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1、人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-1 习题13.2 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法第 1 课时 用向量方法解决平行问题课时过关能力提升基础巩固基础巩固1 若 a=(1,2,3)是平面 的一个法向量,则下列向量能作为平面 的法向量的是( )A.(0,1,2)B.(3,6,9)C.(-1,-2,3)D.(3,6,8)解析:选项 B 中,向量(3,6,9)=3a 与 a 平行,又 a 为平面 的法向量,向量(3,6,9)也是平面 的法向量.答案:B2 设平面 的法向量为(1,2,-2),平面 的法向量为(-2,-4,k),若 ,则 k 等于( )A.2B.-4C.4D
2、.-2解析:,k=4.1- 2=2- 4=- 2答案:C3 若平面 , 的法向量分别为 =(-2,3,-5),=(3,-1,4),则( )A.B.C., 相交但不垂直D.以上均不正确解析:=-23+3(-1)+(-5)40,且 k(kR), 与 既不垂直也不平行. 与 相交但不垂直.答案:C4 若两个不同的平面 与 的法向量分别是 a=(1,0,-2),b=(-1,0,2),则平面 与平面 的关系是( )A.平行B.垂直C.相交不垂直D.无法判断解析:a=-b,ab,.答案:A人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-1 习题25 若直线 l 的方向向量为 a,平面 的法向量为
3、u,则能使 l 的是( )A.a=(1,0,0),u=(-2,0,0)B.a=(1,3,5),u=(1,0,1)C.a=(0,2,1),u=(-1,0,1)D.a=(1,-1,3),u=(0,3,1)解析:l,au,即 au=0.故选 D.答案:D6 已知两个不同的平面 与 有公共的法向量 n=(1,-1,1),则平面 , 的位置关系为 . 答案:7 如图,在正三棱锥 S-ABC 中,点 O 是ABC 的外心,点 D 是棱 BC 的中点,则平面 ABC 的一个法向量可以是 ,平面 SAD 的一个法向量可以是 . 答案:(答案不唯一) 8 已知 a=(3,6,+6),b=(+1,3,2)为两个平
4、行平面的法向量,则 = . 答案:29 已知在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,E,M,N 分别是 BC,AE,CD1的中点,AD=AA1=a,AB=2a.求证:MN平面 ADD1A1.证明以 D 为原点,分别以 DA,DC,DD1为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则 A(a,0,0),B(a,2a,0),C(0,2a,0),D1(0,0,a),E.(1 2,2,0)M,N 分别为 AE,CD1的中点,M,N.(3 4,0) (0, 2).取 n=(0,1,0), =(-3 4,0, 2)人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-1 习题3显然 n平面 A1D1D
5、A,且n=0,n.又 MN平面 ADD1A1,MN平面 ADD1A1.10 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,ABC= ,PA底面 ABCD,PA=2, 4点 M 为 PA 的中点,点 N 为 BC 的中点.AFCD 于点 F,如图建立空间直角坐标系.求出平面 PCD 的一个法向量并证明 MN平面 PCD.解:由题设知,在 RtAFD 中,AF=FD=,A(0,0,0),B(1,0,0),F,D,P(0,0,2),M(0,0,1),N2 2(0,2 2,0) (-2 2,2 2,0).(1 -2 4,2 4,0), =(1 -2 4,2 4, - 1),
6、=(0,2 2, - 2). =(-2 2,2 2, - 2)设平面 PCD 的一个法向量为 n=(x,y,z),则 = 0, n = 0?2 2 - 2 = 0,-2 2 +2 2 - 2 = 0,?令 z=,得 n=(0,4,).22因为n=(0,4,)=0,且 MN平面 PCD,所以 MN平面 PCD.(1 -2 4,2 4, - 1)2能力提升能力提升1 已知直线 l 的方向向量 a=,平面 的法向量为 n=,若 l,则 的值是( )(2,3,1 3)(6, -1 2)A.4B.-C.D.-71 1825 323 6解析:l,an,即 an=0,26+3- =0,解得 =-.1 671
7、 18人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-1 习题4答案:B2 给出下列命题:若 n1,n2分别是平面 , 的法向量,则 n1n2;若 n1,n2分别是平面 , 的法向量,则 n1n2=0;若 n 是平面 的法向量,且向量 a 与平面 共面,则 an=0.其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.0解析:中, 与 可能重合;中, 可得到 n1n2.答案:A3 在三棱锥 P-ABC 中,CP,CA,CB 两两垂直,AC=CB=1,PC=2,在如图所示的坐标系下,下列向量是平面 PAB 的法向量的是( )A. B.(1,1)(1,1,1 2)2C.(1,1,1) D.(2
8、,-2,1)解析:=(1,0,-2),=(-1,1,0).设平面 PAB 的一个法向量为 n=(x,y,1),则n=(2,2,1). - 2 = 0, - + = 0,?解得 = 2, = 2,?又n,A 正确.(1,1,1 2)=1 2答案:A4 已知直线 a,b 的方向向量分别为 m=(4,k,k-1)和 n=,若 ab,则 k= . (, + 3,3 2)解析:当 k=0 时,a 与 b 不平行.当 k0 时,由,解得 k=-2.4 = + 3= - 13 2答案:-25 已知向量 a=(1,3,5),b=(2,4,6),若 n 与 x 轴垂直,且 an=12,nb=14,则 n= .
