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1、第3章 图形技术基础,1,第3章 图形技术基础,主要内容,坐标系,图形变换,窗口-视区变换,交互技术,1,2,3,4,用户界面,5,1、坐标系,在计算机图形学中，主要使用的是直角坐标系(笛卡尔坐标系)。坐标系根据点在屏幕上的水平位置(x)和垂直位置(y)来确定像素点，通过给出与唯一位置对应的两个值指定位置。一般常用的坐标系有设备坐标系、用户坐标系、规范坐标系、窗口坐标系等。实际使用时，不同的坐标系有不同的坐标原点、坐标向量和取值范围，不同的处理场合应使用相应的坐标系。,(1)设备坐标系 DC(Device Coordinate System),在设备这一级，往往使用的是与设备的物理参数有关的设
2、备坐标系，如:图形显示器使用屏幕坐标系，绘图仪则使用绘图坐标系。设备坐标系的单位是像素或绘图笔的步长，一般取整数，且有固定的取值范围。,在屏幕坐标系下，值得注意的是坐标系中的y轴方向与一般笛卡尔坐标系y轴的方向正好相反，这种约定与光栅扫描的方式一致。此外，扫描零线与屏幕的顶部相对应，这在数学上是一个令人遗憾的选择。,(2)用户坐标系,用户坐标系也称世界坐标系,它是用户处理自己的图形时所采用的原始的坐标系，是应用程序中用于对预定显示对象的几何定义的坐标系。,通常使用的是以右手定则的直角坐标系(二维或三维)，坐标系的单位由用户自行确定，可以是毫米、英尺、米、公里等等，一般使用实数，取值范围并无限制
3、。用户常使用这个坐标系来描述图形数据。,用户坐标系与设备坐标系的转换,用户坐标系中的原始对象要经过坐标变换等处理后，才能变成显示于屏幕的图像,要把用户坐标系上的(x，y)变成设备坐标系上的相应坐标值(X，Y)，可用以下的公式进行坐标变换：,然后对X和Y取整即可。式中的 Xmax、Ymax分别是在设备坐标系中屏幕右下角的坐标值； xmax、ymax分别是在用户坐标系中屏幕的右上角的坐标值。,（31）,(3)规范坐标系NDC (Normalization Device Coordinate System),有时为了摆脱对具体物理设备的依赖，便于在不同应用和不同系统之间进行图形信息的交换，可以采用某
4、种中间坐标系，它将坐标值规定在某个范围内，如把坐标取值范围规定在0，1区间内，这样的坐标系称为规格化设备坐标系。以规范坐标系坐标表示的图形，在任何设备空间中都能处于相同的相对位置。,(4)窗口坐标系,在用户坐标系中的图形如果太复杂，很可能无法在屏幕上完整或清晰地显示整幅图形。为了满足研究和观察局部图形的要求，往往要用一个被称为窗口的矩形把要观察的部分框起来，而且屏幕上只显示矩形框内的内容。为了使程序员有效地使用窗口，每个窗口都是以其自己的坐标系为参照的。这一类坐标系称为窗口坐标系。,2、图形变换,2.1二维图形的几何变换点是构成几何形体的基本要素，在二维平面中，任何一个图形都可以认为是点之间的
5、连线构成的。对于一个图形作几何变换，实际上就是对一系列点进行变换。 将二维空间的任意点P（x, y)变换到一个新的位置P1（x1, y1）,其一般数学表达式为：,(3-2),将上式用矩阵表示，则有：,令：,并称之为变换矩阵。,变换矩阵也可以实现一组点的几何变换,如,（1）变换类型,1）比例变换当b=c=0,a、d0时，,称该变换为比例变换。,当b=c=0,a、d1时，为恒等变换； 当b=c=0,ad时，为位似变换； 当b=c=0,a、d1时，为放大变换； 当b=c=0,a、d1时，为缩小变换； 当b=c=0,ad时，为不等比例变换；,a)位似放大变换,b)不等比例放大变换,2）对称变换,对称变
