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1、平方数的规律及 100 以内的整数平方表 112=121122=144132=169142=196152=225 162=256172=289182=324192=361202=400 212=441222=484232=529242=576252=625 262=676272=729282=784292=841302=900 312=961322=1024332=1089342=1156352=1225 362=1296372=1369382=1444392=1521402=1600 412=1681422=1764432=1849442=1936452=2025 462=2116472=2
2、209482=2304492=2401502=2500 512=2601522=2704532=2809542=2916552=3025 562=3136572=3249582=3364592=3481602=3600 612=3721622=3844632=3969642=4096652=4225 662=4356672=4489682=4624692=4761702=4900 712=5041722=5184732=5329742=5476752=5625 762=5776772=5929782=6084792=6241802=6400 812=6561822=6724832=688984
3、2=7056852=7225 862=7396872=7569882=7744892=7921902=8100 912=8281922=8464932=8649942=8836952=9025 962=9216972=9409982=9604992=98011002=10000 规律： (1)完全平方数的个位数字只能是 0,1,4,5,6,9.(没有 2,3,7,8)两个整数的个位数字之 和为 10，则它们的平方数的个位数字相同. (2)奇数的平方的个位数字是奇数，十位数字是偶数. (3)如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是 6；反之，如果完 全平方数的个位数字是 6，则它的十
4、位数字一定是奇数. (4)偶数的平方是 4 的倍数;奇数的平方是 4 的倍数加 1. (5)奇数的平方是 8n+1 型;偶数的平方为 8n 或 8n+4 型. (6)完全平方数的形式必为下列两种之一:3n,3n+1. (7)不能被 5 整除的数的平方为 5n1 型,能被 5 整除的数的平方为 5n 型. (8)平方数的形式具有下列形式 16n,16n+1,16n+4,16n+9. (9)完全平方数的各位数字之和的个位数字只能是 0,1,3,4,6,7,9.(没有 2,5,8) (10)如果质数 p 能整除 a,但 p 的平方不能整除 a,则 a 不是完全平方数. (11)在两个相邻的整数的平方
5、数之间的所有整数都不是完全平方数. (12)一个正整数 n 是完全平方数的充分必要条件是 n 有奇数个因数(包括 1 和 n).一个数如果是另一个整数的完全立方（即一个整数的三次方,或整数乘以它 本身乘以它本身）,那么我们就称这个数为完全立方数,也叫做立方数，如 0,1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000 等.如果正整数 x,y,z 满足不定方程 x2+y2=z2 ,就称 x,y,z 为一组勾股数. x,y 必然是一个为奇数另一个为偶数，不可能同时为奇数或同时为偶数.z 和 z2必 定都是奇数.五组常见的勾股数： 32+42=52 ；52+122=132 ；72+
6、242=252 ；82+152=172 ；202+212=292 9+16=25；25+144=169；49+576=625； 64+225=289； 400+441=841记忆技巧： (a+b)2= a2 + b2 + 2ab (ab)2=a2 + b2 2ab | | | | | |aa bb 2ab aa bb 2ab 例：132=(10+3)2=102+32+2103=100+9+60=169882=(90-2)2=902+222902=8100+4360=7744 用处： 训练计算能力，使计算更快更准确； 估计某数的平方根所处的范围，在判定某个较大的数 n 是不是质数时可以缩 小其可
7、能因子的筛选范围,只需检查 3 到 之间的所有质数是不是 n 的因子即可，n 超过的都不必检查了.例如，判定 2431 是否为质数，因为n 492=240124312500=502,所以 4950 ,2+4+3+1=10 不能被 3 整除, 2341 的2431个位既非 0 又非 5,故只需检查 7 到 47 之间的所有质数能否整除 2431 即可，而 53,59,61,67等更大的质数都不用检查了，实际上 2431=1117. 13 增加对数字的熟悉程度，比如 162=256=28 ，322=1024=210 ， 642=4096=212 ,另外一些特殊结构的数字应该牢记，如 882=7744, 112=121,222=484,(121 和 484 从左到右与从右到左看是一样的) 122=144,212=441,132=169,312=961,(a 左右颠倒后 a2也左右颠倒).
