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1、Chapter 3,离散系统的时域分析,Time-Domain Analysis of Discrete Systems,page2,第三章 离散系统的时域分析,本章将研究LTI离散系统的时域分析方法。离散 系统分析与连续系统分析在很多方面都是类似的。例 如：连续系统用微分方程描述，离散系统用差分方程 描述；在连续系统中，卷积积分具有重要意义。在离 散系统中，卷积和具有同等重要的地位；在连续系统 中，阶跃响应和单位冲激响应可用于描述系统的特性。 在离散系统中，阶跃响应和单位序列响应作用相当。,但也要注意二种系统之间也存在很多重要差异。,page3,第三章 离散系统的时域分析,$3.1 LTI离
2、散系统的响应（差分和差分方程的定义 经典解 零输入响应和零状态响应）,$3.2 单位序列与单位序列响应（单位序列和阶跃序列定义 单位序列响应和阶跃响应的定义、求解过程及二者关系）,page4,3.1 LTI离散系统的响应,3.1 LTI离散系统的响应,一. 差分与差分方程,1. 一阶差分的定义及序列求和运算,设有序列 ，则称为 的移位序列。,一阶前向差分：,一阶后向差分：,二者间关系：,序列求和运算：,微分,积分,page5,3.1 LTI离散系统的响应,2. 差分具有线性性质,差分具有线性性质，可证明如下：,由差分的定义，若有序列 和常数 ，则有,page6,3.1 LTI离散系统的响应,3
3、. 二阶及更高阶差分的定义（以后向差分为例）,其中， ，为组合数。（自己下去推导）,page7,3.1 LTI离散系统的响应,4. 差分方程,差分方程是包括关于未知序列 及其各阶差 分以及已知序列 及其各阶差分的方程式。它的 一般形式可写为：,由于各阶差分均可写成 或 及其移位序列 的线性组合形式，所以通常所说的差分方程是指：,page8,3.1 LTI离散系统的响应,5. 线性常系数差分方程,如果 和 及其它们的各次移位序列均为 一次式， 就称其为线性的。,如果 和 及其它们各次移位序列的系数 均为常数，就称其为常系数差分方程。,例如：,描述LTI离散系统的都是线性常系数差分方程。,差分方程
4、是具有递推关系的代数方程，若已知初 始条件和激励，利用迭代法可求得差分方程的数值解。,page9,3.1 LTI离散系统的响应,例3.1-1 若描述某离散系统的差分方程为已知初始条件 , 激励 , 求 。,解：,对于 ，将初始条件 代入，得：,类似地，依次迭代可得：,page10,3.1 LTI离散系统的响应,二. 差分方程的经典解,线性常系数差分方程的一般形式是：,或缩写为：,其中， 和 为常数， 。,page11,3.1 LTI离散系统的响应,特征根：特征方程 的根。,不同类型的特征根所对应齐次解的形式不同，可通过 查表的方法得到。,page12,3.1 LTI离散系统的响应,不同特征根所
5、对应齐次解的形式（教材P87 表3-1）,或,其中,page13,3.1 LTI离散系统的响应,特解 的形式与激励函数的形式有关。(教材P87 表3-2),等于 重根,不等于特征根,等于特征根,或,其中,所有的特征根,均不等于,所有特征根均不为1,r重等于1的特征根,page14,3.1 LTI离散系统的响应,选定特解的形式后，将它代回到原差分方程，可求出各待定系数，从而可求出特解 。,明确求出特解后，可将方程的全解表示为齐次解和特解 之和。(假设：特征根均为单根),page15,3.1 LTI离散系统的响应,例3.1-2 若描述某离散系统的差分方程为已知初始条件 , 激励 , 求 。,解：首
6、先求齐次解。,特征方程为：,再求特解。查表得：,将 、 、 代入到原方程，可得：,page16,3.1 LTI离散系统的响应,差分方程的全解：,page17,3.1 LTI离散系统的响应,例3.1-3 若描述某离散系统的差分方程为已知初始条件 , 激励为有始的周期序列, 求其全解。,再求特解。,根据 计算 、 ：,page18,3.1 LTI离散系统的响应,（cos和sin的位 置，书上反了）,将 、 、 代入到原方程，整理后得：,page19,3.1 LTI离散系统的响应,将 、 、 代入到原方程，整理后得：,（cos和sin的位 置，书上反了）,page20,3.1 LTI离散系统的响应,
