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1、第 1 页 共 11 页三角形四心的一种向量表示三角形四心的一种向量表示几个记法：在ABC 中，O 是其内部（不包括边界）一点，连结 AO 并延长交 BC 于 D，连结 BO 并延长交 CA 于 E，连结 CO 并延长交 AB 于 F。记：，；ABAFtFB BCBDtDC CACEtEA ，；ACAEtEC CBCDtDB ACAEtEC 且有：1ABBAACCABCCBtttttt记：，AAOADBBOBE CCOCF 引理引理 1.线段的定比分点的向量关系式线段的定比分点的向量关系式（1）(1.1.1)；1 11BCBCBCtADABACtt ；(1.1.2)1 11CACACAtBEB
2、CBAtt 。(1.1.3)1 11ABABABtCFCACBtt （2）若）若，则有：ABAFAB BCBDBC CACECA (1.2.1)；(1)BCBCADABAC ；(1.2.2)(1)CACABEBCBA 。(1.2.3)(1)ABABCFCACB 证明：只证明（1.1.1） ，其它同理。BCBDtDC FD ECABO图 1第 2 页 共 11 页则有1BCBCtBDBCt 1()11 11BCBCBCBCBCBCBCADABBDtABBCttABACABttABACtt 引理引理 2.2.(2.1.1)11ACABABACABACttAOABACtttt (2.1.2)1ABA
3、C A ABACtt tt(2.2.1)11BCBABCBABCBAttBOBCBAtttt (2.2.2)1BCBA B BCBAtt tt(2.3.1)11CACBCACBCACBttCOCACBtttt (2.3.2)1CACB C CACBtt tt且有且有(2.4)2ABC证明：点 B、O、E 共线，且BBOBE 第 3 页 共 11 页(1)(1)1AC BBBB ACtAOABAEABACt 同理，点 C、O、F 共线，且CCOCF (1)(1)(1)11ABAB CCCCCC ABABttAOACAFACABABACtt ，解得：1111AB BC ABAC BC ACt tt
4、 t 1 11 1AC B ABACAB C ABACt ttt tt代入得：11(1)111ACACACABACABACACtttAOABACttttt 11ACABABACABACttABACtttt 又由引理 1：1 11BCBCBCtADABACtt 共线得：AOAD与1(1) 11 1ABABACABBC A ABACBCt tttt tt t 由塞瓦定理得：代入上式得：1AC BC CAABABttttt1ABAC A ABACtt tt由得112111ABACACAB ABC ABACABACABACtttt tttttt式(2.2.1)、(2.2.2)、(2.3.1)、(2.3
5、.2)可同理证明。第 4 页 共 11 页定理定理 1. 若若 O 是三角形是三角形 ABC 的重心，则的重心，则，且，且.11 33AOABAC 2 3AOAD当 O 为三角形 ABC 的重心时，有，代入引理 2 可得。1ABACtt定理定理 2. 若若 O 是三角形是三角形 ABC 的内心，则的内心，则，bcAOABACabcabc 且且.bcAOADabc当 O 为三角形 ABC 的内心时，内三角形的内角平分线定理，有，代入,ABACbcttaa引理 2 可得。 定理定理 3. 若若 O 是三角形是三角形 ABC 的垂心，则：的垂心，则： .(3.1)cot(cotcot)AOAC AB
6、B AC 且且.cos sinsinAAOADBC证明： 当三角形不为直角三角形时O 为三角形 ABC 的垂心时，有：，代入引理 2 有：coscos,coscosABACbAcAttaBaC=coscos coscos coscoscoscos11coscoscoscosbAcA aBaCAOABACbAcAbAcA aBaCaBaC coscoscoscos coscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscosbACcABABACaBCbACcABaBCbACcAB 再由正弦定理得：2 sin,2 sin,2 sinaRA bRB cRc代入上式，分子、分母同除以 2R
7、sinAsinBsinC，可得：。cotcotcotcotAOAC ABAB AC 把，代入引理 2 整理得：coscos,coscosABACbAcAttaBaCcos sinsinAAOADBC若三角形为直角三角形，第 5 页 共 11 页当 A 为直角时，ABC 的垂心即为点 A，所以，而 cotA=0，故（3.1）成立0AO 当 B 为直角时，ABC 的垂心即为点 B，cotB=0， （3.1）成立；AOAB 当 C 为直角时，ABC 的垂心即为点 C，cotC=0， （3.1）成立。AOAC引理引理 3.0ABACOAtOBtOC 证明：由引理 2：11ACABABACABACttO
8、AABACtttt 11BCBABCBABCBAttOBBCBAtttt =()11BCBABCBABCBAttACABABtttt =()11BABCBCBCBABCBAtttABACtttt 由前边的记法及由塞瓦定理得：，代入上式得：1 BA ABtt1AC BC CA ABABttt tt1 11ACACABACABACttOBABACtttt 同理：1 11ABABABACABACttOCABACtttt 由平面向量的基本定理，可设OAxOByOC 第 6 页 共 11 页于是有：1 1111 111ACABABABACABACABACACACABABACABACABACtttxytt
9、tttttttxytttttt 即：解得：(1)(1)ABACABACACABtxty ttx tyt ABACxtyt 0ABACOAtOBtOC 定理定理 4. O 是三角形是三角形 ABC 的重心的充要条件是：的重心的充要条件是：。0OAOBOC 证明：必要性：若 O 是ABC 的重心，则，由引理 3 得1ABACtt0OAOBOC 充分性：由得：（其中 F 是 AB 的中点）0OAOBOC 2OAOBOFOC 点 O、C、F 共线，即点 O 在中线 CF 上； 同理，点 O 在中线 AD、BE 上，O 为ABC 的重心。定理定理 5. O 是三角形是三角形 ABC 的内心的充要条件是：
10、的内心的充要条件是：(其中其中0a OAb OBc OC a、b、c 分别是角分别是角 A、B、C 的对边的对边)。 证明：必要性：O 是三角形 ABC 的内心，由内角平分线定理，,ABACbcttaa由引理 3 得：0bcOAOBOCaa 即：0a OAb OBc OC 充分性：由0a OAb OBc OC 变形得：()()0a OAbOAABcOAAC 第 7 页 共 11 页()()|ABACabcAOb ABc ACbcABAC 由向量加法的平行四边形法则，点 O 在角 A 的平分线上； 同理，点 O 在角 B 和角 C 的平分线上， 点 O 是ABC 的内心。 定理定理 6. O 是
11、三角形是三角形 ABC 的垂心的充要条件是：的垂心的充要条件是：。 （6.1）tantantan0A OAB OBC OC 注：当三角形不为直角三角形时成立。若三角形为直角三角形，可把结论改为：注：当三角形不为直角三角形时成立。若三角形为直角三角形，可把结论改为：=。(6.2)sincoscoscossincoscoscossinABCOAABCOBABCOC 0事实上，此时，垂心为直角三角形的直角顶点。事实上，此时，垂心为直角三角形的直角顶点。 证明：必要性： 当三角形不为直角三角形时O 是三角形 ABC 的垂心，coscos,coscosABACbAcAttaBaC由引理 3 可得coscos0coscosbAcAOAOBOCaBaC 即：coscoscoscoscoscos0aBCOAbACOBcABOC 再由正弦定理得：2 sin,2 sin,2 sinaRA bRB cRc代入上式，然后两边同除以 2RcosAcosBcosC得：tantantan0A OAB OBC OC 当三角形为直角三角形时，经验证，(6.2)成立。 充分性： 若三角形不为直角三角形由tantantan0A OAB OBC OC 变形得：(tantantan)tanta
