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1、3极小值原理及其在快速控制中的应用1问题的提出顶用变分法汇解最优控制时,认/为控制向量()不受限制。但是_:实际的系统,控制信号都是受到I1z一p一卜茉种限制的。X(0EUR国此,应用扯刹方志78-0匹什来确定最优控制,可能出错【-/|3)图中所示,历最小值出现在左一一侧,不满足控制方程。心b)图中不存在兽=0es2极小值原理非线性定常系统的状态方程为王二一Cr,z0)(42)初始时刻l,初始状态x(6),末值时刻1,末端状态x(f闹由x(eU(43)性能指标为札值型性能指标AFF(py月(44)要求在状态方程约李下,寻求最优控制x口D及1使系统从x(o)转移到x(L1),并使取极小值。设()
2、为宰许控制,r()为对应的状忱轨线。为了使它们分别成为最优控制i(fj和最优轨线x“(0,存在一个向量函数尔(),使得火亢其中哈密顿野数:“历(x,z,21)二友一r,z0)一00)和2(0)扉尸迈春余件2H“页Dx(n外=盅三x(o)99DxQ)(45)(46)(47)(48)(49)则哈密顿函数厂相对最优控制取极小值,即友Grom20=mipn一E(50)或者in0e兄训(51)哈密顿函数治最优轨线随时间的变化规律:在末值时刻1是固定的情况史“()=历“()=-conat(52)在末值时刻f是自由的情况万()=历“()=0(53)几点说明:1)极小值原湿岐出f叶怀暮优41厉液漱E的心要乐仁
3、。2)极小值原理的结果与用变分法求解最优问题的结果相比,差别仅在于极值条件。3)这里给出了极小值原理,而在庞德里亚金著作论述的是极大值原理。因为求性能指标J的极小值与求-J的极大值等价。4)非线性时变系统也有极小值原理。例:设二阶系统的状态方程及初始条件为山0=-a(D+(0,(0)=1气(=xi(0,心(0)=0式中标量控制x(0的约束条件为|s1若系统的本端状态x()是自由的,试求最优控制0(0),使性能指标0取最小值。.we0D二3时间最优控制1)一类非线性系统的时间最优控制问题3-1:移动目标集的一类非线性系统的时间最优控制已知受控系统的状态方程2(0)=万x(+Bx(CJ,a()寻找
4、满足不等式约柬的维客i午拉制向童网囱0TEhpEhg刃rr)一x出宏在未忱时刻(0)首次到达移动目标集9x(t),1=0其中9是p维向量函数,丁使J=u(=“山=i-最小设反=l+万()Fx(JJ+Bx(0uu(0)使7达最小的最优控制必要条件为力刹月二坤亿仪人1沥La跖景_上.(3)初始条件未端约束“_398xtrr8根戢条件20z0人38x(0l丨+兄(/)/X(r)J+兄U/)Bx(/)/(/)=一骠在最优转线本端哈密尔顿函数应满足的条件(5)极值条件I+办()fx(g,小+士()5x.(0,小(=田惠蜀+几(/)/矗(/)J+兔()BX()/(卵t(与sgn|Br(r(J)2(J令&(
5、0=矿()2(0,=12,3.,m则最优控制分量应取.+l,8;(00正常(或平凡)情况、奇异(或非平凡)情况Bang-Bang控制原理设i(是问题3-1的时间最优控制,(2(1)是相应的状态向量和协态向量,若问题是正常的,则几乎所有1eio,t丨睑去有限个开关时间),有下式成立屿(J=_sgn(B(小2(0)1=h2.r兵fB匹:.5j8(0)B5(0打2(0=0也就是说,(L)是!的分段常值函数,并在对应的1二L5)上,仁由一恒值跳到古一恒值2)线性时不变系统的时间最优控制(时间最优调节器问题)问题3-2:已知线性时不变系统(1)=Ax(1)+Bu(1)完全能控,求满足下列不等式约束的r维宪许控制向量4(1)胡(,=2,.,r,傻系统从初始5(0)=不转移到状态空间的原点(00),x(t1)=0的时间J=.dt最短。必要条件。0851晕()=翦=hx(+Bu()几()=_镶=-A7几0)0j(0j0,仁元0余