7、差分方程的全解：,page21,3.1 LTI离散系统的响应,三. 零输入响应和零状态响应,全响应也可分解为零输入响应与零状态响应之和。,page22,3.1 LTI离散系统的响应,全响应既可分解为自由响应与强迫响应之和，也可分 解为零输入响应与零状态响应之和。它们的关系为：,自由 响应,强迫 响应,零输入响应,零状态响应,page23,例3.1-4, 5 描述某离散系统的差分方程为,已知 ， , 求 和 。,3.1 LTI离散系统的响应,利用递推关系，可得 和 ：,解： 应满足：,page24,3.1 LTI离散系统的响应,代入初始条件 ，可得：,page25,3.1 LTI离散系统的响应,
8、应满足：,利用递推关系，可得 和 ：,【 】,page26,3.1 LTI离散系统的响应,将 代入得：,page27,3.1 LTI离散系统的响应,若前例中给出的初始条件为 ， 如何求解 ？,思考：,前例第步，以及,page28,3.2 单位序列和单位序列响应,3.2 单位序列和单位序列响应,一. 单位序列和单位阶跃序列,1. 单位(冲激)序列的定义,定义：,移位：,取样性质：,page29,2. 单位阶跃序列的定义,定义：,移位：,3.2 单位序列和单位序列响应,注意：,或无意义,【分 和 讨论】,page30,有了单位阶跃序列和单位序列后，可简化序列的表示。,如：,可表示为：,3.2 单位
9、序列和单位序列响应,page31,二. 单位序列响应和阶跃响应,1. 单位序列响应,当LTI离散系统的激励为单位序列 时，系统 的零状态响应称为单位序列响应，用 表示。,3.2 单位序列和单位序列响应,由于单位序列 仅在 处等于1，而在 时为零，因而在 时，系统的单位序列响应具有齐 次解的形式，而在 处的值可按零状态的初始条件 由差分方程递推确定【由 的值去 确定 】。,page32,例3.2-1 求如图所示离散系统的单位序列响应 。,解：(1) 列写差分方程，求初值,3.2 单位序列和单位序列响应,page33,(2) 求,特征方程为：,3.2 单位序列和单位序列响应,page34,例3.2
10、-2 求如图所示离散系统的单位序列响应 。,解：(1) 列写差分方程,3.2 单位序列和单位序列响应,page35,(2) 求,设系统 的单位序列 响应为 ，则有：,根据前例所得的结果，有：,3.2 单位序列和单位序列响应,page36,3.2 单位序列和单位序列响应,2. 阶跃响应,当LTI离散系统的激励为单位阶跃序列 时， 系统的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应， 用 表示。,page37,3.2 单位序列和单位序列响应,例3.2-3 求例3.2-1中离散系统的阶跃响应 。,解：(1) 经典法,page38,3.2 单位序列和单位序列响应,阶跃响应满足：,page39,3.2 单位
11、序列和单位序列响应,(2) 利用 计算,【利用等比数列 的求和公式；教 材P100】,page40,3.3 卷积和,一. 卷积和的定义,对于一个LTI离散系统，假设已求得它的单位序 列响应为 。对于任意输入 ，如何求得它的零 状态响应 ？,对任意输入 , 只要设法用单位序列及其移位 序列的组合来表示，那么就可利用 来表示 。,3.3 卷积和,page41,3.3 卷积和,任意离散序列 可表示为：,*,page42,3.3 卷积和,上式表明，LTI离散系统对于任意激励 的 零状态响应是激励与单位序列响应 的卷积和。,若 为因果序列：,若 为因果序列：,若二者皆为因果序列：,page43,3.3 卷积和,例3.3-1 如 ， ，,，求：(1) (2) 。,解：(1),【教材P100】,page44,3.3 卷积和,例3.3-1 如 ， ，,，求：(1) (2) 。,解：(1),(2),【教材P100】,page45,3.3 卷积和,例3.3-1 如 ， ，,，求：(1) (2) 。,解：(1),(2),
