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1、1,第四章 线性系统的根轨迹法,4.1 引言控制系统的基本性能（稳定性、动态性能）主要取决于闭环系统特征方程的根（闭环极点）。因此，确定闭环极点的位置，对于分析和设计系统具有重要意义。为了避免直接求解高阶系统特征方程根的麻烦，1948年W.R.Evans提出了一种图解法根轨迹法。根轨迹法是用于分析和设计线性定常控制系统的一种工程方法。具有简便、直观及物理概念明确等特点，因此在工程实践中获得广泛应用。 本章重点研究问题根轨迹法的概念、绘制根轨迹的规则、非最小相位系统的根轨迹、广义根轨迹、增加开环极零点对根轨迹的影响、用根轨迹分析系统性能。,2,考虑某一参数变化后，闭环极点运动规律（轨迹），了解闭
2、环系统动态性能的变化。,利用系统的开环传递函数的零极点分布来研究闭环系统的极点的分布。,闭环传递函数分母为零 称闭环系统特征方程式,4.2 根轨迹法的概念,3,若闭环系统不存在零点与极点相消，闭环特征方程的根与闭环传递函数的极点是一一对应的。,例: 二阶系统的根轨迹,开环增益K从零变到无穷，可以用解析方法求出闭环极点的全部数值。,1.根轨迹的定义 开环系统（传递函数）的某一个参数从零变化到无穷大时，闭环系统特征方程的根在 s 平面上的轨迹称为根轨迹。,4,5,2.根轨迹与系统性能 稳定性 考察根轨迹是否进入右半 s 平面。 稳态性能 开环传递函数在坐标原点有一个极点，系统为1型系统，根轨迹上的
3、K值就是静态速度误差系数。如果给定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位置的容许位置。由开环传递函数绘制根轨迹，通常采用根轨迹增益，根轨迹增益与开环增益之间有一个转换关系。 动态性能 由K值变化所对应的闭环极点分布来估计。,6,对于高阶系统，不能用特征方程求根的解析方法得到根轨迹。 根轨迹法 从开环传递函数着手，通过图解法来求闭环系统根轨迹。,设 控制系统如图所示,3.闭环极点与开环零、极点之间的关系,7,8,根轨迹法的任务：由已知的开环零极点和根轨迹增益，用图解方法确定闭环极点。,结论：,闭环极点与开环零点、开环极点、根轨迹增益均有关。,9,由闭环传递函数,根轨迹方程,4.根轨迹
4、方程,10,根轨迹方程可以进一步表示为,相角条件（幅角条件）：（充分必要条件）,模值条件（幅值条件）：,11,由开环零、极点指向轨迹点的向量的方位角。,(2) 根轨迹 上的点符合相角条件，且 符合相角条件的点一定在根轨迹上。故 相角条件是根轨迹的充要条件。,(1) 当 从 变化时，S平面上系统特征根的变化形成轨迹。每一个 值，按幅值条件对应于根轨迹上的n个点。,12,例4.1,开环极点：,无开环零点,闭环系统特征方程式:,闭环特征根:,1.,2.,3.,4.,验证：,13,4-3 根轨迹绘制的基本法则,常规根轨迹：可变参数为根轨迹增益,相角条件： 180o根轨迹,规则1：根轨迹的起点和终点：根
5、轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。,简要证明：,14,又从,为了避免丢失方程的根，在上式中作变换：,这仍然是个n次方程：,对应有：,15,在实际系统通常是 ，因此有 条根轨迹终止于s平面的无穷远处，这意味着在无穷远处有 个无限远（无穷）零点。,16,规则2、3：根轨迹的分支数和对称性 根轨迹的分支数与开环极点数n相等（nm）或与开环有限零点数m相等（nm 时，则有（n-m) 条根轨迹分支终止于无限零点。这些根轨迹分支趋向无穷远的渐近线由与实轴的夹角和交点来确定。,19,20,21,22,例1 设单位反馈系统的前向传递函数为,（2）有4条根轨迹的分支，对称于实轴,（1）,（3）有n-m=4-1
