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1、数学分析课件,主讲：高凌云,暨南大学数学系 2014年9月-2015年1月,Mathematics Analysis,记号与术语,数学分析概述,一 、研究对象 变量间的关系及变化过程，具体表现为函数及其性质。 函数及其性质：单调性、有界性、奇偶性、最大（小）值、极大（小）值、周期性、图象、 需要指明的是：中学也研究函数的这些性质，但主要采用“静止”、“孤立”的方法去研究函数而在数学分析中主要采用“运动”、“联系”、“变化”的过程把握变化的结果因而数学分析中的方法具“运动性”、“变化性” 如何研究函数？通过什么方式、角度去研究呢？或用什么样的工具去研究函数呢？这些构成数学分析的主要内容,变量,数
2、学分析,数学分析,函数,极限方法,极限论,微分学,积分学,级数论,（单变量和多变量）,工具,基础,中心,对象,对象,变动观点,关系,第一章 实数集与函数,1 实数,2 数集 确界原理,3 函数的概念,4 复合函数与反函数,1.1 实数,一 .实数及其性质,二. 绝对值与不等式,若规定：,则有限十进小数都能表示成无限循环小数.,实数,对正整数,对负有限小数（包括负整数）y,先将- y表示成无限小数，再在无限小数前加负号如: -8=-7.999,一 . 实数及其性质：,1.回顾中学中关于有理数和无理数的定义.,说明:,对于负实数x,y,若有-x = -y与-x -y, 则分别称x = y与x x)
3、,2.两个实数的大小关系,说明:,自然规定任何非负实数大于任何负实数,1)定义1,定义2 设,为实数x的n位不足近似，而有理数,称为x的n位过剩近似，n=0, 1, 2, .,为非负实数.,称有理数,2) 通过有限小数比较大小的等价条件,对于负实数,其n位不足近似和n位过剩近似分别规定为,和,注意：对任何实数x, 有,命题1 设,实数的性质,1.实数集R对加,减,乘,除(除数不为0)四则运算是封闭的.即任意两个实数和,差,积,商(除数不为0)仍然是实数.,2.实数集是有序的.即任意两个实数a, b必满足下述三个关系之一: a b .,为两个实数，则,3.实数集的大小关系具有传递性.即若a b,
4、 b c,则有ac.,5.实数集R具有稠密性.即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数,且既有有理数,也有无理数.,6.实数集R与数轴上的点具有一一对应关系.即任一实数都对应数轴上唯一的一点,反之,数轴上的每一点也都唯一的代表一个实数.,例1,证明,例2,证明,二. 绝对值与不等式,从数轴上看的绝对值就是到原点的距离：,绝对值定义：,绝对值的一些主要性质,性质4（三角不等式）的证明：,由此可推出,几个重要不等式:, 均值不等式:,(算术平均值),(几何平均值),(调和平均值),有平均值不等式:,等号当且仅当 时成立., Bernoulli 不等式:, 利用二项展开式得到的不等式:,由二项展开式
5、,1.2 数集确界原理,一、区间与邻域二、上确界、下确界,一、区间与邻域,1.集合:,具有某种特定性质的事物的总体.,组成这个集合的事物称为该集合的元素.,有限集,无限集,数集分类:,N-自然数集,Z-整数集,Q-有理数集,R-实数集,数集间的关系:,例如,不含任何元素的集合称为空集.,例如,规定,空集为任何集合的子集.,2.区间:,是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.,称为开区间,称为闭区间,称为半开区间,称为半开区间,有限区间,无限区间,区间长度的定义:,两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.,3.邻域:,二 有界集确界原理,1 有（无）界数集:定义(上、下有
6、界, 有界) 数集S有上界 数集S无上界 数集S有下界 数集S无下界 数集S有界 数集S无界,例 证明集合,是无界数集.,证明：,由无界集定义，E 为无界集.,2 确界:,直观定义:若数集S有上界，则它有无穷多个上界，其中最小的一个上界称为数集S的上确界，,同样，有下界数集S最大的一个下界称为数集S的下确界，,确界的精确定义,例3 设数集S有上确界.证明,例4,证:,故有确界原理知,数集A有上确界,数集B有下确界.,是数集A的一个上界,而由上确界的定义知,由假设,数集B中任一数 都是数集A的上界,A中任一数 都是B的下界,是数集A的最小上界, 故有,而此式又表明数 是数集B的一个下界,故由下确
7、界的定义证得,例5,为非空数集,试证明:,证,有,或,由,和,分别是,的下界,有,或,即,是数集,的下界,.,和,3.数集与确界的关系: 确界不一定属于原集合. 以例1为例做解释.,4.确界与最值的关系: 设 E为数集. E 的最值必属于E, 但确界未必, 确界是一种临界点. 非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值. 若 存在, 必有 对下确界有类似的结论.,5 确界原理定理1 (确界原理). 设 E 为非空数集，若E有上界，则E必有上确界；若E有下界，则E必有下确界。,设A,B为非空有限数集, . 证明:,例6,证:,故得,所以,综上,即证得,1.3 函数的一般概念,函数的
