《专题12 换元法及其应用(选讲)(朱占奎)1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题12 换元法及其应用(选讲)(朱占奎)1（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题 12 换元法及其应用（选讲） 换元法就是在一个比较复杂的式子中，根据式子的特征，把式中的某一部分看为一个 整体，并用新的字母代替，从而达到将复杂的式子简单化的目的 一、用换元法因式分解一、用换元法因式分解 应用换元法分解因式，不但能将问题化繁为简，而且能拓展思路，提高解题能力它 的基本思路就是将多项式中的某一部分用新的变量替换，从而使较复杂的数学问题得到简 化常见的换元有整体换元和均值换元等 例例 1 分解因式： 222 ()8() 12xxxx 分析：本题可直接应用十字相乘法分解因式，但由于式子长，因而书写麻烦，若将多 项式看做辅助元，则可简化解题过程 2 xx 解：设，则 2 xxt
2、 原式 2 812tt (2)(6)tt 22 (2)(6)xxxx (2)(1)(2)(3)xxxx 说明：运用换元法进行因式分解，不仅能简化式子结构，还能简化解题思路，将陌生 的问题转化为熟悉的问题进行处理 例例 2 分解因式： 22 (87)(815) 15aaaa 分析：可采取均值换元，令 222 1 (87)(815)811 2 maaaaaa 解：设，则 222 1 (87)(815)811 2 maaaaaa 原式(4)(4) 15mm 2 16 15m 2 1m (1)(1)mm 22 (812)(810)aaaa 2 (2)(6)(810)aaaa 说明：此题还可以设，或，或
3、 2 8aam 2 87aam 2 815aam 二、用换元法解方程二、用换元法解方程 例例 3 解方程 22 2 3 ()40 11 xx xx 分析：注意到方程的特点，只要把设为，即得到一个关于的一元二次方 2 1 x x yy 程 解：设，则原方程变形为 2 1 x y x 2 340yy 解这个方程，得， 1 4y 2 1y 当时，1y 2 1 1 x x 去分母，得，即 2 1xx 2 10xx 此方程的解为 15 2 x 当时，4y 2 4 1 x x 去分母，得，即 2 44xx 2 440xx 解得2x 检验，把，分别代入原方程的分母，各分母都不等于零2x 15 2 x 所以，
4、都是原方程的解2x 15 2 x 所以原方程的解是， 1 2x 2 15 2 x 3 15 2 x 说明：（1）本题若去分母，则得到一个四次方程，解方程会很困难，但是注意观察方 程的特点，令，即把原方程变形为关于的一元二次方程，能容易求出的 2 1 x y x yy 值最后在已知的值的情况下，用去分母的方法解方程y 2 1 x y x （2）用换元法解分式方程常见的错误是有些学生在求出新元的值后，以为已经到达y 胜利的彼岸殊不知求的值，只是万里长征走完了关键的一步，还要乘胜追击，直到求y 出原方程的解 例例 4 解方程 22 3152512xxxx 分析：我们注意到中，是的平方少 因此， 22
5、 3153(5 )xxxx 2 5xx 2 51xx1 可把原方程变形为，如果设，那么 22 3(51)25150xxxx 2 51xxy ，原方程就可转化为关于的一元二次方程 22 51xxy y 解：设，那么，因此 2 51xxy 22 51xxy 22 3153(1)xxy 于是原方程转化为 ， 2 3(1)22yy 即 2 3250yy 解此方程，得，或 1 1y 2 5 3 y 当时，根据算术平方根的意义，不可能小于零， 5 3 y 2 5 51 3 xx 2 51xx 故此方程无解 当时，1y 2 511xx 两边平方，得，即 2 511xx 2 50xx 解此方程，得， 1 5x
6、 2 0x 检验，把，分别代入原方程都适合，因此它们都是原方程的根0x 5x 所以原方程的解是， 1 5x 2 0x 说明：本题若采用平方法化无理方程为有理方程，则得到一个一元四次方程，解方程 有难度但你只要认真观察方程中含有未知数的二次根式与其余的有理式的数量关系，就 不难发现用换元法可实现化无理方程为有理方程的转变，找到解题的突破口 三、用换元法求函数表达式三、用换元法求函数表达式 例例 5 已知，求的表达式()f xxx ( )f x 分析：令，则，代入中，化简可得关于 的函数2tx2xt ()f xxx t 表达式，最后将 换成，就求出了的函数表达式( )f ttx( )f x 解：令
7、，则，代入中，2tx2xt ()f xxx ( )()()f ttt ttt ，t 将 换成，得tx 2 ( )1f xx 所以 2 ( )1f xx 说明：已知的表达式，要求出的表达式时，可令，然后用 表示，)(xgf)(xf)(xgt tx 再代入中，化简可得关于 的函数表达式，最后将 换成，就能求出)(xgft( )f ttx 的函数表达式( )f x 例例 6 已知，求的表达式 xx x x x f 11 ) 1 ( 2 2 ( )f x 分析：令，则，代入中，化简可得关于的函数 1x u x 1 1 x u xx x x x f 11 ) 1 ( 2 2 u 表达式，最后将换成，就求
8、出了的函数表达式( )f uux( )f x 解：设，则u x x 1 1 1 u x 则 2 2 1 ()1 1 1 ( ) 11 () 11 u f u uu 2 (1)11uu 2 21 11uuu 2 1uu 将换成，得ux 2 ( )1f xxx 所以 2 ( )1f xxx 说明：本题也可以先将变形为，再令 xx x x x f 11 ) 1 ( 2 2 2 111 (1)1f xxx ，可得，所以，所以 1 1u x 1 1u x 22 ( )1 (1)(1)1f uuuuu 2 ( )1f xxx 练习题练习题 1用换元法分解下列因式： （1）； 2 7()5()2abab （
9、2）； 2 6(2)11(2 )3pqqp （3）； 2 ()11()28abab （4） 222 (1)2(1) 15xx 2用换元法解下列方程： （1）；71xx （2）；2xx （3）；57xx （4）32xx 3用换元法分解下列因式： （1）； 222 (3 )2(3 )8xxxx （2）； 22 (67 )25xx （3）； 22 (32)(34) 16aaaa （4） 432 23532xxxx 4用换元法解下列方程： （1）；120xx （2） 22 336xxxx 5 （1）已知，求的表达式()f xx ( )f x （2）已知，求的表达式()fxx ( )f x 6用换元法解
10、方程： 2 2 4 4x x 7已知，求的表达式(4)8fxxx( )f x 8用换元法解方程： 22 22 8(2 )3(1) 11 12 xxx xxx 9已知，求函数的表达式 x x x f 1 ) 1 ()(xf 10分解下列因式： （1）； 32 34xx （2） 42242 (1)(1)2xxxx 练习题参考答案练习题参考答案 1 （1）；(772)(1)abab （2）；(631)(423)pqpq （3）；(4)(7)abab （4） 2 (2)(2)(4)xxx 2 （1）；2x （2）；1x （3）；6x （4） 53 2 x 3 （1）；(1)(2)(1)(4)xxxx （2）； 2 (21)(35)(675)xxxx （3）； 2 (36)(4)(1)aaaa （4） 22 (31)(232)xxxx 4 （1）；9x （2）， 1 1x 2 4x 5 （1）；( )23f xx （2）. 2 ( )(1)f xx 6， 1 2x 2 2x 7 2 ( )16f xx 8， 1 1 2 x 2 3x 3 1 5 x 9 2 ( ) 1 x f x x 10 （1）； 2 (1)(2)xx （2） 222 (1)(1)(2)(1)(1)xxxxxxx