6、换又称为镜像，指图形变换前后对称于某一特定直线(如坐标轴)或特定的点(如坐标原点)。,关于x轴的对称变换当x1=x，y1=-y时，为对x轴的对称变换，变换矩阵为,关于y轴的对称变换当x1=x，y1=-y时，为对x轴的对称变换，变换矩阵为,关于直线y=x的对称变换当x1=y，y1=x时，为对直线y=x的对称变换，变换矩阵为,关于坐标原点的对称变换当x1=为x，y1=-y时，为对x轴的对称变换，变换矩阵为,关于直线y=-x的对称变换当x1=-y，y1=-x时，为对直线y=-x的对称变换，变换矩阵为,3）错切变换,错切变换，指图形沿某轴方向的坐标发生变化，而与之垂直方向轴的坐标值不变，使图形产生特定
7、方向的变化。错切变换有沿x轴和沿y轴错切两种形式。,沿x轴的错切当沿x轴的错切时，有x1=xx，y1=y，对应的变换矩阵为,沿y轴的错切当沿y轴的错切时，有x1=x，y1=y y ，对应的变换矩阵为,注意：当沿坐标轴正向做错切时，b、c取正值，否则取负值。,4）旋转变换,旋转变换，指将平面上任意一点绕原点旋转角，一般规定逆时针方向为正，顺时针方向为负。如下图示可推出旋转变换矩阵,（2）齐次坐标,齐次坐标(Homogeneous Coordinate)技术是从几何学中发展起来的，随后在计算机图形学中得到了广泛应用。利用齐次坐标可以将平移、旋转、比例、投影等几何变换统一到矩阵的乘法上来，从而为图形
8、变换的计算机处理提供了方便。从广义上讲，齐次坐标就是用(n+1)维矢量表示n维矢量，即将n维空间的点用(n+1)维坐标表示。例如，一般笛卡尔坐标系中的二维点矢量x y可用齐次坐标表示为Hx Hy H,其中最后一维坐标是一个标量，称此为比例因子。因此只要给出某一点的齐次坐标X Y H,就可以求得其二维笛卡尔坐标，即,注意：在齐次坐标中当H0而X和Y不都为零时，齐次坐标可用来表示无穷远的点。而当齐次坐标中的元素均为零时没有意义。,（3）齐次坐标下的二维图形变换,采用齐次坐标技术可用一个统一的33矩阵来描述包括平移在内的全部二维图形变换，即,改变T中元素的取值就可得到不同的变换形式。,1)平移变换平
9、移变换使二维图形由原坐标位置平移到另一位置，图形自身形状和方位无变化。其变换矩阵为：,平移变换为,2)以原点为中心的旋转变换矩阵为：,其对应的旋转变换矩为：,3)以原点为中心的比例变换矩阵为：,以原点为中心的比例变换为：,4)错切变换矩阵为：,当b=0，c0时为沿x轴的错切；当b0 ，c=0时为沿y轴的错切,5)对称变换矩阵为：,当a=1、d=-1时，相对于x轴做对称变换； 当a=-1、d=1时，相对于y轴做对称变换； 当a=-1、d=-1时，相对于坐标原点做对称变换；,(4)二维变换矩阵的功能分块,（5）二维复合变换,在实际应用中，有时要对图形进行连续多次基本变换才能满足要求，这种由多个基本
10、变换组成的复杂变换称为复合变换(级联变换)。复合变换的基本原理是矩阵乘法的结合律，假设已知点P经过T1、 T2、 T3 3个几何变换，变换到新的位置P1，则P1=(PT1)T2)T3 运用矩阵结合律，可得到 P1=P(T1T2T3) 于是得组合变换的复合变换矩阵为 Tc=T1T2T3,由于矩阵相乘不满足交换率，因此，复合变换时，矩阵相乘是有顺序的，先变换的矩阵位于连乘式的左端，后变换的矩阵位于连乘式的右端。 但对于一些特殊的图形变换情况，两个变换矩阵相乘是可以交换顺序的。,也就是,2.2三维图形的几何变换,三维几 何变换,二维齐次坐标, x y 1 ,一、平移变换,平移变换使形体在三维空间产生
11、平移，但形状和大小不变。设形体在空间3个坐标轴方向上分别平移了tx、ty、tz,则其平移变换矩阵为,空间点P(x,y,z)平移变换到点P1(x1,y1,z1)的变换为,二、相对于原点的比例变换,设形体在空间3个坐标轴方向上变换的比例因子分别是sx、sy、sz,则其相对于坐标原点的比例变换矩阵为,空间点P(x,y,z)相对于坐标原点做比例变换到点P1(x1,y1,z1)的变换为,三、对称变换,四、相对坐标轴的旋转变换,三维空间的形体可在右手坐标系中描述，也可以在左手坐标系中描述。当采用右手坐标系时，旋转正方向规定为从旋转轴的正端向坐标原点看时的逆时针方向，如下图示。当形体不动坐标系旋转时，则方向
