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1、第四讲 椭球面上几种曲率半径,一系大地测量教研室,椭球大地测量学,上节课内容回顾,第四讲 椭球面上几种曲率半径,椭球面基本几何元素及其相互关系,辅助函数,上节课内容回顾,第四讲 椭球面上几种曲率半径,重要结论,构成直角三角形,椭球面上一点的法线，界于椭球面和短轴间的长度等于N，在赤道面上侧的长度等于N（1-e2），在赤道面下侧的长度等于Ne2。,本节课主要内容,第四讲 椭球面上几种曲率半径,任意方向法截线曲率半径。子午圈和卯酉圈曲率半径。曲率半径变化规律。平均曲率半径。,一.任意方向法截线曲率半径 （Normal transversal curvature radius at random d
2、irections),1、法截面、法截线的概念 法截面：包含椭球面某点法线的平面（如平面P1PP2）。 法截线：法截面与椭球面的交线，（如曲线P1PP2 ），是一平面曲线。,第四讲 椭球面上几种曲率半径,3、基本思路,2、法截线的作用,椭球面方程,一.任意方向法截线曲率半径 (Normal transversal curvature radius at random directions),4、新坐标系P-xyz的定义,第四讲 椭球面上几种曲率半径,坐标原点：与P点重合； z轴：与P点法线PK重合； x轴：为法截线P1PP2在P点处的切线方向； y轴：与P点的法截面垂直，使坐标系P-xyz成右
3、手系,P-xyz中法截面方程,一.任意方向法截线曲率半径 (Normal transversal curvature radius at random directions),5、求任意方向法截线曲率半径基本步骤,第四讲 椭球面上几种曲率半径,求P-xyz中的椭球面方程 求任意方向法截线方程 求任意方向法截线曲率半径,一.任意方向法截线曲率半径 (Normal transversal curvature radius at random directions),6、公式推导,第四讲 椭球面上几种曲率半径,(1) P-xyz中的椭球面方程,Z,X,Y,O,XP,ZP,B,K,P,P1,P2,P点
4、坐标,P点在O-XYZ中的坐标,两坐标系原点的位置关系：,一.任意方向法截线曲率半径 (Normal transversal curvature radius at random directions),6、公式推导,第四讲 椭球面上几种曲率半径,(1) P-xyz中的椭球面方程,移轴：将原点O移至P点得坐标系P-XYZ,Z,X,Y,O,B,K,P,移轴,一.任意方向法截线曲率半径 (Normal transversal curvature radius at random directions),6、公式推导,第四讲 椭球面上几种曲率半径,(1) P-xyz中的椭球面方程,转轴：使两坐标系各
5、轴重合（两次转轴),第一次转轴： P-XYZ绕Y顺时针旋转(90+B)，使Z轴与P 点的椭球面法线重合，得坐标系P-XYZ,K,Z,X,O,Y”,Y,P,B,O,第一次转轴,90+B,一.任意方向法截线曲率半径 (Normal transversal curvature radius at random directions),6、公式推导,第四讲 椭球面上几种曲率半径,(1) P-xyz中的椭球面方程,K,Z,X,O,Y”,Y,P,B,O,第一次转轴,转换关系为,一.任意方向法截线曲率半径 (Normal transversal curvature radius at random dire
6、ctions),6、公式推导,第四讲 椭球面上几种曲率半径,(1) P-xyz中的椭球面方程,转轴：使两坐标系各轴重合（两次转轴),第二次转轴： P-XYZ绕Z轴，顺时针旋转角A（A为P点处法截线方位角），得坐标系P-xyz,O,第二次转轴,X”,K,Z”,Y”,P,B,O,z,A,一.任意方向法截线曲率半径 (Normal transversal curvature radius at random directions),6、公式推导,第四讲 椭球面上几种曲率半径,(1) P-xyz中的椭球面方程,O,第二次转轴,X”,K,Z”,Y”,P,B,O,z,A,转换关系为,第二次转轴,一.任意方