8、概念2 几个特殊的函数举例 3 函数的性质,一、函数概念函数是整个高等数学中最基本的研究对象, 可以说数学分析就是研究函数的.因此我们对 函数的概念以及常见的一些函数应有一个清楚 的认识.,因变量,自变量,D 称为定义域，记作Df ，即 Df = D .,函数值的全体构成的数集称为值域，记为：,对应法则f,函数的两要素:,定义域与对应法则.,自变量,因变量,约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.,关于函数定义的几点说明:,定义:,如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数,函数的相等与不等,注：分清和“函数值的相等与不
9、等”。,表示函数的主要方法有三种: 表格法、图形法、解析法(公式法). 用图形法表示函数是基于函数图形的概念, 坐标平面上的,函数的表示法,单值函数与多值函数在函数的定义中,对每个xD, 对应的函数值y总是唯一的, 这样定义的函数称为单值函数. 如果给定一个对应法则, 按这个法则, 对每个xD, 总有确定的y值与之对应, 但这个y不总是唯一的, 我们称这种法则确定了一个多值函数.,例如, 由方程x2y2r2确定的函数是一个多值函数:,此多值函数附加条件“y0”后可得到一个单值分支,此函数称为绝对值函数, 其定义域为D=(-, +), 其值域为Rf =0, + ).,(2),(1)常值函数 y=
10、c. 其定义域为D=(-, +), 其值域为Rf =c.,下页,三 几个特殊的函数举例,(3) 符号函数,其定义域为D=(-, +) , 其值域为Rf =-1, 0, 1.,(4) 取整函数 y=x x表示不超过 的最大整数,阶梯曲线,其定义域为D=(-, +), 其值域为 =Z. 例：,（5）“非负小数部分”函数,它的定义域是,(6) 狄利克雷函数,其定义域为D=(-, +) , 其值域为 =0, 1.,(7) 取最值函数,y,x,o,x,o,(8)Riemann 函数,在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.,分段函数,例2,解,故,三、函数的性质,有界,
11、无界,1函数的有界性:,1函数的有界性:,四、函数的性质,f(x)=sin x在(-, +)上是有界的: |sin x|1.,所以函数无上界.,有界函数举例,例3,2函数的单调性:,3函数的奇偶性:,偶函数,y,x,o,x,-x,奇函数,y,x,o,x,-x,4函数的周期性:,（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,1.4复合函数 反函数 初等函数,二.反函数,三.初等函数,四.双曲函数与反双曲函数,一. 复合函数,一、复合函数,在实际问题中，有很多比较复杂的函数是由几个比较 简单的函数“叠置”而成的，如在简谐振动中位移y与时间 t 的函数关系,就是由三角函数,和线性函数,“叠置”而成的，
12、,定义:,注意:,1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,复合条件,复合函数的定义域,复合条件在实际应用时常取形式,内层函数的值域落在外层函数的定义域之内,2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,二、反函数,反函数.,的反函数，记为,反函数的定义域和值域恰为原函数的值域 和定义域,显然有,(恒等变换）,(恒等变换),。,这样直接函数与反函数的图形关于直线 对称.,从方程角度看，函数和反函数没什么区别，作为函数，习惯上我们还是把反函数记为 .,严格单调函数是1-1对应的，所以严格单调函数有反函数。 但 1-1 对应的函数（有反函数）不一定是严格单调的，看下面例子,它的反函数即为
13、它自己.,实际求反函数问题可分为二步进行：(1). 确定,的定义域,和值域,，考虑 1-1对应条件。固定,，解方程,得出,。 (2). 按习惯，自变量,、因变量,互换，得,.,三 初等函数,、基本初等函数,（1）.幂函数,幂函数,（2）.指数函数,（3）.对数函数,(4)三角函数,周期为2p的周期函数,有界函数 |sin x|1,特殊值：,Taylor(Maclaurin)公式,三角函数,周期为2p的周期函数,有界函数 |cos x|1,特殊值：,Taylor(Maclaurin)公式,三角函数,周期为p的周期函数,无界函数：,渐进线：,特殊值：,三角函数,周期为p的周期函数,无界函数：,渐进
14、线：,特殊值：,正割函数,余割函数,(5)反三角函数的图象,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.,2.初等函数,由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的复合运算所得到的函数,称为初等函数.,四、双曲函数与反双曲函数,1.双曲函数,奇函数.,偶函数.,奇函数,有界函数,2.反双曲函数,奇函数,双曲函数常用公式,奇函数,函数的分类:,函数,初等函数,非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数),代数函数,超越函数,有理函数,无理函数,有理整函数(多项式函数),有理分函数(分式函数),思考题,思考题解答,不能,解,有界函数,偶函数,周期函数(无最小正周期),不是单调函数,1.函数的分类,非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数),（1）分段函数都不是初等函数。,（2）由基本初等函数，经过无限次四则 运算而成的函数不是初等函数。,2.思考判断,解答：（1）错误.例如 是分段函数,然而也初等函数.,（2）错误.是初等函数.,
