[工学]材料力学

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1、,第二章 轴向拉伸和压缩,材料力学,21 轴向拉压的概念及实例 22 内力、截面法、轴力及轴力图 23 应力 拉（压）杆内的应力 2-4 拉（压）杆的变形 弹性定律（胡克定律） 2-5 拉（压）杆的应变能 2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性能 2-7 强度条件安全因数 许可应力,拉压,一、工程实例,21 轴向拉伸及压缩的概念,悬臂吊车中的位杆；,曲柄连杆机构中的连杆等；,起吊重物的钢索；,房屋建筑物中的柱；,千斤顶的螺杆;,桁架中的杆件；,拉压,拉压,拉压,拉压,轴向压缩，对应的力称为压力。,轴向拉伸，对应的力称为拉力。,力学模型如图,拉压,外力特点：,二、概念,变形特点：,外力的合力作用线与

2、杆的轴线重合。,杆的变形主要是轴向尺寸发生较为显著的变化。,拉压,一、内力,22 内力 截面法 轴力及轴力图,物体因受外力而变形，其内部各部分之间因其相对位置的 改变而产生的相互作用。,在材料力学中， 内力主要是指：杆件 横截面上的分布力系 向截面形心简化后所 得的力和力偶。,六个分量：轴力N；剪力Q（）；扭矩T；弯矩M（）。,拉压,二、截面法,利用静平衡方程求内力,用截面法取研究对象,受力分析,拉压,2. 轴力轴向拉压杆的内力，用N 表示。,例如： 截面法求N。,反映出轴力与截面位置变化关系，较直观； 确定出最大轴力的数值 及其所在横截面的位置， 即确定危险截面位置，为 强度计算提供依据。,

3、拉压,三、 轴力图 N (x) 的图象表示。,3. 轴力的正负规定:,N 与外法线同向,为正轴力(拉力),N与外法线反向,为负轴力(压力),N,x,P,意义,拉压,例2-1 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。,解： 求OA段内力N1：设置截面如图,拉压,同理，求得AB、BC、CD段内力分别为：,N2= 3P，N3= 5P， N4= P,D,PD,N,x,2P,3P,5P,P,拉压,2P,3P,5P,P,N 图（kN）,拉压,轴力(图)的简便求法： 自左向右:,轴力图的特点：突变值 = 集中载荷,遇到向左的P， 轴力N 增量为正； 遇

4、到向右的P ， 轴力N 增量为负。,3kN,5kN,8kN,拉压,一、应力的概念,23 应力 拉（压）杆内的应力,构件强度的大小不仅与内力的大小有关，而且还与杆件的截面尺寸有关。,1. 定义：由外力引起的内力集度(作用于物体内一点的力)。,拉压,平均应力：,全应力（总应力）：,2. 应力的概念,正应力和剪应力,拉压,应力的单位是：帕 Pa,兆帕 MPa,千兆帕 GPa,千帕 Pa,拉压,变形前,1. 变形规律试验及平面假设：,平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。纵向纤维变形相同。,受载后,二、拉（压）杆横截面上的应力,拉压,均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。,2. 拉伸应力：,轴力

5、引起的正应力 ： 在横截面上均匀分布。,危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。 危险点：应力最大的点。,3. 危险截面及最大工作应力：,拉压,直杆、杆的截面无突变、截面到载荷作用点有一定 的距离。,4. 公式的应用条件：,6. 应力集中（Stress Concentration）：,在截面尺寸突变处，应力急剧变大。,5. Saint-Venant (圣维南）原理：,离开载荷作用处一定距离，应力分布与大小不受外载荷作用方式的影响。,拉压,Saint-Venant原理与应力集中示意图,(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。),变形示意图：,应力分布示意图：,拉压,例2-2阶梯

6、形杆各段直径分别为：,，求杆中的 最大工作应力。,解：作内 力图，求各段 的内力。,N 图(kN),AB段内的最大工作应力为：,拉压,同理可分别求得BC段和CD段的应力为：,比较所求各应力，可知最大工作应力发生在CD段。,拉压,例2-3 三铰屋架的主要尺寸如图，承受长度l=9.3m的竖向均布载荷，载荷的分布集度为q =4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径 d =16 mm，求其横载面上的应力。,钢拉杆,1.42m,A,C,B,q,拉压, 整体平衡求支反力,解：,钢拉杆,8.5m,1.42m,C,B,A,拉压,应力：, 局部平衡求 轴力：,C,A,拉压,三、拉(压)杆斜截面上的应力,设有一等直杆受

7、拉力P作用。 求：斜截面k-k上的应力。,解：采用截面法 由平衡方程：Pa=P,则：,Aa：斜截面面积；Pa：斜截面上内力。,由几何关系：,代入上式，得：,斜截面上全应力：,拉压,斜截面上全应力：,Pa,分解：,反映：通过构件上一点不同截面上应力变化情况。,当 = 90时，,当 = 0, 90时，,例2-4 直径为d =1 cm 杆受拉力P =10 kN的作用，试求最大剪应力，并求与横截面夹角30的斜截面上的正应力和剪应力。,解：拉压杆斜截面上的应力，直接由公式求之：,拉压,1、杆的纵向总变形：,2、杆的横向线应变：单位长度的线变形。,一、拉压杆的变形及应变,24 拉压杆的变形 弹性定律（胡克

