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1、量子力学 Quantum Mechanics,第七章 自旋与全同粒子,薛定谔方程出发可以解释许多微观现象,但是这个理论还有较大的局限性:,(1)薛定谔方程没有把自旋包含进去，因而用前面的理论 还不能解释牵涉到自旋的微观现象，如塞曼效应等,(2)对于多粒子体系（原子、分子、原子核、固体等等）， 前面的理论也不能处理。, 7.1 电子的自旋,一、提出电子自旋的依据,1、1912年反常塞曼效应，特别是氢原子的偶数重磁场谱线分裂 ，无法用轨道磁矩与外磁场相互作用来解释，因为这只能分裂谱线为（2n+1）重，即奇数重。,2、原子光谱的精细结构。比如，对应于氢原子2p1s的跃迁存在两条彼此很靠近的两条谱线，
2、碱金属原子光谱也存在双线结构等, 7.1 电子的自旋,3、斯特恩盖拉赫实验（1922年）基态银原子束通过不均匀磁场后，分离成朝相反方向的两束。如图：, 7.1 电子的自旋,结论：除具有轨道角动量外，电子还应具有自旋角动量。自旋是一种相对论量子效应，无经典对应。, 7.1 电子的自旋,二、电子自旋的假设,1925年乌仑贝克和高德施密特提出假设：,(1)每个电子具有自旋角动量s，它在空间任何方向上的投 影只能取两个数值：,(2)每个电子具有自旋磁矩Ms，它和自旋角动量s的关系是, 7.1 电子的自旋,Ms在空间任意方向上的投影只能取两个数值：,由（7.1-2）式，电子自旋磁矩和自旋角动量之比是,这
3、个比值称为电子自旋的回转磁比率。, 7.1 电子的自旋,轨道运动的回转磁比率是,自旋回转磁比率等于轨道运动回转磁比率的两倍, 7.2 电子自旋算符和自旋函数,电子具有自旋角动量这一特性纯粹是量子特性，与坐标和动量无关，它不可能用经典力学来解释。,他是电子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个变量,一、自旋算符,1. 自旋角动量满足的对易关系,引入,则有:,2.,上面两条完全确定了电子自旋算符, 7.2 电子自旋算符和自旋函数,二、泡利算符,（7.2-1）式代入（7.2-2）式，得到所满足的对易关系：,(A)对易关系, 7.2 电子自旋算符和自旋函数,(C) 反对易关系, 7.2 电子自旋算符和
4、自旋函数,证明,在把两式相加, 7.2 电子自旋算符和自旋函数,（3）矩阵表示,习惯上选取 SZ表象（即Z 表象）,泡利矩阵 算符在自身表象中的矩阵是对角矩阵，对角元素即算符的本征值。, 7.2 电子自旋算符和自旋函数, x的矩阵形式, 7.2 电子自旋算符和自旋函数,于是, 7.2 电子自旋算符和自旋函数,习惯上取=0, 于是得到：,y的矩阵形式, 7.2 电子自旋算符和自旋函数,得到的泡利矩阵是,泡利矩阵,自旋算符, 7.2 电子自旋算符和自旋函数,电子自旋量子数,S2算符的本征值是,把它记作:,自旋量子数, 7.2 电子自旋算符和自旋函数,三、电子自旋态的表示方法,1. 考虑了电子的自旋
5、，电子的波函数应写为：,2. 我们可以把这两个分量排成一个二行一列的矩阵：, 7.2 电子自旋算符和自旋函数,若电子的自旋,若电子的自旋,3. 物理意义（玻恩统计解释）, 7.2 电子自旋算符和自旋函数,于是，,4. 波函数归一化表示为：, 7.2 电子自旋算符和自旋函数, 7.3 简单塞曼效应,无外磁场：电子具有动能和势能,有外磁场：除原子中的动能和势能，还有磁场引起的附加能量,电子自旋和轨道之间也有相互作用能量, 7.3 简单塞曼效应,一、强磁场中的简单塞曼效应,磁场方向选Z轴,附加能量,电子自旋和轨道之间相互作用能量可以忽略, 7.3 简单塞曼效应,体系的定态薛定谔方程,上式中观察到存在
6、算符SZ,波函数的形式应该为：, 7.3 简单塞曼效应,当外磁场不存在时，氢原子的能级En 只与总量子数有关, 7.3 简单塞曼效应,无外磁场，再考虑核外电子对库伦场的屏蔽作用,能级Enl不只跟 n有关，与角量子数l 也有关,有外磁场时, 7.3 简单塞曼效应, 7.3 简单塞曼效应,由此可见:,1、在外磁场中，能级与m有关，原来m相同而能量不同带来的兼并被消除,2、在外磁场中，能量与自旋有关, 7.3 简单塞曼效应,氢原子的简单塞曼分裂, 7.3 简单塞曼效应,外磁场中电子跃迁, 7.3 简单塞曼效应,0是无外场时的跃迁频率,由选择定则,在外磁场时的一条谱线分裂为三条,简单塞曼效应, 7.4
