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1、第 1 页（共 16 页）2.32.3 用公式法求解一元二次方程用公式法求解一元二次方程一、选择题一、选择题1若关于 x 的一元二次方程（k1）x2+4x+1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ）Ak5 Bk5，且 k1 Ck5，且 k1 Dk52下列一元二次方程没有实数根的是（ ）Ax2+2x+1=0Bx2+x+2=0 Cx21=0Dx22x1=03下列一元二次方程中有两个相等实数根的是（ ）A2x26x+1=0B3x2x5=0Cx2+x=0Dx24x+4=04一元二次方程 2x23x+1=0 的根的情况是（ ）A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C只有一个实数根D没有
2、实数根5一元二次方程 x24x+4=0 的根的情况是（ ）A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根2 4C无实数根 D无法确定w6a，b，c 为常数，且（ac）2a2+c2，则关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 根的情况是（ ）tA有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根hC无实数根 D有一根为 0Y7若关于 x 的一元二次方程 kx2+2x1=0 有实数根，则实数 k 的取值范围是（ ）6Ak1Bk1Ck1 且 k0Dk1 且 k0O8y=x+1 是关于 x 的一次函数，则一元二次方程 kx2+2x+1=0 的根的情况为（ ）5A没有实数根B有一个实数根IC有两个不相等的实数根 D有
3、两个相等的实数根a9关于 x 的一元二次方程 x2+4x+k=0 有两个相等的实根，则 k 的值为（ ）hAk=4Bk=4Ck4Dk4P10若关于 x 的一元二次方程 x2+2（k1）x+k21=0 有实数根，则 k 的取值范围是（ ）6Ak1 Bk1 Ck1 Dk1y第 2 页（共 16 页）二、填空题二、填空题611如果关于 x 的方程 x23x+k=0 有两个相等的实数根，那么实数 k 的值是 812关于 x 的一元二次方程 x2+2xk=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 Z13关于 x 的一元二次方程 x2+bx+2=0 有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数 b
4、的值：b= k14关于 x 的方程 3kx2+12x+2=0 有实数根，则 k 的取值范围是 415关于 x 的方程 kx24x4=0 有两个不相等的实数根，则 k 的最小整数值为 016如果关于 x 的一元二次方程 x2+2ax+a+2=0 有两个相等的实数根，那么实数 a 的值为 A三、解答题三、解答题f17已知关于 x 的一元二次方程mx2+mx+m1=0 有两个相等的实数根A（1）求 m 的值；=（2）解原方程=18已知关于 x 的一元二次方程 mx2（m+2）x+2=0（1）证明：不论 m 为何值时，方程总有实数根；（2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根19定义新运算：对于
5、任意实数 m、n 都有 mn=m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算例如：32=（3）22+2=20根据以上知识解决问题：若 2a 的值小于 0，请判断方程：2x2bx+a=0 的根的情况20已知关于 x 的方程 x2（2m+1）x+m（m+1）=0（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）已知方程的一个根为 x=0，求代数式（2m1）2+（3+m）（3m）+7m5 的值（要求先化简再求值）21已知关于 x 的一元二次方程（x1）（x4）=p2，p 为实数（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）p 为何值时，方程有整数解（直接写出三个，不需说明理由）22嘉淇同学用配方法
6、推导一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的求根公式时，对于 b24ac0 的情况，她是这样做的：由于 a0，方程 ax2+bx+c=0 变形为：第 3 页（共 16 页）x2+x=，第一步x2+x+（）2=+（）2，第二步（x+）2=，第三步x+=（b24ac0），第四步x=，第五步嘉淇的解法从第 步开始出现错误；事实上，当 b24ac0 时，方程 ax2+bx+c=0（aO）的求根公式是 用配方法解方程：x22x24=0第 4 页（共 16 页）2.32.3 用公式法求解一元二次方程用公式法求解一元二次方程参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题一、选择题1若关于 x 的一元二次
7、方程（k1）x2+4x+1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ）Ak5 Bk5，且 k1 Ck5，且 k1 Dk5【考点】根的判别式；一元二次方程的定义【分析】根据方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，结合一元二次方程的定义以及根的判别式即可得出关于 k 的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论【解答】解：关于 x 的一元二次方程（k1）x2+4x+1=0 有两个不相等的实数根，即，解得：k5 且 k1故选 B【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，解题的关键是得出关于 k 的一元一次不等式组本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的个数结合一元
