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1、高考数学中的内切球和外接球问题高考数学中的内切球和外接球问题一、直接法一、直接法(公式法公式法)1、求正方体的外接球的有关问题 例例 1 若棱长为若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_ .27.例例 2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为，则该球的体积为_. 4 3.2、求长方体的外接球的有关问题 例例 3 （2007 年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一
2、个顶点上的三条棱长分别为顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为，则此球的表面积为 .14.例例 4、 （2006 年全国卷年全国卷 I）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体，体 积为积为 16，则这个球的表面积为（，则这个球的表面积为（ ）. C.A. 16 B. 20 C. 24 D. 323.求多面体的外接球的有关问题 例例 5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为
3、，底面周长为，则这个球的，底面周长为，则这个球的9 8体积为体积为 .解 设正六棱柱的底面边长为，高为，则有xh正六棱柱的底面圆的半径，球心到底面263,1,2936,384xxx hh1 2r 的距离.外接球的半径3 2d 221Rrd4 3V球二、构造法二、构造法(补形法补形法)1、构造正方体 例例 5 （2008 年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是，则其外接球的表面积是_.9解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，把这个三棱锥可以补成一个棱长为的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接
4、球.设其外3接球的半径为，则有.故其外R 222223339R29 4R 接球的表面积.249SR小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的abc、 长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为，则有R.出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。2222Rabc【例题例题】：在四面体：在四面体中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。解：因为：长方体外接球的直径为长方体
5、的体对角线长所以：四面体外接球的直径为的长即： 所以球的表面积为例例 6.一个四面体的所有棱长都为一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（表面积为（ ）A. 3 B. 4 C. 3 3 D. 6解析：一般解法，需设出球心，作出高线，构造直角三角形，再计算球的 半径.在此，由于所有棱长都相等，我们联想只有正方体中有这么多相等的线段， 所以构造一个正方体，再寻找棱长相等的四面体，四面体ABDE满足条件，即AB=AD=AE=BD=DE2BE，由此可求得正方体的棱长为 1，体对角线为3，从而外接球的直径也为3，所以此球的表面积便可求得，故选
6、A.例例 7在等腰梯形在等腰梯形ABCD中，中，AB=2DC=2，0DAB=60，E为为AB的中点，的中点，将将ADE与与BEC分布沿分布沿ED、EC向上折起，使向上折起，使AB、重合于点重合于点P，则三棱，则三棱锥锥P-DCE的外接球的体积为（的外接球的体积为（ ）.A. 4 3 27B. 6 2C. 6 8D. 6 24解析： 因为AE=EB=DC=1，0DAB= CBE= DEA=60，所以AE=EB=BC=DC=DE=CE=1AD ，即三棱锥P-DCE为正四面体，至此， 这与例 6 就完全相同了，故选 C.例例 8 .已知球已知球O的面上四点的面上四点A、B、C、D，DAABC 平面，
7、ABBC，DA=AB=BC= 3，则球，则球O的体积等于的体积等于 .解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于DAABC 平面，ABBC，联想长方体中的相应线段关系，构造长方体，又因为DA=AB=BC= 3，则此长方体为正方体，所以CD长即为外接球的直径，利用直角三角形解出CD=3.故球O的体积等于9 2 .2、构造长方体例例 9.已知点已知点 A、B、C、D 在同一个球面上，在同一个球面上，BBCDA 平面，BCDC，若，若6,AC=2 13,AD=8AB ，则球的体积是，则球的体积是 .解析：首先可联想到例 8，构造下面的长方体，于
8、是AD为球的直径，O 为球心，OB=OC=4为半径，要求 B、C 两点间的球面距离，只要求出BOC即可，在Rt ABC中，求出=4BC，所以0C=60BO，故 B、C 两点间的球面距离是4 3 .三三.多面体几何性质法多面体几何性质法例例 1 0.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4，体积为，体积为 16，则这，则这 个球的表面积是个球的表面积是A. B. C. D.16202432解 设正四棱柱的底面边长为，外接球的半径为，则有，解xR2416x 得.2x .这个球的表面积是22222242 6,6RR .选 C.小结 本题是运用“正四棱柱
9、的体对角线的长等于其外接球2424R的直径”这一性质来求解的.四四.寻求轴截面圆半径法寻求轴截面圆半径法例例 11.正四棱锥正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为的底面边长和各侧棱长都为，点，点SABCD2都在同一球面上，则此球的体积为都在同一球面上，则此球的体积为 .SABCD、解 设正四棱锥的底面中心为，外接球的球心为，如图 11OO所示.由球的截面的性质，可得.1OOABCD 平面又，球心必在所在的直线上.1SOABCD 平面O1SO的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球ASC的半径.在中，由，得.ASC22SASCAC，222SASCAC.是外接圆的半径，也是外接球的半径.
10、ASCAC是以为斜边的R t12AC故.4 3V球五五 .确定球心位置法确定球心位置法例例 11.在矩形在矩形中，中，沿，沿将矩形将矩形折成一个折成一个ABCD4,3ABBCACABCD直二面角直二面角，则四面体，则四面体的外接球的体积为的外接球的体积为 BACDABCDA. B. C. D.125 12125 9125 6125 3解 设矩形对角线的交点为，则由矩形对角线互相平分，可知O.点到四面体的四个顶点的距离相等，OAOBOCODOABCD、即点为四面体的外接球的球心，外接球的半径.故O5 2ROA.选 C.34125 36VR球【例题例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球：已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，的球面上，且且，,求球求球的体积。的体积。解：且，, 因为 所以知所以 所以可得图形为：在中斜边为,在中斜边为,取斜边的中点，在中,在中所以在几何体中，即为该四面体的外接球的球心, ,所以该外接球的体积为CDABSO1图 3
