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1、第二节 等差数列及其前n项和,总纲目录,教材研读,1.等差数列的定义,考点突破,2.等差数列的通项公式,3.等差中项,考点二 等差数列的性质及其应用,考点一 等差数列的基本运算,4.等差数列的常用性质,5.等差数列的前n项和公式,6.等差数列的前n项和公式与函数的关系,7.等差数列的前n项和的最值,考点三 等差数列的判定与证明,考点四 等差数列的前n项和及其最值,1.等差数列的定义 如果一个数列从 第二项 起,每一项与前一项的差等于 同一个常数 ,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的 公差 ,通常用字母 d 表示,定义的表达式为an+1-an=d(nN*).,教材研读,2.等差数
2、列的通项公式 等差数列an的通项公式是 an=a1+(n-1)d .,3.等差中项 如果 A= ,那么A叫做a与b的等差中项.,4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am+ (n-m)d (n,mN*). (2)若an是等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,nN*),则 ak+al=am+an . (3)若an是等差数列,公差为d,则a2n也是等差数列,公差为 2d . (4)若an,bn(项数相同)是等差数列,则pan+qbn(p,q是常数)仍是等差 数列. (5)若an是等差数列,则ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)组成公差为 md 的 等差数列.,5.等差数列的前
3、n项和公式 等差数列an的前n项和Sn= 或Sn= na1+ .,6.等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn= n2+ n. 数列an是等差数列Sn=An2+Bn(A、B为常数).,7.等差数列的前n项和的最值 在等差数列an中,若a10,d0,则Sn 存在最 小 值.,与等差数列有关的结论 (1)an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d(n,mN*),p+q=m+nap+aq=am+an(p、q、m、 nN*). (2)ap=q,aq=p(pq)ap+q=0;Sm+n=Sm+Sn+mnd. (3)Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,构成的数列是等差数列. (4) = n+ 是关于n的一
4、次函数或常数函数,数列 也是等差 数列. (5)Sn= = = =.,(6)若非零等差数列an的项数为偶数2m,公差为d,奇数项之和为S奇,偶 数项之和为S偶,则所有项之和S2m=m(am+am+1),S偶-S奇=md, = . (7)若非零等差数列an的项数为奇数2m-1,奇数项之和为S奇,偶数项之 和为S偶,则所有项之和S2m-1=(2m-1)am,S奇=mam,S偶=(m-1)am,S奇-S偶=am, =. (8)若Sm=n,Sn=m(mn),则Sm+n=-(m+n).,1.在等差数列an中,若a2=4,a4=2,则a6= ( ) A.-1 B.0 C.1 D.6,答案 B 设数列an的
5、公差为d,由a4=a2+2d,a2=4,a4=2,得2=4+2d,d=-1, a6=a4+2d=0.故选B.,B,2.等差数列an中,a1+a5=10,a4=7,则数列an的公差为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案 B 设公差为d.a1+a5=2a3=10,a3=5,又a4=7,d=2.故选B.,3.(2016北京东城期中)等差数列an的前n项和为Sn,已知a3=3,a10=10,则S7 的值是 ( ) A.30 B.29 C.28 D.27,答案 C a3=3,a10=10, S7=7a1+ d=28.,B,C,4.已知等差数列an满足a1+a2+a3+a101=0,则有 ( )
6、 A.a1+a1010 B.a2+a1000 C.a3+a99=0 D.a1=51,答案 C S101=0,S101= =0,a1+a101=a2+a100=a3+a99=0.故选 C.,C,5.(2017北京朝阳期末)已知等差数列an的前n项和为Sn,若a1=2,S2=a3,则 a2= ,S10= .,6.(2015北京海淀一模)已知an为等差数列,Sn为其前n项和.若a3=-6,S1=S5, 则公差d= ,Sn的最小值为 .,典例1 (2017北京海淀一模)已知等差数列an满足a1+a2=6,a2+a3=10. (1)求数列an的通项公式; (2)求数列an+an+1的前n项和.,考点一
