ax2+bx+c0 对任意 xR 恒成立不能推出 a0,且 b2-4ac0 时也有 ax2+bx+c0 对任意 xR 恒成立,所以“a0,且 b2-4ac0”的充分不必要条件.答案 A2 在面积为 S(S 为定值)的扇形中,弧所对的圆心角为 ,半径为 r,当扇形的周长 p 最小时,r 的值分别是( )A.=1,r=B.=2,r=4C.=2,r=D.=2,r=3解析因为 S= r2,所以 =.1 222人教 A 版 2
7、018-2019 学年高中数学选修 2-2 习题4又扇形周长为 p=2r+r=24,( + )所以当 r= ,即 r=时,p 取最小值,此时 =2. 故选 D.答案 D3 若 O 是平面上的定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足+,0,+),则动点 P 的轨迹一定通过ABC 的( ) = (|+|)A.外心B.内心C.重心D.垂心解析因为+, = (|+|)所以=.(|+|)所以 AP 是ABC 中BAC 的内角平分线.故动点 P 的轨迹一定通过ABC 的内心.答案 B4 已知 sin +sin +sin =0,cos +cos +cos =0,则 cos(-)的值为 . 解
8、析sin +sin +sin =0,cos +cos +cos =0, + = - , + = - .?以上两式两边平方相加,得 2+2(sin sin +cos cos )=1,cos(-)=- .1 2答案-1 25 已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数.设集合 M=0,1,2,q-1,集合A=x|x=x1+x2q+xnqn-1,xiM,i=1,2,n.(1)当 q=2,n=3 时,用列举法表示集合 A;(2)设 s,tA,s=a1+a2q+anqn-1,t=b1+b2q+bnqn-1,其中 ai,biM,i=1,2,n.证明:若 an0,nN,n2.(1)证明:函数 Fn(x)
9、=fn(x)-2 在内有且仅有一个零点(记为 xn),且 xn=;(1 2,1)1 2+1 2 + 1 (2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为 gn(x),比较 fn(x)和 gn(x)的大小,并加以证明.(1)证明 Fn(x)=fn(x)-2=1+x+x2+xn-2,则 Fn(1)=n-10,Fn=1+-2(1 2)1 2+(12)2(1 2)=-2=- 0,故 Fn(x)在内单调递增,(1 2,1)所以 Fn(x)在内有且仅有一个零点 xn.(1 2,1)因为 xn是 Fn(x)的零点,所以 Fn(xn)=0,即-2=0,故 xn=.1 - + 1 1
10、 - 1 2+1 2 + 1 (2)解当 x=1 时,fn(x)=gn(x);当 x1 时,fn(x)0.( + 1)(1 + ) 2当 x=1 时,fn(x)=gn(x).当 x1 时,h(x)=1+2x+nxn-1-.( + 1) - 1 2若 0xn-1+2xn-1+nxn-1-xn-1=xn-1-xn-1=0.( + 1) 2( + 1) 2( + 1) 2若 x1,h(x)xn-1+2xn-1+nxn-1-xn-1( + 1) 2=xn-1-xn-1=0.( + 1) 2( + 1) 2所以 h(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+)内单调递减,所以 h(x)h(1)=0,即 fn(x)gn(x).综上所述,当 x=1 时,fn(x)=gn(x);当 x1 时,fn(x)gn(x).