7、 两个角动量的耦合,相互作用（耦合）, 7.4 两个角动量的耦合,以 表示体系的两个角动量算符， 它们满足角动量的定义的一般对易关系：,和 是相互独立的，因而 的分量和 的分量都是可对易的：,一、角动量理论的普遍结果(这里只给出结果), 7.4 两个角动量的耦合,或者, 7.4 两个角动量的耦合,此外，还有一些其他的对易关系也很容易证明：, 7.4 两个角动量的耦合,二、无耦合表象与耦合表象, 7.4 两个角动量的耦合,组成正交归一的完全系。以这些本征矢作为基矢的表象 称为无耦合表象。, 7.4 两个角动量的耦合,组成正交归一完全系，以它们为基矢的 表象称为耦合表象。, 7.4 两个角动量的耦
8、合,或克来布希高登（ClebschGordon）系数, 7.4 两个角动量的耦合,三. C-G系数, 7.4 两个角动量的耦合, 7.4 两个角动量的耦合,另一方面, 7.4 两个角动量的耦合,因此， 的取值系列为：, 7.4 两个角动量的耦合,以电子角动量j2=1/2为例, 7.4 两个角动量的耦合, 7.6 全同粒子体系的特性,一、多粒子体系的描写,假设我们有N个粒子组成的体系，那么体系的波函数应该和所有粒子的坐标以及时间有关：,体系的Hamiltonian是：,其中“坐标” 包括粒子的空间坐标 和自旋量子数。,U(q)是粒子在外场中的势,W是两个粒子间的相互作用能.,二、全同粒子的不可区
9、分性,1、全同粒子:质量、电荷、自旋等内在性质完全相同的粒子。,2、在经典力学中，即使两个粒子是全同的，它们也仍 然是可区别的，因为它们各自有自己的轨道。但是在量 子力学中，粒子的状态用波函数描写，当两个粒子的波 函数在空间中发生重叠的时候，我们无法区分哪个是“第 一个”粒子，哪个是“第二个”粒子。,3. 全同性原理:当一个全同粒子体系中两个粒子交换不改变体系的状态。, 7.6 全同粒子体系的特性,三、波函数的交换对称性和粒子的统计性,交换以后的状态与原来的状态是不可区别的,而,所以,解得,也就是说, 7.6 全同粒子体系的特性,若 ,则称 为交换对称波函数.,若 ， 则称 为交换反对称波函数
10、。,交换对称性或反对称性是全同粒子体系波函数的特殊的固有的性质，因此也是(微观)粒子的特殊的、固有的性质。也就是说，描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，它们的对称性不随时间改变。, 7.6 全同粒子体系的特性,玻色子: 自旋为整数的粒子称为玻色子，描述全同玻色子体系的波函数是交换对称的，全同玻色子体系服从Bose-Einstein统计。例如光子（自旋为1）、介子(自旋为0）,费米子: 自旋为/2的粒子称为费米子，描述全同费米子体系的波函数是交换反对称的，全同费米子体系服从Fermi-Dirac统计。例如电子、质子、中子（自旋都是1/2）。, 7.6 全同粒子体系的特性, 7.7
11、 全同粒子体系的波函数 泡利原理,两个全同粒子体系,下面主要讨论无相互作用的全同粒子体系的波函数。当然外场是存在的。,可以证明下面两个函数是H的属于能级E的本征函数,证明：,同样可以证明第二式.,交换简并, 7.7 全同粒子体系的波函数 泡利原理,根据全同性原理，描述全同粒子体系的波函数必须是对称化的。由于交换简并的存在，我们可以用线性组合来构造对称化的波函数：,费米子,玻色子,若 时， 因此，两个全同 Fermi子不能处于同 一个单粒子态。(此即泡利原理), 7.7 全同粒子体系的波函数 泡利原理,如果N个单粒子态 中有两个单粒子态相同，则 行列式中有两行相同，因而行列式等于零。这表示不能有两个或两个以上的费密子处于同一状态。这个结果称为泡利不相容原理, 7.7 全同粒子体系的波函数 泡利原理,推广到N个粒子（费米子）,