7、等差数列的基本运算,考点突破,方法指导 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中 三个就能求另外两个,体现了用方程的思想来解决问题. (2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中可起到变量代换作用,a1和d 是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用解题方法.,1-1 (2015北京西城一模)已知等差数列an的前n项和为Sn,且满足a3=2, S5=a7. (1)求数列an的通项公式an及Sn; (2)若a4,a4+m,a4+n(m,nN*)成等比数列,求n的最小值.,解析 (1)设等差数列an的公差为d. 由题意,得 解得a1=-2,d=2,
8、所以an=-2+(n-1)2=2n-4,答案 (1)B (2)A (3)60,解析 (1)因为a3+a9=27-a6,2a6=a3+a9,所以3a6=27,所以a6=9,所以S11= (a1 +a11)=11a6=99. (2)设这个数列有2n项,由等差数列的性质可知:偶数项之和减去奇数项 之和等于nd,即25-15=2n,故2n=10,即数列的项数为10. (3)由Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列, 可得2(S2m-Sm)=Sm+S3m-S2m, 即S2m= = =60.,易错警示 一般地,运用等差数列的性质可以化繁为简、优化解题过程.但要注意 性质运用的条件,如m+n=p+q(
9、m,n,p,qN*),则am+an=ap+aq,该性质的运用 条件是序号之和相等.,2-1 (2014北京西城期末)若等差数列an满足a1= ,a4+a6=5,则公差d=;a2+a4+a6+a20= .,答案 ;55,解析 由题意得2a1+8d=5,又a1= ,故d= ,则an= n,所以a2=1,a4=2,则a4-a2 =1,故a2+a4+a6+a20=10+ =55.,2-2 已知an为等差数列,若a1+a2+a3=5,a7+a8+a9=10,则a19+a20+a21= .,答案 20,解析 由等差数列的性质,可知S3,S6-S3,S9-S6,S21-S18成等差数列,设此 数列的公差为D
10、. 所以5+2D=10, 所以D= . 所以a19+a20+a21=S21-S18=5+6D=5+15=20.,20,2-3 在等差数列an中,a1=-2 012,其前n项和为Sn,若 - =2,则S2 012的 值等于 .,答案 -2 012,-2 012,解析 (1)证明:由已知得:an= = , 则bn=2lo -1=2n-1(nN*).,则bn+1-bn=2(n+1)-1-2n+1=2. 所以数列bn是以1为首项,2为公差的等差数列. (2)由(1)知,bn=2n-1,则b2n=4n-1, 则数列b2n是以3为首项,4为公差的等差数列. cn=an+b2n= +4n-1. 则Tn= +
11、 + +3+7+(4n-1), 即Tn= + , 即Tn=2n2+n+ - (nN*).,方法指导 证明一个数列为等差数列的基本方法有两种:一是定义法,证明an-an-1=d (n2,d为常数);二是等差中项法,证明2an+1=an+an+2.若证明一个数列不是 等差数列,则可以举反例,也可以用反证法.,3-1 若数列an的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n2),a1= . (1)求证: 是等差数列; (2)求数列an的通项公式.,解析 (1)证明:当n2时,由an+2SnSn-1=0, 得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,又易知Sn0, 所以 - =2, 又 = =2,故 是
12、首项为2,公差为2的等差数列. (2)由(1)可得 =2n,Sn= . 当n2时,an=Sn-Sn-1= - = =- . 当n=1时,a1= 不适合上式. 故an=,典例4 (2017北京丰台一模)已知an是各项均为正数的等比数列,a11= 8,设bn=log2an,且b4=17. (1)求证:数列bn是以-2为公差的等差数列; (2)设数列bn的前n项和为Sn,求Sn的最大值.,考点四 等差数列的前n项和及其最值,解析 (1)证明:设等比数列an的公比为q, 则bn+1-bn=log2an+1-log2an=log2 =log2q, 因此数列bn是等差数列. 又b11=log2a11=3,
13、b4=17, 所以等差数列bn的公差d= =-2, 所以数列bn是以-2为公差的等差数列. (2)由(1)知bn=25-2n,b1=23, 则Sn= = =(24-n)n=-(n-12)2+144, 于是当n=12时,Sn有最大值,最大值为144.,方法指导 处理等差数列前n项和的最值问题的常用方法 (1)利用等差数列的单调性,求出其正负转折项; (2)将等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数且A0)看作二次函数, 根据二次函数的性质求解.,4-1 在等差数列an中,a1=29,S10=S20,则数列an的前n项和中最大的为 ( ) A.S15 B.S16 C.S15和S16 D.S17,答案 A S10=S20, 10a1+ d=20a1+ d, 又a1=29,d=-2, Sn=29n+ (-2)=-n2+30n=-(n-15)2+225. 当n=15时,Sn取得最大值.,A,