6、=3条根轨迹渐近线,23,与实轴夹角,与实轴交点,24,25,规则6：根轨迹分离点和会合点 两条或两条以上的根轨迹分支在 s 平面上相遇又立即分开的点称为分离点（会合点）。 分离点（会合点）的坐标 d 由下列方程所决定：,分离角为：,26,系统闭环特征方程为,根轨迹若有分离点，表明闭环特征方程有重根，重根条件为,两式相除得,简单证明：,27,解（1）开环零点 开环极点 根轨迹分支数为3条，有两个无穷远的零点。,例 2 绘制图示系统大致的根轨迹,代入得,28,（2）实轴上根轨迹,（4）分离点（用试探法求解）,（3）趋向无穷远处的渐近线的夹角与交点,29,例3：设单位反馈系统的传递函数为,（1）一
7、个开环零点，两个开环极点；两条根轨迹分支；有一个无穷远处的零点。 （2）渐近线与实轴重合的，实轴上根轨迹（-，-2。,试绘制闭环系统的根轨迹。,解:,30,（3）分离点,d2不在根轨迹上，略去,31,（4）由相角条件可以证明复平面上的根轨迹是圆的一部分，圆心为（-2，j0)，半径为,证明略,32,规则7：根轨迹与虚轴的交点 交点对应的根轨迹增益 和角频率 可以用劳斯判据或闭环特征方程（ ）确定。,或,33,例4.2,设单位负反馈控制系统开环传递函数：,试绘制控制系统根轨迹图。,解：,规则1：根轨迹起始于开环极点0，2，4，终止开环零点， ， ,规则2：根轨迹的分支数等于特征根个数 n3,规则3
8、: 根轨迹的对称性：关于实轴对称。,规则4: 实轴上的根轨迹线段是【2，0】，（，4】。,34,规则6：根轨迹的分离点：,舍去,实轴交点,与实轴夹角,规则5：根轨迹的渐近线：共有303条渐近线,35,规则7：与虚轴交点：,代入实部，,实部 虚部,劳斯表：,S3 1 8 S2 6 S1 0 S0 0,时，S1行全为0,辅助方程：6S2480,36,规则8：根轨迹的起始角（出射角）和终止角（入射角） 起始角（出射角）：根轨迹离开复平面上开环极点处的切线与实轴的夹角 。,出射角反向+各零点指向本极点的方向角-各零点指向本极点的方向角,37,根据角条件:,各零点指向pa极点的方向角 -各零点指向pa极
9、点的方向角=指向正左方,38,例4 设系统开环传递函数,试绘制闭环系统大致的根轨迹。,解（1）无开环零点，开环极点在实轴上根轨迹-3，0。 （2）有4条分支趋向无穷远处。渐近线的夹角与交点,39,（3）分离点,（4）起始角（出射角）,40,（5）与虚轴的交点 运用劳斯判据,由第一列、第四行元素为零,由辅助方程,41,42,规则9：闭环极点之和、闭环极点之积,设控制系统的闭环特征方程可写成,并设它的n个根分别为：,根据代数方程根与系数的关系有：,43,结论：（1）若 n-m2 闭环极点之和 = 开环极点之和 =常数（2）对于1型以上（包括1型）的系统，闭环极 点之积与开环增益值成正比。,若n-1
10、m，对多项式进行降幂排列，有：,44,4.4 绘制非最小相位系统的根轨迹,最小相位系统：在S右半平面没有开环零点或开环极点的系统。否则为非最小相位系统。,非最小相位系统（下一章频率响应法进一步说明）,45,1 正反馈系统的根轨迹,G(s),H(s),+,闭环传递函数分母为零 称闭环系统特征方程式,得,幅值条件 相角条件（差别）,46,与相角条件有关的需要修改规则：,规则4: 实轴上的根轨迹：凡右边具有偶数个零极点的线段是根轨迹。,j,规则5：根轨迹的渐近线：共有（nm）条渐近线,与实轴夹角,规则8：出射角和入射角,47,P127 习题4.16 设单位负反馈系统的开还传递函数,试绘制根轨迹图，并计算系统产生重实根和纯虚根的 值。,解：求分离点或会合点,48,产生重实根,产生纯虚根,特征方程式：,
