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1、矩阵 凡物皆数千古传，数系几度被拓展. 矩阵代数为哪般？莫过集成数与算. 加减数乘尚简单，矩阵乘法非等闲. 深究子式可得秩，初等变换不变量.,线性方程组欲解线性方程组，需知初等行变换. 矩阵化至最简形，字里行间有答案.,4-1 向量组及其线性组合,线性代数,定义1,分量全为复数的向量称为复向量.,分量全为实数的向量称为实向量，,一、 维向量的概念,例如,二、 维向量的表示方法,维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用 等表示，如：,维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用 等表示，如：,注意,行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量；,行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进
2、行运算；,当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.,如果我们还需要考察其它指标， 比如平均成绩、总学分等，维数还将增加,思考题解答,答 36维的,向量的相等,零向量,分量全为0的向量称为零向量,若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组,例如,三、向量、向量组与矩阵,向量组 , , ， 称为矩阵A的行向量组,反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.,线性方程组的向量表示,方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应,定义,线性组合,向量 能 由向量组 线性表示,定理1,定义,从而,4-2 向量组的线性相关性,线性代数,定义,则称向量组 是线性相关的，否则称它
3、线性无关,不妨设 则有,即 能由其余向量线性表示.,证,4-3 向量组的秩,线性代数,一、最大线性无关向量组,二、矩阵与向量组秩的关系,事实上,三、矩阵秩的相关结论,4-4 线性方程组解的结构,线性代数,设有齐次线性方程组,（1）,一、齐次线性方程组解的性质,则上述方程组（1）可写成方程,记,齐次线性方程组解的性质,证明,（2）若 为 的解， 为实数，则也是 的解,证明,基础解系的定义,二、基础解系及其求法,线性方程组基础解系的求法,解,对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩 阵，有,例2 解线性方程组,解,对系数矩阵施 行初等行变换,所以原方程组的一个基础解系为,故原方程组的通解为,例4,证
4、,三、非齐次线性方程组解的性质,证明,非齐次线性方程组解的性质,证明,证毕,其中 为对应齐次线性方程 组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特 解.,非齐次线性方程组的通解,非齐次线性方程组Ax=b的通解为,例6 求解方程组,解,第五节 向量空间,线性代数,说明,2 维向量的集合是一个向量空间,记作 .,一、向量空间的概念,定义1 设 为 维向量的集合，如果集合 非空， 且集合 对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称 集合 为向量空间,1集合 对于加法及数乘两种运算封闭指,例2 判别下列集合是否为向量空间.,解,解,试判断集合是否为向量空间.,定义2 设有向量空间 及 ，若向量空间 ， 就说 是 的子空间,实例,二、子空间,设 是由 维向量所组成的向量空间，,三、向量空间的基与维数,定义3 设 是向量空间，如果 个向量 ，且满足,（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基,说明,（3）若向量组 是向量空间 的一 个基，则 可表示为,（2）若把向量空间 看作向量组，那么 的基 就是向量组的最大无关组, 的维数就是向量组的 秩.,四、过渡矩阵,
