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1、1,Ch14 压杆的稳定性,14-1 压杆的稳定性概念,受轴向压缩的直杆，其破坏有两种形式：,1）短粗的直杆，其破坏是由于横截面上的正应力达到材料的极限应力，为强度破坏。,2）细长的直杆，其破坏是由于杆不能保持原有的直线平衡形式，为失稳破坏。,2,对于这些细长的压杆，其破坏并非由于强度不足，而是由于荷载（压力）增大到一定数值后，不能保持原有直线平衡形式而失效。,工程中存在着很多受压杆件。,3,1. 两端铰支细长压杆，当F力较小时，杆在力F作用下将保持原有直线平衡形式。,此时，在其侧向施加微小干扰力使其弯曲，当干扰力撤除后，杆仍可回复到原来的直线形式。可见这种直线平衡形式是稳定的。,4,2. 当
2、压力超过某一数值时，如作用一侧向微小干扰力使压杆微弯，则在干扰力撤除后，杆不能回复到原来的直线平衡形式，而在微弯状态下保持平衡。压杆原来的直线平衡形式是不稳定的。,这种丧失原有平衡形式的现象称为丧失稳定性，简称失稳。,压杆从稳定平衡过渡到不稳定平衡时，轴向压力的临界值，称为临界力或临界荷载，用Fcr表示。,5,稳定性问题在其它一些构件，如板、壳。一些薄壁构件中也存在。如宽高比较小的悬臂梁，F力过大时会发生侧向失稳。,6,14-2 细长压杆的临界荷载,在临界力Fcr作用下，细长压杆在微弯状态下平衡，若此时压杆仍处在线弹性阶段，可应用梁的挠曲线近似微分方程及杆端约束条件求解临界力Fcr。,1.两端
3、铰支的细长压杆,设两端铰支的细长压杆在临界荷载Fcr作用下，在xOw平面内处于微弯状态。,7,挠曲线近似微分方程为,EIw“ = -M(x),x截面的弯矩为,M(x) = Fcr w,EIw“ =-Fcr w,EIw“ +Fcr w =0,令,w“ +k2w =0,得,二阶常系数线性微分方程,其通解为,w =Asinkx+Bcoskx,A、B、k待定常数,8,由杆的已知位移边界条件确定常数,x = 0，w = 0,x = l，w = 0,得 B = 0，w =Asinkx,得 Asinkl = 0,由 Asinkl=0 得 A=0（不可能）,或 sinkl = 0,即 kl = n (n =
4、0,1,2）,因此:,最小的临界荷载（n=1）,（Euler公式）,(n = 0,1,2）,w =Asinkx+Bcoskx,9,压杆的挠曲线方程为,A是压杆中点的挠度wmax。,（半波正弦曲线）,wmax= A,w =Asinkx+Bcoskx,k = /l,10,2.不同杆端约束下压杆的临界力,11,类比法,一端固定一端自由的细长压杆，长度2l范围内与两端铰支细长压杆挠曲线形状相同。,12,类比法,两端固定细长压杆，长度0.5l范围内与两端铰支细长压杆挠曲线形状相同。,13,类比法,一端固定，另一端铰支的细长压杆，在0.7l范围内与两端铰支细长压杆挠曲线形状相同。,14,Euler公式的统
5、一形式,约束越强，越小，临界力Fcr越大。,长度系数,l相当长度,一端固定一端自由,一端固定一端铰支,两端固定,两端铰支,=1.0,=2.0,=0.5,=0.7,15,公式讨论,2.当杆端约束在各个方向相同时（如球铰、空间固定端），压杆只可能在最小抗弯刚度平面内失稳，即I取Imin值；,1. Fcr与抗弯刚度成EI正比，与相当长度l的平方成反比；,最小抗弯刚度平面：惯性矩I为最小的纵向平面,如矩形截面的Iy最小，xOz平面为最小抗弯刚度平面。,10-2 细长压杆的临界荷载,16,3.实际工程中的压杆。其杆端约束有很多变化，要根据具体情况选取适当的长度系数值。,4.实际工程中的压杆，非理想的均质
6、直杆，荷载也总会有小的偏心，因此其临界力比公式计算出的为小，这可以在安全系数里考虑，故实际工程中压杆仍可按该公式计算其临界荷载。,10-2 细长压杆的临界荷载,27.5,17,14-3 欧拉公式的适用范围,当压杆在临界荷载Fcr作用下，并仍处于直线形式的平衡状态时，横截面上的正应力称为临界应力。,一、压杆的临界应力,则有,称为压杆的柔度（或细长比），它综合反映了压杆的几何尺寸和杆端约束对压杆承载能力的影响。,18,二、欧拉公式的适用范围,推导欧拉公式时， 杆处于线弹性状态。,cr P,故欧拉公式的适用条件,满足该条件的压杆称为细长压杆（或大柔度杆）。,10-3 欧拉公式的适用范围,19,P,为
7、材料参数，不同的材料有不同的值。,如Q235钢，,三、中小柔度杆的临界应力,为弹性失稳,压杆的失稳称为非弹性失稳,cr P,此时欧拉公式不再适用，工程上常以试验结果为依据的经验公式来计算这类压杆的临界应力。如直线公式,cr=a-b ,a、b为与材料有关的常数，由试验确定。,如Q235钢，,a=304MPa,b=1.12MPa,这类压杆的临界力为,10-3 欧拉公式的适用范围,称为中长杆(中柔度杆),20,压杆将发生强度破坏，而不是失稳破坏。,直线公式的适用范围,四、失效应力总图,Q235钢的失效应力总图,10-3 欧拉公式的适用范围,P cr p，采用高强度钢（p 较大），可以提高稳定性。,三、合理选择材料,10-5 增强压杆稳定性的措施,