12、相反；而采用左手坐标系时，旋转角度正方向的规定与上述规定相反。,1）绕X轴的旋转变换,变换矩阵,变换过程,2）绕y轴的旋转变换,变换矩阵,变换过程,3）绕z轴的旋转变换,变换矩阵,变换过程,五、 错切变换,与二维类似，指图形沿X，Y，Z三个方向的错切变换，它是画斜轴侧图的基础。其变换矩阵的一般形式为,式中rij决定三维图形错切变换的形式，如下表示,6) 三维变换矩阵的功能分块,线性变换,透视变换,平移变换,整体比例因子,7) 三维图形的复合变换,a)相对空间任意点Pr的比例变换,（1）平移坐标系，使原点Pr重合,（2）以Pr点为中心进行比例变换,（3）移回坐标系,变换完成,变换公式推导,b)绕
13、过坐标原点任意轴的旋转变换 如下图所示，求过原点任意轴OA旋转角的三维旋转变换矩阵,绕X轴旋转角,绕坐标系Y轴旋转角,绕坐标系Z轴旋转角,绕Y轴旋转-角,绕坐标系X轴旋转- 角,因为显示器和绘图仪只能用二维空间来表示图形，要显示三维形体就要用投影方法来降低其维数。为了能对三维对象作透视投影，先要在三维空间给定一个投影平面和视点。从视点发出的所有通过对象的射线和投影平面的交点形成了对象的透视投影，如图3-11(a)所示，由于三维空间中直线的投影还是直线，只要找到直线段两个端点的投影，再把两个投影点连接起来，所得线段便是原来线段的投影。如果把视点移动到无穷远处，这时从视点发出的通过三维形体的射线成
14、为平行线，工程上称这种投影为平行投影。如图3-11(b)为形体的平行投影。,2.3三维形体的投影变换,(1)投影变换的概念,1)投影变换的原理投影是用一组假想光线将空间形体投射到投影面上而得到的平面图形，三维物体变换成二维图形表示的过程称为投影变换。如图3-11所示，从投影中心到物体上某点的连线(或延长线)与一平面的交点，就是该点在这个平面上的投影点，这个线称为投影线，这个平面称为投影平面。一个物体的所有投影点集合就是它在此投影面上的二维投影图形，简称投影。,图3-11 透视投影与平行投影,2)投影变换的分类投影变换的分类下图所示。各类投影各有不同的特点和用途。,透视投影透视投影中心到投影面的
15、距离有限，形成人们视觉习惯上有立体透视效果的投影，即透视投影。透视投影真实感强，用于计算机绘图软件中可生成以假乱真的虚拟现实场景。投影面直接影响立体透视效果，改变投影面与坐标轴的相对位置可生成三种不同的透视投影图。 a)一点透视：投影面与一个坐标轴正交，与另两个平行； b)二点透视：投影面与两个坐标轴相交，与另一个平行； c)三点透视：投影面与三个坐标轴都相交。,平行投影投影中心与投影面之间的距离无穷大时，透视投影演变成平行投影。平行投影图中各坐标轴尺寸有相对固定的比例关系，便于从图形上直接测算其大小，适合于绘制工程施工图和零件加工图或装配图。投影面与坐标轴相对位置改变可生成各种不同的平行投影
16、图。 a)正平行投影：投影方向垂直于投影面，它分为正投影和正轴侧投影。 正投影：投影面垂直于用户坐标系中某一个坐标轴。通常工程视图中的主视图、俯视图、左视图就是正投影。 正轴侧投影：投影面与用户坐标系3个坐标轴均不垂直。它分为：正等测、正二测和正三测。 a)斜平行投影：投影方向与投影面不垂直。,（2）平行投影,1）三面正投影变换机械设计通常都是采用国家标准规定的三视图来表达零件的形状。将空间三维实体通过矩阵变换而获得三视图（即主视图、俯视图和左视图）的绘图信息，这种变换称之为三面投影变换（或正投影变换）。下面讨论三视图的投影变换。物体与3个投影平面（H、V和W）相对位置关系如下图所示：,主视图变换矩阵 三维空间点的齐次坐标是（x,y,z,1），若令其中的y=0，显然就是该点在V面上的投影。因此令变换矩阵的第二列元素全为零，即得到物体对V面的投影变换矩阵（主视图变换矩阵）,