9、解析:设 n=(0,y,z),由题意得3 + 5 = 12, 4 + 6 = 14,?解得 = - 1, = 3.?人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-1 习题5故 n=(0,-1,3).答案:(0,-1,3)6 已知平面 内的三点 A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面 的法向量为 n=(-1,-1,-1),且 与 不重合,则 .(填“”或“”) 解析:=(0,1,-1),=(1,0,-1),则 n=-10+(-1)1+(-1)(-1)=0,n=-11+(-1)0+(-1)(-1)=0.又 与 不重合,故 .答案:7 在长方体 ABCD-A1B1C1D
10、1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F 分别是棱 A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中点,求证:平面 AMN平面 EFBD.证法一建立如图所示的空间直角坐标系,取 MN,DB 及 EF 的中点 R,T,S,连接 RA,ST,则 A(2,0,0),M(1,0,4),N,D(0,0,0),B(2,3,0),E,F(1,3,4),R,S,T,(2,3 2,4)(0,3 2,4)(3 2,3 4,4) (1 2,9 4,4) (1,3 2,0), =(1,3 2,0), =(1,3 2,0). =(-1 2,3 4,4), =(-1 2,3 4,4), = , = MNEF,ART
11、S,MN平面 EFBD,AR平面 EFBD.又 MNAR=R,平面 AMN平面 EFBD.证法二由证法一可知,A(2,0,0),M(1,0,4),N,D(0,0,0),E,F(1,3,4),(2,3 2,4)(0,3 2,4)则=(-1,0,4), =(0,3 2,4)=(1,3,4). =(0,3 2,4),设平面 AMN,平面 EFBD 的法向量分别为n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-1 习题6则1 = 0, 1 = 0?- 1+ 41= 0,3 21+ 41= 0,?令 x1=1,得 z1= ,y1=- .1
12、42 3又2 = 0, 2 = 0?3 22+ 42= 0,2+ 32+ 42= 0,?令 y2=-1,得 z2= ,x2= .3 83 2n1=,n2=.(1, -2 3,1 4)(3 2, - 1,3 8)n2= n1,得 n1n2.3 2平面 AMN平面 EFBD.8 如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是正方形,EFAB,EFFB,AB=2EF,BFC=90,BF=FC,H 为 BC 的中点,求证:FH平面 EDB.证明四边形 ABCD 为正方形,ABBC.又 EFAB,EFBC.又 EFFB,FBBC=B,EF平面 BFC,EFFH.ABFH.又 BF=FC,H 为 BC 的中点,FHBC.又 ABBC=B,FH平面 ABC.以 H 为坐标原点,为 x 轴正方向,为 z 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.设 BH=1,则 F(0,0,1),=(0,0,1).设 AC 与 BD 的交点为 G,连接 GE,GH,则 G(0,-1,0),=(0,0,1).又=(0,0,1),即 HFGE. = GE平面 EDB,FH平面 EDB,FH平面 EDB.人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-1 习题7
