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1、大连理工大学本科毕业设计（论文）大连理工大学本科毕业设计（论文）多自由度结构动力学直接积分法的稳定性分析多自由度结构动力学直接积分法的稳定性分析Stability Analysis of Direct Integration Algorithms Applied to MDOF Structural Dynamics学 院（系）： 运载工程与力学学部 专 业： 工程力学系 学 生 姓 名： 施志伟 学 号： 200731034 指 导 教 师： 杨迪雄 评 阅 教 师： 完 成 日 期： 大连理工大学Dalian University of Technology多自由度非线性结构动力学直接积分
2、法的稳定性分析- I -摘 要直接积分法是解决结构动力学问题的重要方法，精度和稳定性是它的两个重要指标，本文利用自动控制理论与结构动力学知识有机结合，研究探讨了直接积分法的稳定性问题以及稳定性条件。本文由浅入深，首先介绍了结构动力学的基础知识、然后介绍了几种常见的直接积分法，包括 Newmark 法、Wilson- 法、Runge-Kutta 法和 HHT- 法，并且用时域分析中矩阵特征值分析的方法分析了 Newmark 法的稳定性，给出了 Newmark 法的稳定性条件；接着详细讲解了自动控制理论中的重要知识，包括反馈控制、控制系统的数学模型（主要介绍了微分方程和传递函数）、开环系统、闭环系
3、统以及根轨迹等；最后将结构动力学知识与自动控制理论结合，以 MATLAB 为工具，分析了多自由度系统在线弹性结构和非线性结构下的稳定性。通过改变振动微分方程的形式，运用自动控制理论的闭环系统及根轨迹概念，可以分析直接积分法处理非线性动力学问题时的稳定性，本文中主要分析了 Newmark 法的稳定性。在线弹性系统中，根据叠加原理我们可以研究单自由度系统的稳定性来得到多自由度系统的稳定性，本文以单自由度系统为例分析了多自由度系统的稳定性；在非线性系统中，本文以简单的二自由度结构为例，分析了多自由度系统的稳定性。关键词：多自由度系统；直接积分法；非线性；稳定性；控制理论多自由度非线性结构动力学直接积
4、分法的稳定性分析- II -Stability Analysis of Direct Integration Algorithms Applied to MDOF Structural DynamicsAbstract Direct integration algorithms are the important method to solve the problem of structure dynamics. Precision and stability are its two important indexes, This paper combine automatic control
5、 theory with structural dynamics knowledge to study the direct integration algorithms stability problem and stability conditions. This paper first introduce the basic knowledge of structure dynamics, then introduce several direct integration algorithms, including Newmark method, Wilson method, Runge
6、 - Kutta method and HHT- method. The condition of stability of Newmark method is given by the eigenvalue analysis of matrix of time-domain analysis, Explain the important knowledge of automatic control theory, including feedback control, control systems mathematical model (mainly introduce different
7、ial equation and transfer function), the open loop system, closed- loop system and root locus, etc.; At last combine structural dynamics knowledge with automatic control theory, use MATLAB for tools, analyzes the stability of the MDOF system under the linear elastic structure and the nonlinear struc
8、ture. By changing the form of the vibration differential equation, using automatic control theory of closed-loop system and root locus concept, you can analyze the stability of the direct integration algorithms with nonlinear dynamic problems. In this paper, we analyze the stability of the Newmark i