8、定律）,拉压,4、x点处的横向线应变：,3、杆的横向变形：,拉压,L1,5、泊松比（或横向变形系数）,材料常数之一，无量纲，由实验测定。,二、拉压杆的弹性定律（胡克定律）,内力在n段中分别为常量时,“EA”称为杆的抗拉(压)刚度。,拉压,实验证实：,或,这里的E也是一个材料常数，叫做弹性模量，其单位与应 力的单位相同。一般用Mpa（兆帕）。,这个应力应变关系被称作弹性定律又称为胡克定律。,杆件的变形为：,拉压,例2-5阶梯形杆各段直径分别为：,，求(1)各段 的纵向线应变； (2)全杆的纵向变 形；(3)各段直径 的改变。材料的,N 图(kN),解：作内力图， 求各段的内力。,拉压,同理可分别

9、求得BC段和CD段的应力为：,AB段内的最大工作应力为：,(1)由胡克定律,可求得各段的纵向线应变分别为：,拉压,(2)对阶梯轴，应根据,求总变形。,(3)由,可直接求各段直径的改变。,1、怎样画小变形放大图？,变形图严格画法，图中弧线；,求各杆的变形量Li ，如图；,变形图近似画法，图中弧之切线。,例2-6 小变形放大图与位移的求法。,拉压,拉压,拉压,C,25 拉压杆内的应变能,一、弹性应变能：杆件发生弹性变形，外力功转变为变形能贮存 于杆内，这种能称为应变能（Strain Energy）用“U”表示。,二、 拉压杆的应变能计算： 不计能量损耗时，外力功等于应变能。,内力为分 段常量时,拉

10、压,三、 拉压杆的比能 u： 单位体积内的应变能。,拉压,解：方法2：能量法：（外力功等于变形能）（1）求钢索内力：以ABD为对象：,拉压,例2-7 设横梁ABCD为刚梁，横截面面积为 76.36mm 的钢索绕过无摩擦的定滑轮。设 P=20kN，试求刚索的应力和 C点的垂直位移。设刚索的 E =177GPa。,（2) 钢索的应力为：,（3) C点位移为：,拉压,能量法：利用应变能的概念解决与结构物或构件的弹性变形有关的问题，这种方法称为能量法。,26 材料在拉伸和压缩时的力学性能,一、试验条件及试验仪器,1、试验条件：常温(20)；静载（及其缓慢地加载）； 标准试件。,拉压,力学性能：材料在外

11、力作用下表现的有关强度、变形方面的特性。,2、试验仪器：万能材料试验机；变形仪（常用引伸仪）。,拉压,二、低碳钢试件的拉伸图(P- L图),三、低碳钢试件的应力-应变曲线( - 图),拉压,(一) 低碳钢拉伸的弹性阶段 (oe段),1、op - 比例段: p - 比例极限,2、pe -曲线段: e - 弹性极限,拉压,(二) 低碳钢拉伸的屈服(流动）阶段 (es 段),e s -屈服段: s -屈服极限,滑移线：,塑性材料的失效应力:s 。,拉压,、卸载定律：,、-强度极限,、冷作硬化：,、冷拉时效：,(三)、低碳钢拉伸的强化阶段 ( 段),拉压,1、延伸率:,2、面缩率：,3、脆性、塑性及相

12、对性,(四)、低碳钢拉伸的颈缩（断裂）阶段 (b f 段),拉压,四、无明显屈服现象的塑性材料,0.2,s 0.2,名义屈服应力: 0.2 ，即此类材料的失效应力。,五、铸铁拉伸时的机械性能,L -铸铁拉伸强度极限（失效应力）,拉压,六、材料压缩时的机械性能,y -铸铁压缩强度极限； y （4 6） L,拉压,解：变形量可能已超出了“线弹性”范围，故，不可再应用“弹性定律”。应如下计算：,例2-8 铜丝直径d=2mm，长L=500mm， 材料的拉伸曲线如图 所示。如欲使铜丝的伸长为30mm， 则大约需加多大的力P？,由拉伸图知：,拉压,s,(MPa),e,(%),拉压,1. 拉（压）杆的强度条

13、件（强度准则）（Strength Design）：,其中：-许用应力， max-危险点的最大工作应力。,设计截面尺寸：,依强度准则可进行三种强度计算：,保证构件不发生强度破坏并有一定安全余量的条件准则。,校核强度：,许可载荷：,27强度条件 安全因数 许用应力,1. 安全系数、许用应力、极限应力,n,拉压,1、许用应力：,2、极限应力：,3、安全系数：,拉压,例2-9 三铰屋架的主要尺寸如图，承受长度l=9.3m的竖向均布载荷，载荷的分布集度为q =4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径 d =16 mm， ，试校核拉杆的强度。,钢拉杆,1.42m,A,C,B,q,由例2-3已经求得 所以强度校核： 满足强度要求，故拉杆的强度是安全的,例2-10 简易起重设备如图，杆AC 由两根80mm80mm 7mm等边角钢 组成，杆AB由两根10号工字钢组成。 材料Q235钢的许用应力=170MPa。 试求许可荷载F。 解：1）求杆AB和杆AC的轴力： 由结点A的平衡方程：,解得：,2）计算各杆的许可轴力。由型钢表可以查得：杆AC和AB的横截面的面积 分别为：,由强度条件：,可以求得许可轴力为：,（1）,（2）,（3）,3）将（2）和（3）分别代入（1）可以求得：,所以该结构的许可载荷应取F=184.6kN,如果考虑了压杆的稳定性，这一许可载荷还会小,本章结束,