8、二次方程的定义以及根的判别式得出不等式组是关键2下列一元二次方程没有实数根的是（ ）Ax2+2x+1=0Bx2+x+2=0 Cx21=0Dx22x1=0【考点】根的判别式【分析】求出每个方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断【解答】解：A、=22411=0，方程有两个相等实数根，此选项错误；B、=12412=70，方程没有实数根，此选项正确；C、=041（1）=40，方程有两个不等的实数根，此选项错误；D、=（2）241（1）=80，方程有两个不等的实数根，此选项错误；故选：B第 5 页（共 16 页）【点评】本题主要考查一元二次方程根的情况，一元二次方程根的情况与判别式的关系
9、：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根3下列一元二次方程中有两个相等实数根的是（ ）A2x26x+1=0B3x2x5=0Cx2+x=0Dx24x+4=0【考点】根的判别式【分析】由根的判别式为=b24ac，挨个计算四个选项中的值，由此即可得出结论【解答】解：A、=b24ac=（6）2421=280，该方程有两个不相等的实数根；B、=b24ac=（1）243（5）=610，该方程有两个不相等的实数根；C、=b24ac=12410=10，该方程有两个不相等的实数根；D、=b24ac=（4）2414=0，该方程有两个相等的实数根故选 D【点评】本
10、题考查了根的判别式，解题的关键是根据根的判别式的正负判定实数根的个数本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的正负，得出方程解得情况是关键4一元二次方程 2x23x+1=0 的根的情况是（ ）A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C只有一个实数根D没有实数根【考点】根的判别式【分析】代入数据求出根的判别式=b24ac 的值，根据的正负即可得出结论【解答】解：=b24ac=（3）2421=10，该方程有两个不相等的实数根故选 B【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是求出根的判别式=1本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的正负确定根的个数是关键第 6
11、 页（共 16 页）5一元二次方程 x24x+4=0 的根的情况是（ ）A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根C无实数根 D无法确定【考点】根的判别式【分析】将方程的系数代入根的判别式中，得出=0，由此即可得知该方程有两个相等的实数根【解答】解：在方程 x24x+4=0 中，=（4）2414=0，该方程有两个相等的实数根故选 B【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是代入方程的系数求出=0本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式得正负确定方程解得个数是关键6 a，b，c 为常数，且（ac）2a2+c2，则关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 根的情况是（ ）A有两个
12、相等的实数根B有两个不相等的实数根C无实数根 D有一根为 0【考点】根的判别式【分析】利用完全平方的展开式将（ac）2展开，即可得出 ac0，再结合方程 ax2+bx+c=0 根的判别式=b24ac，即可得出0，由此即可得出结论【解答】解：（ac）2=a2+c22aca2+c2，ac0在方程 ax2+bx+c=0 中，=b24ac4ac0，方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根故选 B【点评】本题考查了完全平方公式以及根的判别式，解题的关键是找出=b24ac0本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的符号，得出方程实数根的个数是关键7若关于 x 的一元二次方程 kx
13、2+2x1=0 有实数根，则实数 k 的取值范围是（ ）Ak1Bk1Ck1 且 k0Dk1 且 k0第 7 页（共 16 页）【考点】根的判别式【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于 k 的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为 0【解答】解：关于 x 的一元二次方程 kx2+2x1=0 有实数根，=b24ac0，即：4+4k0，解得：k1，关于 x 的一元二次方程 kx22x+1=0 中 k0，故选：C【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况8 y=x+1 是关于 x 的一次函数，则一元二次方程 kx2+2
14、x+1=0 的根的情况为（ ）A没有实数根B有一个实数根C有两个不相等的实数根 D有两个相等的实数根【考点】根的判别式；一次函数的定义【分析】由一次函数的定义可求得 k 的取值范围，再根据一元二次方程的判别式可求得答案【解答】解：y=x+1 是关于 x 的一次函数，0，k10，解得 k1，又一元二次方程 kx2+2x+1=0 的判别式=44k，0，一元二次方程 kx2+2x+1=0 无实数根，故选 A【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键，即0一元二次方程有两个不相等的实数根，=0一元二次方程有两个相等的实数根，0一元二次方程无实数根9关于
15、x 的一元二次方程 x2+4x+k=0 有两个相等的实根，则 k 的值为（ ）第 8 页（共 16 页）Ak=4Bk=4Ck4Dk4【考点】根的判别式【分析】根据判别式的意义得到=424k=0，然后解一次方程即可【解答】解：一元二次方程 x2+4x+k=0 有两个相等的实根，=424k=0，解得：k=4，故选：B【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根10若关于 x 的一元二次方程 x2+2（k1）x+k21=0 有实数根，则 k 的取值范围是（ ）Ak1 Bk1 Ck1 D