9、ntegration algorithm. In the linear elastic structure system, based on the principle, we can get the stability of MDOF system by analyzing the SDOF system. Taking the SDOF system as an example, we get the stability of MDOF system in this paper. Taking the simple two-degree-of-freedom system as an ex
10、ample, we analyze the stability of the MDOF system.Key Words：MDOF；Direct Integration Algorithm；Nonlinear；Stability; Control Theory多自由度非线性结构动力学直接积分法的稳定性分析- III -目 录摘 要.IAbstract II引 言.11 结构动力学基础。.41.1 结构动力学简介41.2结构动力学运动微分方程41.2.1 单自由度系统.41.2.2 多自由度系统.41.3 动力响应的求解方法52 直接积分法.62.1 直接积分法的原理62.2 直接积分法的分类6
11、2.3 常用的直接积分法72.3.1 Newmark 法72.3.2 Wilson- 法.82.3.3 Runge-Kutta 法102.3.4 HHT- 法102.4 时域积分法的稳定性分析113 自动控制理论基础.133.1 自动控制理论发展综述133.2 反馈控制133.3控制系统的数学模型143.3.1 数学模型.143.3.2 微分方程-建立.153.3.3 传递函数.163.4 开环系统与闭环系统183.5 根轨迹194 线弹性结构动力学直接积分法的稳定性分析.214.1 多自由度线弹性结构动力学的稳定性分析214.2 线弹性下的 Newmark 法稳定性分析235 非线性结构动力
12、学直接积分法的稳定性分析.26多自由度非线性结构动力学直接积分法的稳定性分析- IV -5.1 非线性结构动力学研究现状265.2 多自由度系统直接积分法的闭环系统表示265.3 非线性下的 Newmark 法稳定性分析29结 论.38参 考 文 献.39致 谢.40多自由度非线性结构动力学直接积分法的稳定性分析1引 言在结构动力学问题中，直接积分法是求解结构动力响应的有效数值方法。它的基本思想是将动力方程在时间域上离散化，即化为对时间的差分格式，然后根据初始条件并利用直接积分法，逐步求出一系列离散时刻上的动力学响应值。迄今为止已近出现了许多的直接积分法，著名的得到广泛应用的例如 Newmar
13、k 系列方法（Newmark,1959）、Wilson- 法（Wilson,1968）、HHT 法（Hilber、Hughes、Taylor,1977）以及数学家所推崇的四阶 Runge-Kutta 法、改良的Newmark 精细积分法等等，无论是从加速度、速度、位移关系的离散模拟，还是从能量角度势能原理，或者从如何消除计算机的舍入误差实现精细积分，数学力学工作者们多个方面研究直接积分法的特性，并创造或改良出新的具有更好特性的直接积分法。直接积分法的特性包括其显性、隐性区别，精度，稳定性等。直接积分算法按照是否需要求解耦联方程组可以分为隐式与显式方法。显式方法不需要求解耦联方程组，计算量小，但
14、显式方法受稳定性条件的限制计算步长不能取得过大；隐式方法需要求解耦联方程组，计算量大，但由于其不受稳定性条件限制，故计算步长可以取得较大。目前显式与隐式方法的使用有着较大的交集，这主要是因为目前计算模型不是很复杂、自由度数目不是很多，显式方法与隐式方法所消耗的时间与占用的内存相差不大。在多数情况下，要根据经验来决定采用哪一种积分方法较为合适。但无论采用哪一种方法，目的都是为了提高计算效率，获得较精确的计算结果。与隐式方法相比，尽管显式方法的条件是稳定的，计算时间步长必须较小，但对于大型结构体系的动力反应问题，特别是需要考虑体系非线性时，采用条件稳定的显式积分方法求解动力反应有时也是非常有利的，
15、并且对于隐式方法来说，受计算精度要求的限制，计算步长也不可能取得太大。在对大型复杂结构非线性动力反应进行分析时，精度、稳定性与耗时之间的矛盾日益突出，影响和制约了结构动力反应分析的发展。如果能够建立具有更高精度和更好稳定性的显式方法，或者节约存储空间和计算时间的更好的隐式方法，对大型复杂结构的科学分析和设计将具有重要的理论和实际意义。在用直接积分法求解系统的运动方程时，该方法的稳定性是一个非常重要的概念。计算机数值计算必然存在数据的舍入误差，因而时间步长并非完全一样。如果以任意的时间步长所取得的解不是无界地增长或振荡，则这种方法是无条件稳定的；如果只在时间步长小于某一特定数值时或必须满足某些条件时，不会产生解的无界的增长或多自由度非线性结构动力学直接积分法的稳定性分析2振荡，则这种方法是条件稳定的；否则，如果任意的时间步长所取得的解会无界增长或振荡，这种方法是不稳定的。研究直接积分法的稳定性有多种方法。在时域上分析直接积分法的稳定性已经得到了广泛研究。可以从直接积分法的时域迭代格式出发，研究迭代格式的转换矩阵的特性。线性代数理论给出了要使迭代结果不发散，转换矩阵必须满足的条件。这可以判断一个具体的直接积分法是否稳定、是否无条件稳定以及其稳定性条件。Newmark 于 1959 年提出的为了求解结构受到阵风和地震荷载作用的动力学问题的单步积分方法，是工程