7、向法截线曲率半径 (Normal transversal curvature radius at random directions),6、公式推导,第四讲 椭球面上几种曲率半径,(1) P-xyz中的椭球面方程,O,第二次转轴,X”,K,Z”,Y”,P,B,O,z,A,综合一次移轴和两次转轴得两坐标系的关系,一.任意方向法截线曲率半径 (Normal transversal curvature radius at random directions),6、公式推导,第四讲 椭球面上几种曲率半径,(1) P-xyz中的椭球面方程,将P-xyz与O-XYZ的关系代入 得,(2) 任意方向法截线方
8、程,将法截面方程 y=0 代入上式 得,一.任意方向法截线曲率半径 (Normal transversal curvature radius at random directions),6、公式推导,第四讲 椭球面上几种曲率半径,(3) 任意方向法截线曲率半径,平面曲线曲率半径公式,根据高等数学，平面曲线z=f(x) 上某点P处的曲率半径为,一.任意方向法截线曲率半径 (Normal transversal curvature radius at random directions),第四讲 椭球面上几种曲率半径,对法截线方程求二阶导数代入曲率半径公式可得,公式说明,RA与L无关RA与所在的纬
9、度B、法截线方位角A有关N为P点沿法线方向至椭球短轴的距离PKA为法截线方位角；e为第二偏心率,6、公式推导,(3) 任意方向法截线曲率半径,一.任意方向法截线曲率半径 (Normal transversal curvature radius at random directions),第四讲 椭球面上几种曲率半径,K,A,卯酉圈曲率半径,P,B,子午圈曲率半径,两个特殊方向的曲率半径,任意方向法截线曲率半径,二.子午圈曲率半径（Curvature radius of meridian）,第四讲 椭球面上几种曲率半径,(1) 形成,(2) 公式,当A=0或180时，子午圈曲率半径，用M表示,将
10、A=0代入任意方向法截线曲率半径公式,得,二.子午圈曲率半径（Curvature radius of meridian）,第四讲 椭球面上几种曲率半径,化简,具体表达式,二.子午圈曲率半径（Curvature radius of meridian）,第四讲 椭球面上几种曲率半径,(3)分析M的变化规律（M是B的增函数）,三.卯酉圈曲率半径（Curvature radius of vertical circle）,第四讲 椭球面上几种曲率半径,(1)形成,(2)公式,重要结论：椭球面上某点的卯酉圈曲率半径，恰好等于该点沿法线介于椭球面与短轴间的距离。,当A=90或270时，卯酉圈曲率半径，用N表
11、示,将A=90代入任意方向法截线曲率半径公式,得,三.卯酉圈曲率半径（Curvature radius of vertical circle）,第四讲 椭球面上几种曲率半径,化简,具体表达式,三.卯酉圈曲率半径（Curvature radius of vertical circle）,第四讲 椭球面上几种曲率半径,(3)分析N的变化规律（N是B的增函数）,四.M、N与RA的关系 （Relations of M、N and RA）,第四讲 椭球面上几种曲率半径,(1) RA的最大值与最小值,(2) RA随A的变化,当A=0（或A=180）时，RA=M，最小值；,当A=90（或A=270）时，RA
12、=N，最大值,当A由0趋于90时，RA逐渐增大由M趋于N变化 当A由90趋于180时，RA逐渐减小由N趋于M变化 RA随A的变化是以180为周期的，且对称于M、N而变化,四.M、N与RA的关系 （Relations of M、N and RA）,第四讲 椭球面上几种曲率半径,(3) M、N与RA的数学关系,欧拉定理,五.平均曲率半径 （Average curvature radius）,第四讲 椭球面上几种曲率半径,(1)意义,(2)定义,椭球面上一点所有方向法截线曲率半径的平均值。,(3)方法,用积分的方法。,五.平均曲率半径 （Average curvature radius）,第四讲 椭球面上几种曲率半径,(4)平均曲率半径公式,根据积分中值定理,由于RA随A变化的对称性，可仅在第一象限积分,积分得,五.平均曲率半径 （Average curvature radius）,第四讲 椭球面上几种曲率半径,三种曲率半径公式比较记忆,关系：,六.本课小结 （Brief summary）,第四讲 椭球面上几种曲率半径,任意方向法截线曲率半径,三者关系,平均曲率半径,卯酉圈曲率半径,子午圈曲率半径,思考题,第四讲 椭球面上几种曲率半径,根据子午圈曲率半径与卯酉圈曲率半径随纬度的变化规律，试画出子午圈曲率半径与卯酉圈曲率半径的端点随纬度变化的轨迹,提示：,本节课到此结束,谢 谢！,
